上海市曹杨第二中学2025-2026学年高一下学期3月阶段评估数学试卷含答案

这是一份上海市曹杨第二中学2025-2026学年高一下学期3月阶段评估数学试卷含答案，共12页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，其终边经过点 −1,2 . 则角 α 的余弦值为_____.
2. 已知函数 y=2sinωx+π3 (其中 ω>0 )的最小正周期为 2，则 ω 的值为_____.
3. 若 tanx=14,x∈π,3π2 ，则 x= _____.
4. 函数 y=sin2x+4sinx 的最小值为_____.
5. 函数 y=2sin2x−1 的定义域是_____.
6. 已知 α 为第三象限角， csα=−45 ，则 tanα2= _____.
7. 函数 y=sinx+sinx 的最小正周期为_____.
8. 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 若 b=63,B=π3 ，且该三角形有两解,则 a 的取值范围是_____.
9. 在 △ABC 中，若 tanA、tanB 是方程 6x2−5x+1=0 的两根，则角 C= _____.
10. 已知 ω>0 ,函数 y=2026sinωx+π3 在区间 −π3,π6 上严格增,则 ω 的取值范围是_____.
11. 如图，等腰直角 △ABC 的腰长为2cm. 将 △ABC 绕 C 点逆时针旋转 90∘ . 则线段 AB 扫过的面积是_____.

12. 如图,已知 BC=4,D,E 为 △ABC 边 BC 上的两点,且满足 ∠BAD=∠CAE , BD⋅BECD⋅CE=19 ，则当 ∠ACB 取最大值时， △ABC 的面积等于_____.

二、选择题(本大题共有 4 题，满分 14 分，第 13、14 题每题 3 分，第 15、16 题每题 4 分)
13. 若方程 sinx=1−a2 在 x∈π3,π 上有两个不同的实根，则 a 的取值范围是( )
A. −1,1 B. −1,2 C. −1,1−3 D. −1,1−3
14. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 c=2bcsA ，则 △ABC 的形状为( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
15. 设点 A 的坐标为 a,b,O 是坐标原点,点 A 绕着 O 点顺时针旋转 θ 后得到 A′ ,则 A′ 的坐标为 ( )
A. acsθ−bsinθ,asinθ+bcsθ B. acsθ+bsinθ,bcsθ−asinθ
C. asinθ+bcsθ,acsθ−bsinθ D. bcsθ−asinθ,bsinθ+acsθ
16. 已知狄利克雷函数 Dx=1,x∈Q0,x∉Q ,设 fx=Dx⋅sinπx ,有以下两个结论: ①函数 y=fx 是周期函数；②函数 y=fx 的值域是 −1,1 . 则以下说法正确的是( )
A. ①正确②正确 B. ①正确②错误
C. ①错误②正确 D. ①错误②错误
三、解答题(本大题共有 4 题，满分 44 分)
17. 在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且 a2+c2−2ac=b2 .
(1)求角 B ；
(2)若 A=75∘,b=2 ，求边 c 和 △ABC 的面积.
18. 某景区的平面图如图所示,其中 AB,AC 为两条公路, ∠BAC=120∘,M,N 为公路上的两个景点,测得 AM=2 km,AN=1 km ,为了拓展旅游业务,拟在景区内建一个观景台
P ,为了获得最佳观景效果,要求 P 对 M,N 的视角 ∠MPN=60∘ . 现需要从观景台 P 到 M , N 建造两条观光路线 PM,PN .

(1)求 M,N 两地间的直线距离；
(2)求观光线路 PM+PN 长的取值范围.
19. 已知 φ∈[0,π),fx=2sin2x+φ .
(1)若函数 y=fx 是偶函数，求 φ 的值；
(2)当 φ=π4 时，求函数 y=fx,x∈0,π 的单调增区间；
(3) 令 gx=fx⋅fx+π4 ,若函数 y=gx,x∈0,π3 的最大值为 1,求 φ 的取值范围.
20. 若函数 y=fx 的定义域为 D ,对任意 x1,x2∈D ,恒有 fx1+x22≥fx1+fx22 ,则称函数 y=fx 是 D 上的上凸函数,若恒有 fx1+x22≤fx1+fx22 ,则称函数 y=fx 是 D 上的下凸函数,这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意 n 个点,即若 y=fx 是上(下)凸函数,则对任意 x1,x2,⋯,xn∈D ,恒有 fx1+x2+⋯+xnn≥≤fx1+fx2+⋯+fxnn . 应用以上知识解决下列问题:
(1)判断 y=3x2+2x+1 、 y=lg2x 和 y=ex 在定义域上的凹凸性; (只写出结论,不需证明) (2)判断函数 y=sinx,x∈0,π 的凹凸性,并用定义证明; 利用结论,在 △ABC 中,求 sinA+sinB+sinC 的最大值;
(3)在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，记 S 为 △ABC 的面积， L 为 △ABC 的周长,证明: L2≥123S .
1. −55##−155
根据三角函数的定义求解.
csα=−11+4=−55 ,
故答案为: −55 .
2. π
由题意可得 2πω=2 ,解得 ω=π .
3. π+arctan14
根据正切函数的周期及反正切函数的定义可得.
因为正切函数的周期为 π ,所以 tanx=tanx−π=14 ,且 0