2026中考数学高频考点一轮复习：二元一次方程组（试题含解析）

这是一份2026中考数学高频考点一轮复习：二元一次方程组（试题含解析），共21页。

A．4n=7m+n=8.75B．4m=7m+n=8.75
C．4m=72m+n=8.75D．4n=72m+n=8.75
2．（2025春•武汉）如图，长为12，宽为m的大长方形中，水平或竖直的放入7个形状大小相同的边长分别为a、b的小长方形，则下列选项正确的是（ ）
①4a+3b=122a+2b=m；②b=2m-12a=12-32m；③若m＝7，则b=2a=32；④若m为正整数，则a，b不可能同时为正整数．
A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④
3．（2025春•嘉定区）如果x=ay=b是方程x﹣3y＝3的一组解，那么代数式2a﹣6b+5的值是（ ）
A．8B．5C．11D．﹣1
4．（2025春•鼓楼区）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走4km，登山每小时走3km，下山每小时走6km，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损：3a=6b⋯⋯，则答案中另一个方程应为（ ）
A．3a+b＝12B．a4+b3=3
C．4a+3b3=3+42D．a-b=32
5．（2025•青羊区模拟）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A．x-9=2(y+9)y+9=x-9
B．x+9=2(y-9)y+9=x-9
C．x+9=2yy+9=x
D．x-9=2yy+9=x-9
6．（2025春•淮安）已知x=2y=1是二元一次方程2x+my＝1的一个解，则m的值为（ ）
A．3B．﹣5C．﹣3D．5
7．（2025春•睢宁县期中）若某长方形的长、宽分别增加1cm，得到的新长方形的面积比原长方形的面积增加8cm2，则原长方形的周长是（ ）
A．7cmB．9cmC．12cmD．14cm
8．（2025春•路北区期中）如右方格，各行、各列及两条对角线上的三个数字之积均相等，则pq＝（ ）
A．62B．23C．26D．32
9．（2025春•珠海）关于x，y的方程组3x+4y=32mx+3y=2的解x，y的和等于1．则m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．85D．2
10．（2025•广东三模）为了落实湖北省校园餐专项整治，某市给中学生的营养餐提出如下标准：
若设一份营养餐中含蛋白质x g，脂肪y g，则下列方程中正确的是（ ）
A．x+y=300300×85%-x+2y=300
B．x+y=300×50%300×85%-x+2y=300×50%
C．x+y=300×50%300×85%+x+2y=300
D．x+y=300×50%300×85%-x+2y=300
二．填空题（共5小题）
11．（2025春•嘉定区）已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=2024bx+ay=2025的解为x=1y=2，那么关于m，n的二元一次方程组a(2m+n)+b(m-n)=2024b(2m+n)+a(m-n)=2025的解为 ．
12．（2025春•嘉定区）若关于x，y的方程组2x+y=1-3kx+2y=2的解x=●y=-1被墨水遮挡住了一部分，请你根据已有信息求出k的值是 ．
13．（2025春•长宁区）对于实数x，y，我们定义一种新运算F（x，y）＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，例如F（0，0）＝m×0+nx0＝0．若F（1，﹣3）＝6，F（2，5）＝1，则F（3，﹣2）＝ ．
14．（2025春•扬州）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则可列方程组 ．
15．（2025•柯城区三模）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•高青县）请你根据王老师所给的内容（如图），完成下列各题．
（1）如果x＝5，2〇4＝﹣18，求y的值；
（2）若1〇（﹣2）＝6，4〇3＝2，求x，y的值．
17．（2025春•昌平区）学校为加强学生的体育锻炼，开展了系列体育比赛．在某次投篮比赛中，积分规则为：每组投10次，每投进1球得3分，未投进则扣1分．
（1）奋进组投进9个球，得分为 分；
（2）务实组总共得22分，则该小组投进了多少个球，未投进多少个球？
18．（2025春•扬州）对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．例如，3*2＝3a+2b，2⊗1＝2a﹣b，已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4，则根据定义可以得到：3a+2b=-12a-b=4．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）若x*2y+x⊗y＝10，求x﹣y的值；
（3）若关于x，y的方程组x*y=8+mx⊗y=5m的解也满足方程x﹣y＝9，求m的值；
（4）若关于x，y的方程组a1x*b1y=c1a2x⊗b2y=c2的解为x=12y=5，则关于x，y的方程组4a1(x+y)*5b1(x-y)=c14a2(x+y)⊗5b2(x-y)=c2的解为 ．
19．（2025春•崇明区）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示．
请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
20．（2025春•邓州市期中）数学方法：
在解方程组：3(2x+y)-2(x-2y)=262(2x+y)+3(x-2y)=13时，如果把方程组中的2x+y，x﹣2y分别看作一个整体，设2x+y＝m，x﹣2y＝n，则原方程组可化为3m-2n=262m+3n=13，解此方程组得m=8n=-1，代入2x+y＝m，x﹣2y＝n，得2x+y=8x-2y=-1，解此方程组得x=3y=2，所以原方程组的解为x=3y=2．
我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．这种解方程组的方法体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用．
请你参考这种做法，解决下面的问题：
（1）类比探究：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3的解为x=-2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组a(m+n)+b(m-n)=6b(m+n)+a(m-n)=3的解为 ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2-x-y3=42(x+y)+x-y=16．
中考数学一轮复习 二元一次方程组
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•洛阳）“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，他编写的《燕几图》一书，是组合家具设计图册，也是现代益智玩具七巧板的萌芽．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为m尺，每张长桌的长为n尺，根据图中信息，可列方程组为（ ）
A．4n=7m+n=8.75B．4m=7m+n=8.75
C．4m=72m+n=8.75D．4n=72m+n=8.75
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据每张桌面的宽都相等，设每张桌面的宽为m尺，每张长桌的长为n尺，由图形结合A（7，8.75）列式即可．
【解答】解：根据题意知：横轴方向，4m＝7，
纵轴方向，m+n＝8.75，
∴方程组为4m=7m+n=8.75，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的运用，理解图示，正确列式是关键．
2．（2025春•武汉）如图，长为12，宽为m的大长方形中，水平或竖直的放入7个形状大小相同的边长分别为a、b的小长方形，则下列选项正确的是（ ）
①4a+3b=122a+2b=m；②b=2m-12a=12-32m；③若m＝7，则b=2a=32；④若m为正整数，则a，b不可能同时为正整数．
A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】观察图形，根据长方形的长和宽可得出关于a，b的二元一次方程组，进而可得出结论①符合题意；解方程组可求出a，b的值，即结论②符合题意；将m＝8代入②中可求出a，b的值，由两个值均为正数，可得出结论③不符合题意；由a＞0，b＞0，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数可得出m的值，将其代入②中可求出a，b的值，进而可得出结论④符合题意．综上，此题得解．
【解答】解：∵小长方形的长为b，宽为a，
∴4a+3b=122a+2b=m，
∴结论①符合题意；
解方程组①，得：b=2m-12a=12-32m，
∴结论②符合题意；
将m＝8代入②，得：a=0b=4，
∵a，b均为正数，
∴结论③不符合题意；
∵a＞0，b＞0，即12-32m＞02m-12＞0，
解得：6＜m＜8，
∵m为正整数，
∴m＝7，
∴a=32b=2，
∴结论④符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2025春•嘉定区）如果x=ay=b是方程x﹣3y＝3的一组解，那么代数式2a﹣6b+5的值是（ ）
A．8B．5C．11D．﹣1
【考点】二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】将x=ay=b代入方程x﹣3y＝3，可得a﹣3b＝3，再将所求代数式变形，整体代入求值即可．
【解答】解：由条件可知a﹣3b＝3，
∴2a﹣6b+5
＝2（a﹣3b）+5
＝2×3+5
＝6+5
＝11，
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握该知识点是关键．
4．（2025春•鼓楼区）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走4km，登山每小时走3km，下山每小时走6km，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损：3a=6b⋯⋯，则答案中另一个方程应为（ ）
A．3a+b＝12B．a4+b3=3
C．4a+3b3=3+42D．a-b=32
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】由3a＝6b可知a表示上山所用时间，b表示下山所用时间，分别求出从家到山顶、从山顶到家所用的时间，两者之差等于上山与下山所用时间之差，由此列出方程即可．
【解答】解：由题意知，3a＝6b表示上山的路程等于下山的路程，
∴a表示上山用的时间，b表示下山用的时间，
由题意知，小明从家到山顶所用时间为12﹣8.5＝3.5（h），
从山顶回到家所用时间为3﹣1＝2（h），
∴上山比下山多用时间为：3.5﹣2＝1.5（h），
∴a﹣b=32，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（2025•青羊区模拟）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A．x-9=2(y+9)y+9=x-9
B．x+9=2(y-9)y+9=x-9
C．x+9=2yy+9=x
D．x-9=2yy+9=x-9
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”和“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多”为等量关系，列出方程组即可．
【解答】解：由题意得：
x+9=2(y-9)y+9=x-9，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，根据等量关系列出方程组是解题的关键．
6．（2025春•淮安）已知x=2y=1是二元一次方程2x+my＝1的一个解，则m的值为（ ）
A．3B．﹣5C．﹣3D．5
【考点】二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据方程解的定义，把解代入方程得关于m的二元一次方程，求解即可．
【解答】解：把x=2y=1代入方程2x+my＝1，
得2×2+m×1＝1．
∴m＝﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解法是解答本题的关键．
7．（2025春•睢宁县期中）若某长方形的长、宽分别增加1cm，得到的新长方形的面积比原长方形的面积增加8cm2，则原长方形的周长是（ ）
A．7cmB．9cmC．12cmD．14cm
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】设原长方形的长是x cm，宽是y cm，根据长方形的长、宽分别增加1cm，得到的新长方形的面积比原长方形的面积增加8cm2，列出方程，整理得x+y＝7，即可得出结论．
【解答】解：设原长方形的长是x cm，宽是y cm，
由题意得：（x+1）（y+1）﹣xy＝8，
整理得：x+y＝7，
∴原长方形的周长＝2（x+y）＝2×7＝14，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
8．（2025春•路北区期中）如右方格，各行、各列及两条对角线上的三个数字之积均相等，则pq＝（ ）
A．62B．23C．26D．32
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】根据各行、各列上的三个数字之积均相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：由题意得：2p×3=3×6×22×3q=3×6×2，
解得：p=6q=23，
∴pq=6×23=62，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（2025春•珠海）关于x，y的方程组3x+4y=32mx+3y=2的解x，y的和等于1．则m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．85D．2
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【答案】B
【分析】由题意，可得x+y＝1，则x＝1﹣y，把x＝1﹣y代入方程3x+4y＝3，求出y＝0，再把y＝0代入x＝1﹣y求出x＝1，然后把x＝1，y＝0分别代入方程2mx+3y＝2，得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：由题意可得方程组x+y=1①3x+4y=3②，
由①，得x＝1﹣y③，
把③代入②，得3（1﹣y）+4y＝3，
解得：y＝0，
把y＝0代入③，得x＝1，
把x＝1，y＝0代入方程2mx+3y＝2，得2m×1+0＝2，
解得：m＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法，二元一次方程组解的定义是解题的关键．
10．（2025•广东三模）为了落实湖北省校园餐专项整治，某市给中学生的营养餐提出如下标准：
若设一份营养餐中含蛋白质x g，脂肪y g，则下列方程中正确的是（ ）
A．x+y=300300×85%-x+2y=300
B．x+y=300×50%300×85%-x+2y=300×50%
C．x+y=300×50%300×85%+x+2y=300
D．x+y=300×50%300×85%-x+2y=300
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题中等量关系列出方程组并化简即可．
【解答】解：根据题意得：
x+y=300×50%300×85%-x+2y=300×50%，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春•嘉定区）已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=2024bx+ay=2025的解为x=1y=2，那么关于m，n的二元一次方程组a(2m+n)+b(m-n)=2024b(2m+n)+a(m-n)=2025的解为 m=1n=-1 ．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】m=1n=-1．
【分析】观察两个二元一次方程组可得2m+n=xm-n=y，由于x=1y=2，得到2m+n=1m-n=2，解得即可得到答案．
【解答】解：由条件可知2m+n=xm-n=y，
∵二元一次方程组ax+by=2024bx+ay=2025的解为x=1y=2，
∴2m+n=1m-n=2，
解得：m=1n=-1，
故答案为：m=1n=-1．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键．
12．（2025春•嘉定区）若关于x，y的方程组2x+y=1-3kx+2y=2的解x=●y=-1被墨水遮挡住了一部分，请你根据已有信息求出k的值是 ﹣2 ．
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】由题意可得x+2×（﹣1）＝2，从而得出x＝4，将x＝4，y＝﹣1代入2x+y＝1﹣3k可得2×4﹣1＝1﹣3k，解关于k的一元一次方程即可得解．
【解答】解：由条件可知x+2×（﹣1）＝2，
∴x＝4，
将x＝4，y＝﹣1代入2x+y＝1﹣3k可得2×4﹣1＝1﹣3k，
解得：k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是关键．
13．（2025春•长宁区）对于实数x，y，我们定义一种新运算F（x，y）＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，例如F（0，0）＝m×0+nx0＝0．若F（1，﹣3）＝6，F（2，5）＝1，则F（3，﹣2）＝ 11 ．
【考点】解二元一次方程组；实数的运算．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】11．
【分析】已知两等式利用题中的新定义化简，计算求出m与n的值，代入F（x，y），再把x＝3，y＝﹣2代入计算即可求出值．
【解答】解：根据题中的新运算得m-3n=6，2m+5n=1，
解得m=3，n=-1，
∴F（x，y）＝3x﹣y，
∴F（3，﹣2）＝9﹣（﹣2）＝11．
故答案为：11．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
14．（2025春•扬州）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则可列方程组 x+y=120200x=8×50y ．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x+y=120200x=8×50y．
【分析】因为某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，且8个茶杯和1个茶壶为一套，设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，故可列方程组x+y=120200x=8×50y，即可作答．
【解答】解：根据题意可列方程组为：
x+y=120200x=8×50y，
故答案为：x+y=120200x=8×50y．
【点评】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是关键．
15．（2025•柯城区三模）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为 54cm2 ．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设小长方形的长、宽分别为x cm，y cm，根据图示可以列出方程组x+3y=182y+6=x+y，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：设小长方形的长、宽分别为x cm，y cm，
依题意得x+3y=182y+6=x+y，
解得x=9y=3，
∴小长方形的长、宽分别为9cm，3cm，
∴S阴影部分＝S大长方形﹣6×S小长方形＝18×（6+2y）﹣6xy＝18×（6+2×3）﹣6×9×3＝54（cm2）．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•高青县）请你根据王老师所给的内容（如图），完成下列各题．
（1）如果x＝5，2〇4＝﹣18，求y的值；
（2）若1〇（﹣2）＝6，4〇3＝2，求x，y的值．
【考点】解二元一次方程组；代数式求值．
【答案】（1）y＝2；
（2）x=2y=-2．
【分析】（1）由新定义可得2x+4y＝18，把x＝5代入即可求出y的值；
（2）由新定义可得方程组x-2y=6①4x+3y=2②，然后利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1）由新定义可得2x+4y＝18，
当x＝5时，可得2×5+4y＝18，
解得：y＝2；
（2）由新定义可得方程组x-2y=6①4x+3y=2②，
①×4，得4x﹣8y＝24③，
③﹣②，得﹣11y＝22，
解得：y＝﹣2，
把y＝﹣2代入①，得x﹣2×（﹣2）＝6，
解得：x＝2，
∴方程组的解为x=2y=-2．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
17．（2025春•昌平区）学校为加强学生的体育锻炼，开展了系列体育比赛．在某次投篮比赛中，积分规则为：每组投10次，每投进1球得3分，未投进则扣1分．
（1）奋进组投进9个球，得分为 26 分；
（2）务实组总共得22分，则该小组投进了多少个球，未投进多少个球？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）26；
（2）务实组投进了8个球，未投进2个球．
【分析】（1）根据每组投10次，每投进1球得3分，未投进则扣1分，列式计算即可；
（2）设务实组投进了x个球，未投进y个球，根据每组投10次，务实组总共得22分，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）由题意可知，奋进组投进9个球，得分为9×3﹣1×1＝26（分），
故答案为：26；
（2）设务实组投进了x个球，未投进y个球，
依题意得：x+y=103x-y=22，
解得：x=8y=2，
答：务实组投进了8个球，未投进2个球．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．（2025春•扬州）对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．例如，3*2＝3a+2b，2⊗1＝2a﹣b，已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4，则根据定义可以得到：3a+2b=-12a-b=4．
（1）a＝ 1 ，b＝ ﹣2 ；
（2）若x*2y+x⊗y＝10，求x﹣y的值；
（3）若关于x，y的方程组x*y=8+mx⊗y=5m的解也满足方程x﹣y＝9，求m的值；
（4）若关于x，y的方程组a1x*b1y=c1a2x⊗b2y=c2的解为x=12y=5，则关于x，y的方程组4a1(x+y)*5b1(x-y)=c14a2(x+y)⊗5b2(x-y)=c2的解为 x=2y=1 ．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；解一元一次方程；二元一次方程的解．
【专题】新定义；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）1，﹣2；
（2）x﹣y＝5；
（3）m=32；
（4）x=2y=1．
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）由新定义可得ax+2by+ax﹣by＝10，即2ax+by＝10，把（1）中求出的a，b的值代入，进而得出答案；
（3）根据新定义，a＝1，b＝﹣2，可得方程组x-2y=8+mx+2y=5m，然后利用加减消元法解方程组，求出含m的x，y的值，再根据x﹣y＝9，得出含m的一元一次方程，再解一元一次方程即可；
【解答】解：（1）3a+2b=-1①2a-b=4②，
②×2，得4a﹣2b＝8③，
①+③，得7a＝7，
解得：a＝1，
把a＝1代入②，得2×1﹣b＝4，
解得：b＝﹣2．
故答案为：1，﹣2；
（2）由新定义，可得ax+2by+ax﹣by＝10，即2ax+by＝10，
∵a＝1，b＝﹣2，
∴2x﹣2y＝10，
∴x﹣y＝5；
（3）由新定义，a＝1，b＝﹣2，可得方程组x-2y=8+m①x+2y=5m②，
①+②，得2x＝6m+8，
解得：x＝3m+4，
把x＝3m+4代入②，得3m+4+2y＝5m，
解得：y＝m﹣2，
∵x﹣y＝9，
∴3m+4﹣m+2＝9，
解得：m=32；
（4）设u＝x+y，v＝x﹣y，
则新方程组为4a1u*5b1v=c14a2u⊗5b2v=c2，
∵原方程组的解为x=12y=5，
∴方程组变形为a(a1⋅12)+b(b1⋅5)=c1a(a2⋅12)-b(b2⋅5)=c2，
新方程组为a(4a1u)+b(5b1v)=c1a(4a2u)-b(5b2v)=c2，
∴4a1u＝a1•12，5b1v＝b1•5，
∴u＝3，v＝1，
∴x+y=3①x-y=1②，
①+②，得2x＝4，
解得：x＝2，
把x＝2代入①，得2+y＝3，
解得：y＝1，
∴方程组的解为x=2y=1．
故答案为：x=2y=1．
【点评】本题考查了新定义，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解一元一次方程，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法，二元一次方程解的定义，二元一次方程组解的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键．
19．（2025春•崇明区）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示．
请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】购置钢笔10支，金额为150元；购置笔记本30本，金额为150元．
【分析】设购置钢笔x支，购置笔记本y本，根据题意列出方程组6+x+y=466×100+15x+5y=900，求出x和y的值，得出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【解答】解：设购置钢笔x支，购置笔记本y本，
6+x+y=466×100+15x+5y=900，
∴x=10y=30，
∴10×15＝150（元），30×5＝150（元），
∴购置钢笔10支，金额为150元；购置笔记本30本，金额为150元．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
20．（2025春•邓州市期中）数学方法：
在解方程组：3(2x+y)-2(x-2y)=262(2x+y)+3(x-2y)=13时，如果把方程组中的2x+y，x﹣2y分别看作一个整体，设2x+y＝m，x﹣2y＝n，则原方程组可化为3m-2n=262m+3n=13，解此方程组得m=8n=-1，代入2x+y＝m，x﹣2y＝n，得2x+y=8x-2y=-1，解此方程组得x=3y=2，所以原方程组的解为x=3y=2．
我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．这种解方程组的方法体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用．
请你参考这种做法，解决下面的问题：
（1）类比探究：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3的解为x=-2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组a(m+n)+b(m-n)=6b(m+n)+a(m-n)=3的解为 m=1n=-3 ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2-x-y3=42(x+y)+x-y=16．
【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）m=1n=-3；（2）x=4y=4．
【分析】（1）利用换元法解方程即可；
（2）利用换元法解方程即可．
【解答】解：（1）设u＝m+n，v＝m﹣n，则方程组化为：au+bv=6bu+av=3，
由已知得u=-2v=4，则有m+n=-2m-n=4，
解得：m=1n=-3；
故答案为：m=1n=-3；
（2）设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可化为m2-n3=42m+n=16，
解得：m=8n=0，
即有x+y=8x-y=0，
解得x=4y=4，
∴原方程组的解为x=4y=4．
【点评】本题考查了换元法解二元一次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
①营养餐的总质量为300g；
②营养餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；
③蛋白质和脂肪的含量占50%，矿物质的含量是脂肪含量的2倍，蛋白质和碳水化合物的含量占85%．
①营养餐的总质量为300g；
②营养餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；
③蛋白质和脂肪的含量占50%，矿物质的含量是脂肪含量的2倍，蛋白质和碳水化合物的含量占85%．