上海市格致中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

格致中学2022学年第二学期高一年级数学期中                   

2023.4

一、填空题：（本题共有12个小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分）

1．若点是角终边上的一点，且，则y的值是______．

2．复数的共轭复数的模是______．

3．函数的定义域为______．

4．在△ABC中，，，若点D满足，则（用，表示）

5．若，那么的值是______．

6．已知向量，点，若向量与方向相同，且，则点B的坐标为______．

7．若复数是纯虚数，则角______．

8．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则______．（结果用数值表示）

9．在△ABC中，，，若该三角形为钝角三角形，则边c的取值范围是______．

10．定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为______．

11．设，为单位向量，非零向量，x，．若，的夹角为，则的最大值等于______．

12．某同学对函数进行研究后，得出以下五个结论：

①函数的图像是轴对称图形；

②函数对定义域中任意的x值，恒有成立；

③函数的图像与x轴有无穷多个交点，且每相邻两个交点间的距离相等；

④对于任意常数，存在常数，函数在上严格单调递减，且；

⑤当常数k满足时，函数的图像与直线有且仅有一个公共点．

其中结论正确的序号是：______．

二、选择题：（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分）

13．设复平面上表示和的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（    ）

A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限．

14．已知非零向量，，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件；  B．必要不充分条件；

C．充分必要条件；  D．既不充分也不必要条件．

15．设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（    ）

A．；

B．的图像关于直线对称；

C．在上单调递增；

D．过点的直线与函数的图像必有公共点．

16．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为．则图中阴影区域的面积的最大值为（    ）

A． B． 

C． D．

三、解答题：（本题共有4大题，满分42分．解题时要有必要的解题步骤）

17．（本题共2小题，其中第1小题5分，第2小题5分，满分10分）

在△ABC中角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．

（1）若，，且△ABC的面积，求a，b的值；

（2）若，试判断△ABC的形状．

18．（本题共2小题，其中第1小题4分，第2小题6分，满分10分）

已知关于t的方程的一个根为．

（1）求方程的另一个根及实数a的值；

（2）是否存在实数m，使时，不等式对恒成立？若存在，试求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

19．（本题共2小题，其中第1小题4分，第2小题6分，满分10分）

已知向量，，．

（1）求和；

（2）若函数的最小值为，求实数t的值．

20．（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题6分，满分12分）

在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画．其中，正整数n表示月份且，例如时表示1月份；A和k是正整数；．

统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：

①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；

②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；

③2月份从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．

（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；

（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季．那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由．

参考答案

一、填空题

1.;  2.;  3.;  4.;  5.;  6.;  7.;  8.-18;  9.;  10.；  11.2   12.(1) (2) (4)

11.设，为单位向量，非零向量，x，．若，的夹角为，则的最大值等于______．

【答案】2

【解析】

当且仅当时取等号。的最大值等于2。

12.某同学对函数进行研究后，得出以下五个结论：

①函数的图像是轴对称图形；

②函数对定义域中任意的x值，恒有成立；

③函数的图像与x轴有无穷多个交点，且每相邻两个交点间的距离相等；

④对于任意常数，存在常数，函数在上严格单调递减，且；

⑤当常数k满足时，函数的图像与直线有且仅有一个公共点．

其中结论正确的序号是：______．

【答案】(1)(2)(4)

【解析】对于(1),的定义域为,关于原点对称，

,是偶函数,

的图象关于轴对称,故(1)正确;

对于(2),,在处的切线为,

,,故(2)正确;

对于(3),令得,的图象与轴的交点中,距离原点最
近的两个交点距离为,其余相邻的交点距离为,
故(3)错误;
对于(4),联立方程组得根据与的函数图象可知两图象必有1交点，函数的图象与直线有且仅有一个公共点,故(4)正确.故答案为:(1)(2)(4).

二、选择题

13.A   14.B   15.D   16.B
15.设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（   ）

A．；

B．的图像关于直线对称；

C．在上单调递增；

D．过点的直线与函数的图像必有公共点．

【答案】

【解析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值,

所以,整理得，,,

所以错误;

与函数在对称轴处取得最值矛盾,不正确;

:令
解得,,显然不包含区间不正确;

由于的定义域，最大值,故,从而点的直线与函数的图像必有公共点,正确.故选:.

三、解答题

17.（1）2;2（2）等腰三角形

18.（1）4(2)

19.（1）：（2）

19.已知向量，，．

（1）求和；

（2）若函数的最小值为，求实数t的值．

【答案】见解析

【解析】

当时,

函数在上单调增,函数的最小值为-1，不满足;

当时,函数的最小值为

当时,函数在上单调减,函数的最小值为,不满足,

综上可知,的值为.

20.在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画．其中，正整数n表示月份且，例如时表示1月份；A和k是正整数；．

统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：

①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；

②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；

③2月份从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．

（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；

（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季．那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由．

【答案】见解析

【解析】根据三条规律，可知该函数为周期函数,且周期为12.

由此可得,;由规律(2)可知,

所以,,

由条件是正整数,故取.综上可得,符合条件.
(2)由条件,

可得

因为,所以当
时,,故,即一年中的,10四个月是该地区的旅游“旺季”。