安徽六安第二中学2025-2026学年3月高一下学期第一次月考数学试卷含答案

这是一份安徽六安第二中学2025-2026学年3月高一下学期第一次月考数学试卷含答案，共12页。试卷主要包含了 下列说法错误的是， 下列说法中正确的说法为等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分 (选择题共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. AB−AD+CD 化简后等于 ( )
A. BC B. BD C. CB D. DB
2. 已知 P 为 △ABC 所在平面内一点, BC=2CP ,则()
A. AP=−12AB+32AC B. AP=13AB+23AC
C. AP=32AB−12AC D. AP=23AB+13AC
3. 已知 b=2 ，且 b 在 a 上的投影向量的模为 2 ，则 a 与 b 的夹角为( )
A. 45∘ B. 60∘ C. 120∘ D. 45∘ 或 135∘
4. 已知 a,b 是两个不共线的向量,向量 b−ta,12a−23b 共线,则实数 t 的值为 ( )
A. 13 B. 32 C. 43 D. 34
5. 已知三角形 ABC 满足 BABA+BCBC⋅AC=0 ，则三角形 ABC 的形状一定是( )
A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
6. 设 O,A,M,B 为平面上四点, OM=λOB+1−λOA ,且 λ∈1,2 ,则( )
A. 点 M 在线段 AB 上 B. 点 B 在线段 AM 上
C. 点 A 在线段 BM 上 D. O,A,B,M 四点共线
7. 已知 a=2b,b≠0 ,且关于 x 的方程 x2+ax+a⋅b=0 有实根,则 a 与 b 的夹角 θ 的取值范围是( )
A. 0,π6 B. π3,π C. π3,2π3 D. π6,π
8. 设 O 为 △ABC 所在平面内一点,满足 OA+2OB+2OC=0 ,则 △ABC 的面积与 △BOC 的面积的比值为( )
A. 6 B. 83 C. 127 D. 5
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法错误的是( )
A. 若 a=b,b=c ,则 a=c
B. 若 a>b ,则 a>b
C. 对任意向量 a,b,c 都有 a⋅b⋅c=a⋅b⋅c
D. a⋅b=0 ,则 a 与 b 中至少有一个为 0
10. 下列说法中正确的说法为( )
A. 若 a//b,b//c ,则 a//c
B. 若 OA+OB+OC=0,S△AOC,S△ABC 分别表示 △AOC ， △ABC 的面积，则 S△AOC:S△ABC=1:3
C. 两个非零向量 a,b ,若 a−b=a+b ,则 a 与 b 共线且反向
D. 若 a//b ，则存在唯一实数 λ 使得 a=λb
11. 下列说法正确的是( )
A. 已知 a=1 ， b=2 ，则 b⋅a+2b 的最小值为 6
B. 在 △ABC 中，若 AB⋅BC0,n>0 ,求 1m+1n 的值;
(3)如果 △ABC 是边长为 aa>0 的等边三角形，求 OM2+ON2 的取值范围.
1. C
应用向量加减法的运算律化简即可得.
AB−AD+CD=AB+DA+CD=DB+CD=CB .
故选: C
2. A
利用向量线性运算求解.

AP=AC+CP=AC+12BC=AC+12AC−AB
=−12AB+32AC .
3. D
根据题意, bcs⟨a,b⟩=2,进而得到cs⟨a,b⟩=22 ,再求夹角即可.
b 在 a 上的投影向量的模等于 bcs⟨a,b⟩∣=2 ,
又 b=2 ,所以 cs⟨a,b⟩=22 ,
因为 ⟨a,b⟩∈0,π ,
所以 ⟨a,b⟩=45∘ 或 135∘ .
故选: D.
4. D
根据向量共线,可得 b−ta=λ12a−23b ,列方程即可求得答案.
因为向量 b−ta,12a−23b 共线,
所以存在实数 λ ,使得 b−ta=λ12a−23b=−2λ3b+λ2a ,
所以 1=−2λ3−t=λ2 ,解得 λ=−32t=34 ,则 t=34 .
故选: D.
5. B
根据单位向量的定义及加法的几何意义有 BABA+BCBC 对应向量在 ∠B 的角平分线上,进而有 ∠B 的角平分线与边 AC 垂直,结合等腰三角形的性质即可得.
由几何意义知, BABA+BCBC 对应向量在 ∠B 的角平分线上,
由 BABA+BCBC⋅AC=0 ,即 ∠B 的角平分线与边 AC 垂直,
所以三角形 ABC 的形状一定是等腰三角形.
故选: B
6. B
通过已知条件求得 AM=λAB ,由此判断出正确结论.
OM=λOB+OA−λOA ,所以 OM−OA=λOB−OA,AM=λAB ,由 λ∈1,2 可知, A,B,M 三点共线,且 B 在线段 AM 上.
故选: B
7. B
根据方程有实根及向量的数量积求解即可.
因为关于 x 的方程 x2+ax+a⋅b=0 有实根,
所以 Δ=a2−4a⋅b=a2−4a⋅b⋅csθ=4b2−8b2⋅csθ≥0 ,
因为 b≠0 ,所以 csθ≤12,θ∈0,π ,所以 π3≤θ≤π ,
即 a 与 b 的夹角 θ 的取值范围是 π3,π .
故选: B
8. D
延长 OB 到 D ,使 OB=BD ,延长 OC 到 E ,使 OC=CE ,连接 AD,DE,AE ,则由已知条件可得 O 为 △ADE 的重心,由重心的性质可得 S△AOD=S△AOE=S△DOE=S ,再结合中点可求出 S△AOB,S△AOC,S△BOC 的面积,进而可求得答案
解: 延长 OB 到 D ,使 OB=BD ,延长 OC 到 E ,使 OC=CE ,连接 AD,DE,AE , 因为 OA+2OB+2OC=0 ,所以 OA+OD+OE=0 ,
所以 O 为 △ADE 的重心,
所以设 S△AOD=S△AOE=S△DOE=S ,则 S△AOB=S△AOC=12S,S△BOC=14S ,
所以 S△ABC=12S+12S+14S=54S ，
所以 S△ABCS△BOC=54S14S=5 ，
故选: D

9. BCD
由题意, 根据向量的基本概念, 结合数量积的运算, 逐项判断即可.
对于 A 选项, 根据向量相等的概念, 两向量相等, 则其方向和大小都相同, 故 A 正确;
对于 B 选项,向量是既有大小又有方向的量,而方向是不能比较大小的,不能得出 a>b , 故 B 错误;
对于 C 选项,根据向量数量积和数乘的运算, a⋅b⋅c 表示与 c 共线的向量,
而 a⋅b⋅c 表示与 a 共线的向量,但 a 与 c 不一定共线,故 C 错误;
对于 D 选项,当 a,b 均不为 0 ,且 a,b 夹角为 90∘ 时,满足 a⋅b=0 ,故 D 错误.
10. BC
直接利用向量的传递性和向量的线性运算及三角形的面积特点以及向量共线的充要条件的应用判断 A、B、C、D 的结论.
对于 A ,若 b 为零向量,则 a//b,b//c 成立,但 a,c 可以不共线,故 A 错误; 对于 B ,若 OA+OB+OC=0 ,则点 O 为三角形 ABC 的重心,
即 S△AOC:S△ABC=1:3 ,故 B 正确;
对于 C: 两个非零向量 a,b ,若 a−b=a+b ,则 a 与 b 共线且反向,故 C 正确;
对于 D : 若 b=0,a≠0 ,则 a//b ,此时不存在 λ 使得 a=λb 成立,故 D 错误;
故选: BC.
11. ACD
对于选项 A ,根据向量数量积的运算律将 b⋅a+2b 展开,再结合向量夹角的范围即可求其最小值;
对于选项 B，根据向量数量积的定义，可判断 ∠ABC 为锐角，进而判断 △ABC 的形状；
对于选项 C ,根据向量数量积的运算律对已知条件进行变形,即可推出 P 点的性质;
对于选项 D ,根据向量投影向量的定义,即可求解.
对于 A 选项,因为 a=1,b=2 ,所以
b⋅a+2b=a⋅b+2b2=a⋅b⋅csa,b+2b2=2csa,b+8,
又 0≤a,b≤π ,所以 −1≤csa,b≤1 ,所以 b⋅a+2b=2csa,b+8≥8−2=6 ,
当 csa,b=−1 ,即 a,b 反向共线时等号成立,故 A 正确;
对于 B 选项,由 AB⋅BC=AB⋅BC⋅csπ−∠ABC ,
又 AB⋅BC0 ，由(1)(2)可知 AO=13AB+13AC,1m+1n=3 ， 即 m+n=3mn .
因 OM=AM−AO=3m−13AB−13AC ,
ON=AN−AO=3n−13AC−13AB,
所以 OM2+ON2=3m−13AB−13AC2+3n−13AC−13AB2
=199m2−6m+2AB2+9n2−6n+2AC2−23m+3n−2AB⋅AC ,
又因 △ABC 是边长为 aa>0 的等边三角形，所以 AB⋅AC=12a2 ，
所以化简得 OM2+ON2=a2m2+n2−m−n+23 ,
令 t=mn ,因 3mn=m+n≥2mn ,即 mn≥49 ,
当且仅当 m=n 时,等号成立,所以 t≥49 .
因此 m2+n2−m−n+23=m+n2−5mn+23=9mn2−5mn+23=9t2−5t+23 ,
又因为 t≥49 ,所以 9t2−5t+23≥29 ,
所以 OM2+ON2=a2m2+n2−m−n+23≥2a29 .