2026年中考数学二轮复习常考考点专题-一元二次方程试题（含答案）

这是一份2026年中考数学二轮复习常考考点专题-一元二次方程试题（含答案），共11页。
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．两根分别是2和5D．两根分别是﹣6和﹣1
2．（2025•渝中区校级模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k＜1且k≠0C．k≠0D．k＞1
3．（2025•龙岗区模拟）一元二次方程x2＝x的根为（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1
C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1
4．（2025•天山区校级模拟）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1且k≠0B．k≤1C．k≤1且k≠0D．k＜1
5．（2025•乌鲁木齐模拟）在一幅长80cm，宽40cm的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是4500cm2，设白色纸边的宽度为x cm，则所列方程正确的是（ ）
A．80×40+2×80x+2×40x+2x2＝4500
B．（80+x）（40+x）＝4500
C．80×40+2×80x+2×40x＝4500
D．（80+2x）（40+2x）＝4500
6．（2025•沈阳模拟）摩拜共享单车计划2023年第三季度（7，8，9月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划7月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程（ ）
A．3000（1+x）2＝12000
B．3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000
C．3000（1﹣x）2＝12000
D．3000+3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000
7．（2025•北流市一模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x）2＝23D．23（1﹣2x）2＝16
8．（2025•烟台一模）若x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2027
9．（2025•临沧模拟）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到132个红包，则该群一共有（ ）
A．9人B．10人C．11人D．12人
10．（2025•宁波模拟）已知y＝x2﹣mx+m2+2m﹣4（1≤x≤3），设y的最大值为M，则M的最小值为（ ）
A．−134B．7C．194D．9
11．（2025•珠海校级三模）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．﹣1B．1C．3D．5
12．（2025•古丈县模拟）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则b−1a−1+a−1b−1的值是（ ）
A．﹣20B．2C．2或﹣20D．12
二．填空题（共8小题）
13．（2025•阳山县二模）已知m、n是x2﹣x﹣3＝0的两个根，则1m+1n的值为 ．
14．（2025•临川区校级一模）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有 个队参加比赛．
15．（2025•浦口区校级模拟）设m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则m2+4m+n＝ ．
16．（2025•濮阳模拟）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
17．（2025•兴庆区校级二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是 ．
18．（2025•鼓楼区校级模拟）设x1，x2是一元一次方程2x2﹣3x﹣10＝0的两根，2x12−3x1+x1x2= ．
19．（2025•海陵区校级三模）已知x1，x2，x3是方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三个实数根，则下列结论：（1）x1•x2•x3＜0，（2）x1+x2+x3＜0中，正确的是 （填序号）．
20．（2025•新蔡县三模）对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•雁塔区校级模拟）社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640m2．求道路的宽是多少米？
22．（2025•泸县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
23．（2025•滨海新区校级模拟）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣4＝0有两个不等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一根．
24．（2025•泗阳县校级一模）阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．借助该材料完成下列各题：
（1）若x1，x2是方程x2+6x﹣3＝0的两个实数根，则x1+x2＝ ，1x1⋅1x2= ．
（2）若x1，x2是方程x2−(m−3)x+m2+84=0的两个实数根，且x12+x22=19，求m的值．
25．（2025•大渡口区模拟）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
2026年中考数学常考考点专题之一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一．选择题（共12小题）
1．（2025•东光县二模）甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为﹣2和﹣5，则原方程根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．两根分别是2和5D．两根分别是﹣6和﹣1
【考点】根与系数的关系；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】设原方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），利用根与系数的关系，可得出−ba=6+1＝7，ca=（﹣2）×（﹣5）＝10，即b＝﹣7a，c＝10a，再将其代入到原方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设原方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），
根据题意得：−ba=6+1＝7，ca=（﹣2）×（﹣5）＝10，
∴b＝﹣7a，c＝10a，
∴原方程为ax2﹣7ax+10a＝0（a≠0），
即x2﹣7x+10＝0，
∴（x﹣2）（x﹣5）＝0，
解得：x1＝2，x2＝5，
∴原方程根的情况是两根分别是2和5．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，利用根与系数的关系，找出b＝﹣7a，c＝10a是解题的关键．
2．（2025•渝中区校级模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k＜1且k≠0C．k≠0D．k＞1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×k×9＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×k×9＞0，
解得k＜1且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（2025•龙岗区模拟）一元二次方程x2＝x的根为（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1
C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【解答】解：原方程移项、因式分解可得x（x﹣1）＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是关键．
4．（2025•天山区校级模拟）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1且k≠0B．k≤1C．k≤1且k≠0D．k＜1
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣16k≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：由题意得k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣16k≥0，
解得k≤1且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（2025•乌鲁木齐模拟）在一幅长80cm，宽40cm的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是4500cm2，设白色纸边的宽度为x cm，则所列方程正确的是（ ）
A．80×40+2×80x+2×40x+2x2＝4500
B．（80+x）（40+x）＝4500
C．80×40+2×80x+2×40x＝4500
D．（80+2x）（40+2x）＝4500
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题意可知：矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（40+2x）cm；则运用面积公式列方程即可．
【解答】解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（40+2x）cm，
所以根据矩形的面积公式可得：（80+2x）（40+2x）4500．
故选：D．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形的面积＝矩形的长×矩形的宽．
6．（2025•沈阳模拟）摩拜共享单车计划2023年第三季度（7，8，9月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划7月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程（ ）
A．3000（1+x）2＝12000
B．3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000
C．3000（1﹣x）2＝12000
D．3000+3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】8月投放摩拜单车3000（1+x）台，9月投放摩拜单车3000（1+x）2台，由此即可列出方程求解．
【解答】解：由题意得：3000+3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000．
故选：D．
【点评】此题考查从实际问题抽象出一元二次方程，解决变化类问题，可利用公式a（1+x）2＝b，其中a是变化前的原始量，b是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率是解题的关键．
7．（2025•北流市一模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x）2＝23D．23（1﹣2x）2＝16
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为23（1﹣x）万元，5月份的售价为23（1﹣x）（1﹣x）＝23（1﹣x）2万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案．
【解答】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴23（1﹣x）2＝16．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．
8．（2025•烟台一模）若x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2027
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1变形为a（x+2）2+b（x+2）+1＝0，此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程，根据题意得到x+2＝2025，从而得到x＝2023．
【解答】解：关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1变形为a（x+2）2+b（x+2）+1＝0，
此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程，
∵x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，
∴x+2＝2025是关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+1＝0的一个根，
∴x+2＝2025，
解得x＝2023，
∴关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为x＝2023．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．（2025•临沧模拟）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到132个红包，则该群一共有（ ）
A．9人B．10人C．11人D．12人
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，根据群内所有人共收到132个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，
依题意列方程得：x（x﹣1）＝132，
整理得，x2﹣x﹣132＝0，
解得x1＝12，x2＝﹣11（不符合题意，舍去）．
则该群一共有12人，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2025•宁波模拟）已知y＝x2﹣mx+m2+2m﹣4（1≤x≤3），设y的最大值为M，则M的最小值为（ ）
A．−134B．7C．194D．9
【考点】配方法的应用；二次函数的性质；二次函数的最值；非负数的性质：偶次方．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意可求出原函数的对称轴为直线x=m2，当m2≤2，即m≤4时，则原函数在x＝3时取到最大值，当m2≥2，即m≥4时，则原函数在x＝1时取到最大值，据此分两种情况讨论求解即可．
【解答】解：y＝x2﹣mx+m2+2m﹣4
＝x2﹣mx+14m2−14m2+m2+2m﹣4
＝（x−12m）2+34m2+2m﹣4，
∴原函数对称轴为直线x=12m，
①若m2≤2，即m≤4，则原函数在x＝3时取到最大值，
∴y的最大值＝9﹣3m+m2+2m﹣4＝m2﹣m+5＝（m−12）2+194≥194，
②若m2≥2，即m≥4，则原函数在x＝1时取到最大值，
∴y的最大值＝1﹣m+m2+2m﹣4＝m2+m﹣3＝（m+12）2−134≥17，
综上，可知当m=12时，Mmin=194．
故选：C．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，二次函数的性质及二次函数的最值，解题时要熟练掌握并理解是关键．
11．（2025•珠海校级三模）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．﹣1B．1C．3D．5
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝22﹣4×1×m＞0，
解得m＜1，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
12．（2025•古丈县模拟）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则b−1a−1+a−1b−1的值是（ ）
A．﹣20B．2C．2或﹣20D．12
【考点】根与系数的关系．
【专题】分类讨论．
【答案】C
【分析】分两种情况进行讨论，①a＝b，②a≠b，根据实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5＝0的解，根据根与系数的关系列出关于a，b的等式即可求解．
【解答】解：①当a＝b时，原式＝2；
②当a≠b时，
根据实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5＝0的解，
∴a+b＝8，ab＝5．
则b−1a−1+a−1b−1=(b−1)2+(a−1)2(a−1)(b−1)
=(a+b)2−2ab−2(a+b)+2ab−(a+b)+1，
把a+b＝8，ab＝5代入得：
=82−10−16+25−8+1
＝﹣20．
综上可得b−1a−1+a−1b−1的值为2或﹣20．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是把a、b看作是方程x2﹣8x+5＝0的解，然后根据根与系数的关系解题．
二．填空题（共8小题）
13．（2025•阳山县二模）已知m、n是x2﹣x﹣3＝0的两个根，则1m+1n的值为 −13 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n＝﹣3，mn＝﹣1，代入整理后的代数式，即可求解．
【解答】解：∵m、n是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，
∴m+n＝1，mn＝﹣3，
∴1m+1n=m+nmn=1−3=−13，
故答案为：−13．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
14．（2025•临川区校级一模）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有 10 个队参加比赛．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】方程思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设共有x个队参加比赛，
根据题意得：2×12x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
15．（2025•浦口区校级模拟）设m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则m2+4m+n＝ 2 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2＝﹣3m+5，则m2+4m+n化为m+n+5，再利用根与系数的关系得到m+n＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的根，
∴m2+3m﹣5＝0，
∴m2＝﹣3m+5，
∴m2+4m+n＝﹣3m+5+4m+n＝m+n+5，
∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+4m+n＝﹣3+5＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
16．（2025•濮阳模拟）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是 m≤4且m≠2 ．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×（m﹣2）×2≥0且m﹣2≠0，
解得m≤4且m≠2，
故答案为：m≤4且m≠2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式Δ＝b2﹣4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．
17．（2025•兴庆区校级二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是 k＞1 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】k＞1．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4k＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＜0，
解得k＞1．
故答案为：k＞1．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
18．（2025•鼓楼区校级模拟）设x1，x2是一元一次方程2x2﹣3x﹣10＝0的两根，2x12−3x1+x1x2= 5 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】5．
【分析】由题意易得2x12−3x1=10，则根据一元二次方程根与系数的关系可知x1x2＝﹣5，然后代入求解即可．
【解答】解：由一元二次方程的解可得2x12−3x1=10，根据一元二次方程根与系数的关系可知x1x2＝﹣5，
∴2x12−3x1+x1x2=10−5=5；
故答案为：5．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．
19．（2025•海陵区校级三模）已知x1，x2，x3是方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三个实数根，则下列结论：（1）x1•x2•x3＜0，（2）x1+x2+x3＜0中，正确的是 （2） （填序号）．
【考点】高次方程．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】（2）．
【分析】根据因式定理可知x﹣x1，x﹣x2，x﹣x3是多项式x3+3x2﹣9x﹣4的因式，得到(x−x1)(x−x2)(x−x3)=x3+3x2−9x−4，再利用多项式的乘法得到﹣（x1+x2+x3）＝3，﹣x1x2x3＝﹣4，得到x1+x2+x3＝﹣3＜0，x1x2x3＝4＞0，即可得出结论．
【解答】解：∵x1，x2，x3是方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三个实数根，
∴(x−x1)(x−x2)(x−x3)=x3+3x2−9x−4，
∴x3−(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x3x1)x−x1x2x3=x3+3x2−9x−4，
∴﹣（x1+x2+x3）＝3，﹣x1x2x3＝﹣4，
∴x1+x2+x3＝﹣3＜0，x1x2x3＝4＞0，
∴（2）正确，（1）错误，
∴正确的是（2）．
故答案为：（2）．
【点评】本题考查了高次方程、因式定理、多项式的乘法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
20．（2025•新蔡县三模）对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＞−14 ．
【考点】根的判别式；实数的运算；一元一次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】a＞−14．
【分析】先根据新定义得到2x+4x2＝a，再把方程化为一般式，接着利用根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4×4×（﹣a）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵（2x）※1＝a，
∴2x+4x2＝a，
方程化为一般式为4x2+2x﹣a＝0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×4×（﹣a）＞0，
解得a＞−14，
故答案为：a＞−14．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•雁塔区校级模拟）社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640m2．求道路的宽是多少米？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设道路的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为（52﹣2x）米，宽为（28﹣2x）米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可．
【解答】解：设道路的宽为x米，根据题意结合平移的性质可得：
（52﹣2x）（28﹣2x）＝640，
4x2﹣160x+816＝0，
x2﹣40x+204＝0，
（x﹣34）（x﹣6）＝0，
解得：x＝34（舍去）或x＝6，
答：道路的宽为6米．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．
22．（2025•泸县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）m≤178；
（2）﹣1．
【分析】（1）利用判别式得到Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1变形得到x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，
解得m≤178；
（2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，
∵（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，
∴x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1，
∴2m﹣4﹣3×1+9＝m2﹣1，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝3（不合题意，舍去）．
故m的值是﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1•x2=ca．也考查了根的判别式．
23．（2025•滨海新区校级模拟）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣4＝0有两个不等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一根．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据不等式组求解即可；
（2）求出求出k，再解方程求出另一个根．
【解答】解：（1）由题意k≠04+16k＞0，
∴k＞−14且k≠0；
（2）∵方程有一个根为2，
∴4k﹣4﹣4＝0，
∴k＝2，
∴方程为2x2﹣2x﹣4＝0，即x2﹣x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
∴x＝2或﹣1，
∴另一个根为﹣1．
【点评】本题考查根与系数关系，根的判别式等知识，解题的关键是转化利用转化的思想解决问题．
24．（2025•泗阳县校级一模）阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．借助该材料完成下列各题：
（1）若x1，x2是方程x2+6x﹣3＝0的两个实数根，则x1+x2＝ ﹣6 ，1x1⋅1x2= −13 ．
（2）若x1，x2是方程x2−(m−3)x+m2+84=0的两个实数根，且x12+x22=19，求m的值．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣6，−13；
（2）﹣2．
【分析】（1）根据根与系数的关系：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca求解即可；
（2）首先根据根的判别式求得m的取值范围，然后由根与系数的关系来求m的值．
【解答】解：（1）由题意可知：x1+x2=−ba=−6，x1•x2=ca=−3，
∴1x1⋅1x2=1x1⋅x2=−13
故答案为：﹣6，−13；
（2）Δ=(m−3)2−4×m2+84≥0，
解得：m≤16，
∵x1、x2是关于x的方程x2−(m−3)x+m2+84=0的两个实数根，
∴x1+x2＝m﹣3，x1⋅x2=m2+84，
又∵x12+x22=19，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=19，即(m−3)2−2×m2+84=19，
解得，m＝﹣2或m＝14，
又∵m≤16，
∴m的值是﹣2．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．
25．（2025•大渡口区模拟）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，根据1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，列一元二次方程，求解即可；
（2）设这种台灯售价应定为m元，根据商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，列一元二次方程，求解即可．
【解答】解：（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，
根据题意，得400（1+x）2＝576，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），
答：2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为20%；
（2）设这种台灯售价应定为m元，
根据题意，得（m﹣30）[576+60.5（40﹣m）]＝4800，
解得m1＝38，m2＝80，
∵售价在35元至40元范围内，
∴m＝38，
答：这种台灯售价应定为38元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立相应的等量关系是解题的关键．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
4．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
5．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
6．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=−（x1+x2），ca=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
9．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
10．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
11．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
12．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
13．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a），对称轴直线x=−b2a，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜−b2a时，y随x的增大而减小；x＞−b2a时，y随x的增大而增大；x=−b2a时，y取得最小值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜−b2a时，y随x的增大而增大；x＞−b2a时，y随x的增大而减小；x=−b2a时，y取得最大值4ac−b24a，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|−b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−b24a|个单位得到的．
14．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
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答案
C
B
C
C
D
D
B
A
D
C
A
题号
12
答案
C