2026年中考数学二轮复习常考考点专题-平面直角坐标系试题（含答案）

这是一份2026年中考数学二轮复习常考考点专题-平面直角坐标系试题（含答案），共11页。

A．（2，3）B．（0，2）C．（3，2）D．（1，3）
2．（2025•湖北模拟）俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点A恰好落在点B（3，1）处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为（ ）
A．（4，7）B．（5，6）C．（5，7）D．（7，5）
3．（2025•山西模拟）如图是李明绘制的他所在社区的平面示意图，若学校所在位置的坐标是（1，4），儿童公园所在位置的坐标为（﹣3，﹣2），则位于（2，0）的建筑是（ ）
A．汽车站B．医院C．李明家D．水果店
4．（2025•武安市二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，边AB＝1，现将Rt△ABC以点A（1，1）为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转60°，则经过2030次旋转后，点C的坐标为（ ）
A．（−12，1−32）B．（1−32，−12）
C．（32，1−32）D．（1−3，0）
5．（2025•隆昌市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M→N⋯）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（3−32，12）；如此下去，…，则A2024的坐标是（ ）
A．（3，2）B．（1，3）C．（32，52）D．（12，32）
6．（2025•临颍县三模）如图，已知A1(1，−3)，A2(3，−3)，A3（4，0），A4（6，0），A5(7，3)，A6(9，3)，A7（10，0），A8(11，−3)，…，依此规律，点A2024的坐标为（ ）
A．（2890，0）B．（2891，−3）
C．(2893，−3)D．(2895，3)
7．（2025•青秀区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，点A1（﹣1，1）在直线y＝x+b上，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1，作等腰直角三角形A1B1B2（B2与原点O重合），再以A1B2为腰作等腰直角三角形A2A1B2，以A2B2为腰作等腰直角三角形A2B2B3，⋯，按照这样的规律进行下去，那么A2025的坐标为（ ）
A．（22024﹣1，22024）B．（22024﹣2，22024）
C．（22025﹣1，22025）D．（22025﹣2，22025）
8．（2025•沙坪坝区模拟）五子棋起源于中国，古代称为“连珠”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘①，②，③，④四个落子位置，能使所得的对弈图是轴对称图形的落子位置是（ ）
A．①B．②C．③D．④
9．（2025•峄城区三模）如图，直线y=−43x+8与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点P（0，6）出发，沿平行于OA的直线运动，到达AB上的点P1处，再沿平行于OB的直线运动，到达OA上的点P2处，再沿平行于AB的直线运动，到达OB上的点P3处，再沿平行于OA的直线运动，到达AB上的点P4处…如此运动下去，则点P2025的坐标为（ ）
A．（0，3）B．（0，2）C．(32，6)D．(92，2)
10．（2025•观山湖区校级一模）七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A与点B关于原点成中心对称，且B（﹣1，﹣1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣2，2）B．（2，﹣2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）
11．（2025•从化区二模）如图，是红军长征路线图，若表示会宁会师的点的坐标为（0，0），则表示瑞金的点的坐标为（ ）
A．（4，5）B．（5，4）C．（4，﹣5）D．（5，﹣4）
12．（2025•镇平县二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（0，2），（2，0），（﹣2，0），一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P1与点P2关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称，第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称…照此规律重复下去，则点P2025的坐标为（ ）
A．（﹣8，4）B．（﹣4，0）C．（4，﹣4）D．（8，0）
13．（2025•端州区校级二模）如图，观察规律11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14⋯，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点Pn（n，0）（n＝1、2、⋯）作x轴的垂线，交y＝ax2（a＞0）的图象于点An，交直线y＝﹣ax于点Bn，则1A1B1+1A2B2+⋯+1A2024B2024的值为（ ）
A．20222023aB．20232024aC．2025a2024D．20242025a
二．填空题（共12小题）
14．（2025•聊城模拟）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y﹣2，x﹣2）称为点P的伴随点．已知点A1的伴随点为点A2，点A2的伴随点为点A3，点A3的伴随点为点A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，A4…，An（n为正整数）．若点A1的坐标为（﹣1，﹣2），则点A2025的坐标为 ．
15．（2025•德州模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，点A（﹣4，0），点M（t，﹣2），N（t+2，﹣3），连接MN，AM，BN，当AM+BN最小时，t的值为 ．
16．（2025•费县二模）在平面直角坐标系中，有点P（x，y）和点P′（﹣y+1，x+2）两点，我们把点P′叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（2，5），则点A2025的坐标为 ．
17．（2025•丰泽区校级模拟）已知，如图，点A（﹣8，12），B和C为x轴上两点，其中点B在点C的左侧，连接OA，若OA平分∠BAC，则1OB−1OC的值为 ．
18．（2025•宁江区一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3…以此类推，则正方形OB2024B2025C2025的顶点B2025的坐标是 ．
19．（2025•城东区校级三模）象棋在中国有着悠久的历史，在春秋战国时代的文化名著《楚辞•招魂》中就有“蔽象棋，有六博兮”的词句，说明在当时已经有了“象棋”这个名词．如图，这是象棋的对奔图（部分），若棋子“帅”表示点（0，﹣3），棋子“仕”表示点（﹣1，﹣3），则棋子“马”所在点的坐标是 ．
20．（2025•梅河口市模拟）2025年第九届亚洲冬季运动会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，旨在通过“冰雪”这一元素串联亚洲各国，打造冰雪经济新增长级，促进亚洲各国和“一带一路”国家的人文交流．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，若建立适当的平面直角坐标系，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点C的坐标为 ．
21．（2025•桓台县二模）已知一次函数y=33x+1的图象与y轴相交于点A1，以OA1为边作等边△OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作y轴的平行线与该一次函数的图象交于点A2，与x轴交于点C1，以C1A2为边作等边△C1A2B2（点B2在点B1的右边），以同样的方式依次作等边△C2A3B3，等边△C3A4B4，⋯，则点A2025的纵坐标为 ．
22．（2025•舞阳县三模）如图，在平面直角坐标系中，P（2，0），正六边形ABCDEF的顶点A，D的坐标分别为（1，0），（﹣1，0），点M是正六边形ABCDEF的边上一动点，连接PM，在PM的右上方作等腰直角三角形PMN，其中∠MPN＝90°．点M从点A出发，按照顺时针的方向（即A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣A…）以每秒12个单位长度的速度运动，则第2025秒时点N的坐标为 ．
23．（2025•寿阳县三模）七巧板，又称智慧板，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是由七巧板拼成的小船，若点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（1，0），则点C的坐标为 ．
24．（2025•上饶一模）七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具，由等腰直角三角形、正方形和平行四边形组成．如图，这是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A的坐标为（﹣2，﹣1），点B的坐标为（0，1），则点C的坐标为 ．
25．（2025•东莞市校级模拟）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B是x轴上的一个动点．以AB为边向右侧作等边三角形ABC，连接OC，在运动过程中，OC的最小值为 ．
2026年中考数学常考考点专题之平面直角坐标系
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
一．选择题（共13小题）
1．（2025•麦积区校级模拟）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为极为流行的益智游戏．如图是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“帥”的点的坐标分别为（0，2），（﹣1，﹣1），则表示棋子“馬”的点的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（0，2）C．（3，2）D．（1，3）
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】C
【分析】根据表示棋子“炮”和“帥”的点的坐标，可以画出相应的平面直角坐标系，然后即可写出表示棋子“馬”的点的坐标．
【解答】解：由题意可得，平面直角坐标系如图所示，
则表示棋子“馬”的点的坐标为（3，2），
故选：C．
【点评】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．（2025•湖北模拟）俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点A恰好落在点B（3，1）处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为（ ）
A．（4，7）B．（5，6）C．（5，7）D．（7，5）
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】C
【分析】上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；左右平移只改变点的横坐标，左减右加，据此求解即可．
【解答】解：根据坐标平移的性质，
∵点A先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后的位置为点B，
∴将点B（3，1）先向上移动6个格于，再向右移动2个格子后得到点A，
∴上方的方块移动前点A所在位置的坐标为（5，7），
综上所述，只有选项C正确，符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了坐标确定位置，关键是坐标平移的性质的熟练掌握．
3．（2025•山西模拟）如图是李明绘制的他所在社区的平面示意图，若学校所在位置的坐标是（1，4），儿童公园所在位置的坐标为（﹣3，﹣2），则位于（2，0）的建筑是（ ）
A．汽车站B．医院C．李明家D．水果店
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】A
【分析】根据学校所在位置的坐标是（1，4），儿童公园所在位置的坐标为（﹣3，﹣2）建立平面直角坐标系，然后找出位于（2，0）的建筑即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图，
位于（2，0）的建筑是汽车站．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标位置的确定，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解题的关键．
4．（2025•武安市二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，边AB＝1，现将Rt△ABC以点A（1，1）为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转60°，则经过2030次旋转后，点C的坐标为（ ）
A．（−12，1−32）B．（1−32，−12）
C．（32，1−32）D．（1−3，0）
【考点】规律型：点的坐标；含30度角的直角三角形；勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】规律型．
【答案】A
【分析】先求出BC＝2AB＝2，AC=BC2−AB2=22−12=3，由题意可知，Rt△ABC 以A（1，1）为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转60°，则每6次旋转1周，得到经过2030次旋转后，点C落在的位置，画出图形进行解答即可．
【解答】解：在 Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝1，
∴BC＝2AB＝2，
∴AC=BC2−AB2=22−12=3，
由题意可知，Rt△ABC 以A（1，1）为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转60°，则每6次旋转1周．2030÷6＝338…2，
如图，Rt△ABC 以A（1，1）为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转60°，经过2030次旋转后，点C转到点D的位置，则AD=AC=3，∠CAD＝120°，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于点H，
∵∠DAH＝∠CAD﹣∠CAH＝30°，
∴DH=12AD=32，
∴AH=AD2−DH2=(3)2−(32)2=32，
∵A（1，1），
∴点D的坐标是(−12，1−32)，
故选：A．
【点评】此题考查了旋转的性质、勾股定理、含30°角直角三角形的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键．
5．（2025•隆昌市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M→N⋯）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（3−32，12）；如此下去，…，则A2024的坐标是（ ）
A．（3，2）B．（1，3）C．（32，52）D．（12，32）
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】B
【分析】根据所给滚动方式，依次求出点An（n为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
点A1的坐标为（2，0），
点A2的坐标为（2，0），
点A3的坐标为（3−32，12），
点A4的坐标为（3，2），
点A5的坐标为（3，2），
点A6的坐标为（52，3−32），
点A7的坐标为（1，3），
点A8的坐标为（1，3），
点A9的坐标为（32，52），
点A10的坐标为（0，1），
点A11的坐标为（0，1），
点A12的坐标为（12，32），
点A13的坐标为（2，0），
…，
由此可见，点An的坐标每12个循环一次，
因为2024÷12＝168余8，
所以点A2024的坐标为（1，3）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意发现点An的坐标每12个循环一次是解题的关键．
6．（2025•临颍县三模）如图，已知A1(1，−3)，A2(3，−3)，A3（4，0），A4（6，0），A5(7，3)，A6(9，3)，A7（10，0），A8(11，−3)，…，依此规律，点A2024的坐标为（ ）
A．（2890，0）B．（2891，−3）
C．(2893，−3)D．(2895，3)
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】B
【分析】观察所给图形及点的坐标，发现横纵坐标的变化规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
点A1的坐标为（1，−3），
点A2的坐标为（3，−3），
点A3的坐标为（4，0），
点A4的坐标为（6，0），
点A5的坐标为（7，3），
点A6的坐标为（9，3），
点A7的坐标为（10，0），
点A8的坐标为（11，−3），
点A9的坐标为（13，−3），
点A10的坐标为（14，0），
点A11的坐标为（16，0），
点A12的坐标为（17，3），
点A13的坐标为（19，3），
点A14的坐标为（20，0），
…，
由此可见，每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按−3，−3，0，0，3，3，0循环出现，
又因为2024÷7＝289余1，
所以1+289×10＝2891，
则点A2024的坐标为（2891，−3）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，能通过计算发现每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按−3，−3，0，0，3，3，0循环出现是解题的关键．
7．（2025•青秀区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，点A1（﹣1，1）在直线y＝x+b上，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1，作等腰直角三角形A1B1B2（B2与原点O重合），再以A1B2为腰作等腰直角三角形A2A1B2，以A2B2为腰作等腰直角三角形A2B2B3，⋯，按照这样的规律进行下去，那么A2025的坐标为（ ）
A．（22024﹣1，22024）B．（22024﹣2，22024）
C．（22025﹣1，22025）D．（22025﹣2，22025）
【考点】规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】规律型．
【答案】B
【分析】由题意可得点B1、B2、B3、…、Bn在x轴上，且A1B1＝B1B2，A2B2＝B2B3，A3B3＝B3B4，…，求出A2（0，2），A3（2，4），A4（6，8），得出规律An(2n−1−2，2n−1)，即可得解．
【解答】解：由题意可得：点B1、B2、B3、…、Bn在x轴上，且A1B1＝B1B2，A2B2＝B2B3，A3B3＝B3B4，…，
∵A1（﹣1，1）在直线y＝x+b上，
∴﹣1+b＝1，
∴b＝2，
∴直线为 y＝x+2，
令x＝0，则y＝2，即A2（0，2），
∴A2B2＝B2B3＝2，
当x＝2时，y＝2+2＝4，即A3（2，4），
∴A3B3＝B3B4＝4，
∴OB4＝B2B3+B3B4＝2+4＝6，
当x＝6，y＝6+2＝8，即A4（6，8），
…，
∴An(2n−1−2，2n−1)，
∴A2025的坐标为（22025﹣1﹣2，22025﹣1），
故选：B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、一次函数的性质、坐标规律探索，正确得出规律是解此题的关键．
8．（2025•沙坪坝区模拟）五子棋起源于中国，古代称为“连珠”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘①，②，③，④四个落子位置，能使所得的对弈图是轴对称图形的落子位置是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】A
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可答案．
【解答】解：白方如果落子于点①的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
9．（2025•峄城区三模）如图，直线y=−43x+8与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点P（0，6）出发，沿平行于OA的直线运动，到达AB上的点P1处，再沿平行于OB的直线运动，到达OA上的点P2处，再沿平行于AB的直线运动，到达OB上的点P3处，再沿平行于OA的直线运动，到达AB上的点P4处…如此运动下去，则点P2025的坐标为（ ）
A．（0，3）B．（0，2）C．(32，6)D．(92，2)
【考点】规律型：点的坐标；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】B
【分析】首先根据平行关系和直线y=−43x+8分别求出点P1、P2、P2、P4、P5、P6的坐标，根据它们坐标的变化规律，得到点P2025的坐标．
【解答】解：如图：
∵当x＝0时，y＝8，当y＝0时，x＝6，
∴A（6，0），B（0，8），
∴OA＝6，OB＝8，
∵P（0，6），
∴6=−43x+8，
解得x=32，
∴P1(32，6)，
∵P1P2∥y轴，
∴P2(32，0)，
∴OP2=32，
∵P2P3∥AB，
∴∠P2P3O＝∠ABO，
∴tan∠P2P3O＝tan∠ABO，
∴OP2OP3=OAOB，
∴OP3＝2，
∴P3（0，2），
∵P3P4∥x轴，点P4在直线y=−43x+8上，
∴2=−43x+8，
∴x=92，
∴P4(92，2)，
∵P4P5∥y轴，
∴P5(92，0)，
∴OP5=92，
∵P5P6∥AB，
∴∠P5P6O＝∠ABO，
∴tan∠P5P6O＝tan∠ABO，
∴OP5OP6=OAOB，
∴OP6＝6，
∴P6（0，6），
∴与P（0，6）重复，
∴每6个点是一个循环组，
∴2025÷6＝337……3，
∴P2025（0，2）．
故选：B．
【点评】此题主要考查坐标的规律探索．解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质，找到坐标规律进行求解．
10．（2025•观山湖区校级一模）七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A与点B关于原点成中心对称，且B（﹣1，﹣1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣2，2）B．（2，﹣2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）
【考点】坐标确定位置；七巧板；关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】A
【分析】根据点A与点B的坐标建立直角坐标系即可得出点C的坐标．
【解答】解：建立如下直角坐标系：
则点C的坐标为（﹣2，2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查坐标确定位置及七巧板，建立正确的直角坐标系是解题的关键．
11．（2025•从化区二模）如图，是红军长征路线图，若表示会宁会师的点的坐标为（0，0），则表示瑞金的点的坐标为（ ）
A．（4，5）B．（5，4）C．（4，﹣5）D．（5，﹣4）
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】C
【分析】由已知点建立平面直角坐标系，得出原点位置，即可得出答案．
【解答】解：如图：
表示瑞金的点的坐标为（4，﹣5）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了坐标确定位置，正确记忆相关知识点是解题关键．
12．（2025•镇平县二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（0，2），（2，0），（﹣2，0），一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P1与点P2关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称，第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称…照此规律重复下去，则点P2025的坐标为（ ）
A．（﹣8，4）B．（﹣4，0）C．（4，﹣4）D．（8，0）
【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】A
【分析】计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2025的坐标．
【解答】解：观察，发现规律：P0（0，0），P1（0，4），P2（4，﹣4），P3（﹣8，4），P4（8，0），P5（﹣4，0），P6（0，0），P7（0，4），…，
6次一个循环，
∵2025＝6×337+3，
∴P2025（﹣8，4）．
故选：A．
【点评】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解题的关键是找出变化规律．
13．（2025•端州区校级二模）如图，观察规律11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14⋯，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点Pn（n，0）（n＝1、2、⋯）作x轴的垂线，交y＝ax2（a＞0）的图象于点An，交直线y＝﹣ax于点Bn，则1A1B1+1A2B2+⋯+1A2024B2024的值为（ ）
A．20222023aB．20232024aC．2025a2024D．20242025a
【考点】规律型：点的坐标；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】D
【分析】令x＝n，可得：An纵坐标为an2，Bn 纵坐标为﹣an，利用阅读学习的知识迁移计算解答即可．
【解答】解：∵过点Pn（n，0）（n＝1、2、⋯）的垂线，交y＝ax2（a＞0）的图象于点An，交直线y＝﹣ax于点Bn，
∴令x＝n，可得：An纵坐标为an2，Bn 纵坐标为﹣an，
∴AnPn=an2，BnPn＝an，
∴AnBn=an2+an，
∴1AnBn=1a(n2+n)=1a⋅1n(n+1)=1a(1n−1n+1)，
∴1A1B1+1A2B2+...+1AnBn
=1a(1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1)
=1a(1−1n+1)
=1a⋅nn+1
=na(n+1)，
当n＝2024时，原式=20242025a，
故选：D．
【点评】本题考查了交点问题，距离规律计算，熟练掌握规律是解题的关键．
二．填空题（共12小题）
14．（2025•聊城模拟）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y﹣2，x﹣2）称为点P的伴随点．已知点A1的伴随点为点A2，点A2的伴随点为点A3，点A3的伴随点为点A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，A4…，An（n为正整数）．若点A1的坐标为（﹣1，﹣2），则点A2025的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（﹣1，﹣2）．
【分析】根据新定义，求出前几个点的坐标，进而找到坐标规律，进行判断即可．
【解答】解：点A1的伴随点为点A2，点A2的伴随点为点A3，点A3的伴随点为点A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，A4…，An（n为正整数）根据题意可知：
A2（2﹣2，﹣1﹣2），即：A2（0，﹣3），
A3（3﹣2，0﹣2），即：A3（1，﹣2），
A4（2﹣2，1﹣2），即：A4（0，﹣1），
A5（1﹣2，0﹣2），即：A5（﹣1，﹣2），
A6（2﹣2，﹣1﹣2），即A6（0，﹣3），
⋯，
即：An的坐标按照：（﹣1，﹣2），（0，﹣3），（1，﹣2），（0，﹣1），每四次一个循环，
∵2025÷4＝506⋯1，
∴点A2025的坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查点的规律探究，正确找到规律是解题关键．
15．（2025•德州模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，点A（﹣4，0），点M（t，﹣2），N（t+2，﹣3），连接MN，AM，BN，当AM+BN最小时，t的值为 −329 ．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】−329．
【分析】根据题意可知B（0，4），点N可以看成是点M向右平移2个单位，向下平移1个单位，将A向右平移2个单位，向下平移1个单位，得D（﹣2，﹣1），连接AD，DN，得AM＝DN，作D关于直线y＝﹣3的对称点E，连接BE，EN，则EN＝DN＝AM，得E（﹣2，﹣5），而AM+BN＝NE+BN≥BE，当点N在BE上时，取等号，此时AM+BN有最小值，利用待定系数法求得直线BE的解析式为y=92x+4，将N（t+2，﹣3）代入求解即可．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，点A（﹣4，0），则AB＝BC，OA＝4，
∴∠BAC＝45°，则∠ABO＝45°
∴OA＝OB＝4，即B（0，4），
∵点M（t，﹣2），N（t+2，﹣3），
∴点N可以看成是点M向右平移2个单位，向下平移1个单位，
将A向右平移2个单位，向下平移1个单位，得D（﹣2，﹣1），连接AD，DN，
∴AM＝DN，
∵N（t+2，﹣3），则N在直线y＝﹣3上，
作D关于直线y＝﹣3的对称点E，连接BE，EN，则EN＝DN＝AM，
∴E（﹣2，﹣5），
而AM+BN＝NE+BN≥BE，当点N在BE上时，取等号，此时AM+BN有最小值，
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
由题意可得：
可得：b=4−2k+b=−5，
∴k=92b=4，
∴y=92x+4，
将N（t+2，﹣3）代入y=92x+4可得：92(t+2)+4=−3，
解得：t=−329．
故答案为：−329．
【点评】本题考查图形与坐标，路径最短问题，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，平移，轴对称等知识点，推到得出AM+BN＝NE+BN≥BE，当点N在BE上时，取等号，此时AM+BN有最小值，是解决问题的关键．
16．（2025•费县二模）在平面直角坐标系中，有点P（x，y）和点P′（﹣y+1，x+2）两点，我们把点P′叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（2，5），则点A2025的坐标为 （2，5） ．
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】（2，5）．
【分析】根据题意求出点的坐标找出规律，进行总结计算即可．
【解答】解：已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，点A1的坐标为（2，5），……，
根据伴随点的定义可得：
A1（2，5），A2（﹣4，4），A3（﹣3，﹣2），A4（3，﹣1），A5（2，5），A6（﹣4，4），A7（﹣3，﹣2），A8（3，﹣1）……，
根据周期规律，A1到A4为一个周期，周期为4，
∴2025÷4＝506……1，
∴点A2025的坐标为（2，5），
故答案为：（2，5）．
【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，解题的关键是根据题意找出周期规律．
17．（2025•丰泽区校级模拟）已知，如图，点A（﹣8，12），B和C为x轴上两点，其中点B在点C的左侧，连接OA，若OA平分∠BAC，则1OB−1OC的值为 113 ．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】计算题；推理能力．
【答案】113．
【分析】运用三角形等分线的性质，再表示出OB，OC的关系可解．
【解答】解：设B点坐标为（﹣m，0），
C点坐标为（n，0）．
∵OA平分∠BAC，
∴ABAC=OBOC=mn①，
∵A（﹣8，12），
由勾股定理可得：
AB= [−8−(−m)2+(12−0)2=(m−8)2+144，
AC=(−8−n)2+(12−0)2=(n+8)2+144，
代入到①可得：
(m−8)2+144(n+8)2+144=mn，
化简得n﹣m=mn13，
∴mnn−m=13，
∴n−mmn=113，
∵1OB−1OC=OC−OBOB×OC=n−mmn．
∴1OB−1OC=113，
故答案为：113．
【点评】本题考查计算能力和逻辑推理能力，正确的化简等式是解题的关键．
18．（2025•宁江区一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3…以此类推，则正方形OB2024B2025C2025的顶点B2025的坐标是 （21013，21013） ．
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型；应用意识．
【答案】（21013，21013）．
【分析】根据题意，可以从各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律入手．
【解答】解：由图形可知，OB1=22+22=22，
OB2=(22)2+(22)2=2×(2)2=4，
OB3=42+42=2×(2)3=42，
⋯，
每一个B点到原点的距离依次是前一个B点到原点的距离的2倍，同时，各个B点每次旋转45°，每八次旋转一周．
∴顶点B2024到原点的距离为2×(2)2024=21013，
∵2024＝253×8，
∴正方形OB2023B2024C2024的顶点B2024的坐标恰好在x轴的正半轴上，
∴正方形OB2024B2025C2025的顶点B2025恰好在第一象限角平分线上，
∴顶点B2025的坐标是（21013，21013）．
故答案为：（21013，21013）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，正确地找出规律是解题的关键．
19．（2025•城东区校级三模）象棋在中国有着悠久的历史，在春秋战国时代的文化名著《楚辞•招魂》中就有“蔽象棋，有六博兮”的词句，说明在当时已经有了“象棋”这个名词．如图，这是象棋的对奔图（部分），若棋子“帅”表示点（0，﹣3），棋子“仕”表示点（﹣1，﹣3），则棋子“马”所在点的坐标是 （﹣3，0） ．
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】（﹣3，0）．
【分析】直接利用已知点坐标确定原点位置，进而建立平面直角坐标系进而得出答案．
【解答】解：如图所示：棋子“马”所在点的坐标是（﹣3，0），
故答案为：（﹣3，0）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
20．（2025•梅河口市模拟）2025年第九届亚洲冬季运动会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，旨在通过“冰雪”这一元素串联亚洲各国，打造冰雪经济新增长级，促进亚洲各国和“一带一路”国家的人文交流．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，若建立适当的平面直角坐标系，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点C的坐标为 （1，﹣1） ．
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】（1，﹣1）．
【分析】根据点A和点B的坐标可确定坐标轴和原点的位置，据此建立坐标系即可得到答案．
【解答】解：建立如下坐标系，
∴由图象可知C（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）．
【点评】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，建立直角坐标系是关键．
21．（2025•桓台县二模）已知一次函数y=33x+1的图象与y轴相交于点A1，以OA1为边作等边△OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作y轴的平行线与该一次函数的图象交于点A2，与x轴交于点C1，以C1A2为边作等边△C1A2B2（点B2在点B1的右边），以同样的方式依次作等边△C2A3B3，等边△C3A4B4，⋯，则点A2025的纵坐标为 (32)2024 ．
【考点】规律型：点的坐标；两条直线相交或平行问题．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】(32)2024．
【分析】根据题意，依次求出点A1，A2，A3，…，的纵坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将x＝0代入y=33x+1得，
y＝1，
所以点A1的纵坐标为1．
因为△OA1B1是等边三角形，
所以点B1的横坐标为32，
将x=32代入y=33x+1得，
y=32，
所以点A2的纵坐标为32．
同理可得，点A3的纵坐标为94，点A4的纵坐标为278，…，
所以点An的纵坐标可表示为(32)n−1．
当n＝2025时，
点A2025的纵坐标为(32)2024．
故答案为：(32)2024．
【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律及两条直线相交或平行问题，能通过计算发现点An的纵坐标可表示为(32)n−1是解题的关键．
22．（2025•舞阳县三模）如图，在平面直角坐标系中，P（2，0），正六边形ABCDEF的顶点A，D的坐标分别为（1，0），（﹣1，0），点M是正六边形ABCDEF的边上一动点，连接PM，在PM的右上方作等腰直角三角形PMN，其中∠MPN＝90°．点M从点A出发，按照顺时针的方向（即A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣A…）以每秒12个单位长度的速度运动，则第2025秒时点N的坐标为 (2+32，2) ．
【考点】规律型：点的坐标；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正多边形和圆．
【专题】平面直角坐标系；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】(2+32，2)．
【分析】先证明△AOB是等边三角形，从而可求出AB＝OA＝1，于是可得正六边形ABCDEF的周长为6，再求出点M运动一周用时间，从而可得出第2025秒时点M的位置与第9秒时点M的位置相同，即与EF的中点重合，再求出OM=32，然后证明△POM，∴PH=OM=32，NH=OP=2，利用全等三角形的性质可得出PH=OM=32，NH＝OP＝2，进而可求得OH=2+32，就可求得点N的坐标．
【解答】解：连结OB，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°6=60°，
又∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA，
又∵点A，D的坐标分别为（1，0），（﹣1，0），
∴AB＝OA＝1，
∴正六边形ABCDEF的周长为6，
∴点M运动一周用时6÷12=12（秒）．
∵2025÷12＝168⋯⋯9，
∴第2025秒时点M的位置与第9秒时点M的位置相同，即与EF的中点重合，
如图，连结OE，OF，则OE＝OF，
与上面同理可证：△EOF是等边三角形，
∴OE＝OF＝EF＝1，
又∵由正六边形的轴对称性可知EF⊥y轴，
∴OM=12−(12)2=32．
过点N作NH⊥x轴于点H，则∠NPH+∠PNH＝90°，
∴MP＝NP，∠MPN＝90°，
∴∠MPO+∠MPN+∠NPH＝180°，
∴∠MPO+90°+∠NPH＝180°，
∴∠MPO+∠NPH＝90°，
∠APH+∠PNH＝90°，
∴∠MPO＝∠PNH，
由条件可知PH=OM=32，NH=OP=2，
∴PH=OM=32，NH＝OP＝2，
∴OH=2+32，
∴N(2+32，2)．
故答案为：(2+32，2)．
【点评】本题考查了全等三角形综合问题，点坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，解题关键是根据前几个点找出规律．
23．（2025•寿阳县三模）七巧板，又称智慧板，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是由七巧板拼成的小船，若点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（1，0），则点C的坐标为 （﹣2，﹣1） ．
【考点】点的坐标；坐标与图形性质；七巧板；平行四边形的性质；正方形的性质．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】（﹣2，﹣1）．
【分析】根据两个已知点的坐标，确定坐标系，后写出坐标即可．
【解答】解：根据题意，建立坐标系如下：
则点C（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查了已知坐标间坐标系写坐标，正确建立起坐标系是解题的关键．
24．（2025•上饶一模）七巧板又称七巧图、智慧板，是中国民间流传的智力玩具，由等腰直角三角形、正方形和平行四边形组成．如图，这是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A的坐标为（﹣2，﹣1），点B的坐标为（0，1），则点C的坐标为 （1，﹣2） ．
【考点】坐标确定位置；七巧板．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】（1，﹣2）．
【分析】根据点A与点B的坐标建立直角坐标系即可得出点C的坐标．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣2，﹣1），点B的坐标为（0，1），
∴建立如下平面直角坐标系：
由点C在坐标系中的位置可知，点C的坐标为（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题主要考查了坐标确定位置，七巧板，根据题意建立坐标系是解题的关键．
25．（2025•东莞市校级模拟）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B是x轴上的一个动点．以AB为边向右侧作等边三角形ABC，连接OC，在运动过程中，OC的最小值为 3 ．
【考点】坐标与图形性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】3．
【分析】以OA为边向左侧作等边△AOE，连接BE，先证出△ABE≌△ACO，根据全等三角形的性质可得BE＝OC，再根据垂线段最短可得当BE⊥x轴，BE的值最小，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【解答】解：如图，以OA为边向左侧作等边△AOE，连接BE，
∴OA＝EA＝OE，∠OAE＝∠AOE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC﹣∠OAB＝60°﹣∠OAB＝∠OAE﹣∠OAB，即∠OAC＝∠EAB，
在△ABE和△ACO中，
EA=OA∠OAC=∠EABAB=AC，
∴△ABE≌△ACO（SAS），
∴BE＝OC，
由垂线段最短可知，当BE⊥x轴，BE的值最小，
∵点A的坐标是（0，6），
∴OA＝6，
∴OE＝6，
又∵∠AOE＝60°，∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝30°，
则在Rt△BOE中，BE=12OE=3，
所以在运动过程中，OC的最小值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
考点卡片
1．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
2．规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
3．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
4．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
5．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
6．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
7．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
8．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
9．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，4ac−b24a）．
①抛物线是关于对称轴x=−b2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x1+x22．
10．七巧板
（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形．
（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号．
（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了．
11．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
12．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
13．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
14．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
15．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
16．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
17．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
18．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
19．关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
20．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
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