2026年中考数学二轮复习常考考点专题-一元一次方程试题（含答案）

这是一份2026年中考数学二轮复习常考考点专题-一元一次方程试题（含答案），共11页。
嘉嘉：7x+4＝9x﹣8；
淇淇：y−47=y+89．
A．嘉嘉设总银两数为x两
B．淇淇设这群人共有y人
C．嘉嘉所列方程用的相等关系是两次分钱的总银两数相同
D．淇淇所列方程用的相等关系是每人分到的银两数相同
2．（2025•兴隆台区模拟）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A．x−38=x+47B．x+38=x−47C．x−48=x+37D．x+48=x−37
3．（2025•淄博）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（如图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（①处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（ ）
A．1斗B．78斗C．34斗D．58斗
4．（2025•青秀区校级模拟）若x＝1是方程3x+m＝0的解，则m＝（ ）
A．1B．3C．﹣1D．﹣3
5．（2025•安徽模拟）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，ab＝﹣c﹣1，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＝b，则a2﹣2b＝1B．若a＝c，则b＝1
C．若b＝c，则a＝1D．若a＝1，则b2﹣4c≥0
6．（2025•凉山州模拟）对于任意实数a、b，定义一种新运算“⊙”：a⊙b＝2x2﹣（a+b）x﹣a（b+2），若关于x的方程1⊙x＝0，已知该方程的两个根为x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
7．（2025•枣强县模拟）如图是2025年1月份的日历，由如图所示的框，框出三个数a，b，c，以下结论正确的是（ ）
A．a＝b+8B．c＝a+14C．b﹣a＝c﹣bD．c＝a+b
8．（2025•枣强县模拟）如图：一个点在数轴上从原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动a个单位长度后，该点所表示的数为﹣6，则a的值是（ ）
A．﹣8B．8C．﹣4D．4
9．（2025•微山县三模）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．设城中有x户人家，可列方程为（ ）
A．x+x3=100B．x+3（100﹣x）＝100
C．x+100−x3=100D．x+3x＝100
10．（2025•杭州模拟）定义一种新运算“Δ”，其运算规则是aΔb=a+b2，已知(−1)Δx=x4，则x的值为（ ）
A．14B．1C．2D．4
11．（2025•永春县模拟）某工厂投入20万元购进了一批设备投入生产，该厂又接到新的订单，要扩大生产规模，需再次采购一批相同的设备，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低0.5万元，总费用降低了10%．设每次采购数量为x件，则下列方程正确的是（ ）
A．20+0.5x＝20（1﹣10%）B．20﹣0.5x＝20（1﹣10%）
C．20﹣0.5x＝20（1+10%）D．20+0.5x＝20（1+10%）
12．（2025•鹤壁一模）我国古代的“九宫图”是由3×3的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图所示给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．2025D．﹣2025
二．填空题（共8小题）
13．（2025•湖北三模）三阶幻方，是中国古代劳动人民智慧的结晶．它由9个数组成一个3×3的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得x＝ ．
14．（2025•朝阳区二模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有x间客房，可列方程为： ．
15．（2025•大连模拟）《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：今有空车日行八十里，重车日行六十里；今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何？译文如下：有人用车把米从太仓运到上林，空车时每天行驶80里，装米时每天行驶60里，载货去，空车返回，5天往返3次问太仓到上林的距离是 里．
16．（2025•永寿县校级二模）某班手工小组计划教师节前做一批手工作品送给老师，如果每人做5个，那么就比原计划少2个；如果每人做6个，那么就比原计划多8个，则该手工小组的人数为 ．
17．（2025•绿园区校级三模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问：共有多少人？这个物品的价格是多少？若设共有x人，则根据题意，可列方程为： ．
18．（2025•连州市校级一模）若关于x的方程2x﹣a＝3的解是x＝﹣1，则a＝ ．
19．（2025•陇南三模）规定一种运算：abcd=ad−bc．例如：2345=2×5−3×4=−2．已知x12−x12=32，则x＝ ．
20．（2025•章贡区三模）如图，数轴上点A，B表示的数分别为﹣6，7，点P在AB之间，若图中有一条线段是另一条线段的两倍，则点P表示的数可以为 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•永寿县校级一模）外卖行业已深深融入人们的日常生活，一外卖骑手在送餐的过程中，需要在规定时间内将餐送到目的地，若骑手每分钟骑行0.5km，则早到3min；若骑手每分钟骑行0.4km，则要迟到2min，试求出骑手将餐送到目的地的规定时间以及骑手所行驶的总路程．
22．（2025•雁塔区校级模拟）轮船从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少1.5小时，已知轮船在静水中速度为每小时20千米，水流速度为每小时2千米，求甲、乙两地间的距离．
23．（2025•亳州模拟）晓辰用边长为2cm的等边三角形卡纸和边长2cm且有一个角为60°的菱形卡纸来制作图案．当菱形卡纸有1个时，需要等边三角形卡纸10个，整个图案长43 cm（如图1）；当菱形卡纸有2个时，需要等边三角形卡纸14个，整个图案长63cm（如图2）；当菱形卡纸有3个时，需要等边三角形卡纸18个，整个图案长83 cm（如图3）；以此类推．
【总结规律】
（1）当制作的图案中有5个菱形卡纸时，需要等边三角形卡纸 个；
（2）用n个菱形制作图案需要等边三角形卡纸 个，整个图案长 cm（用含n的式子表示）；
【解决问题】
（3）若要使整个图案长20243 cm，则需要菱形卡纸和等边三角形卡纸各多少个？
24．（2025•二道区校级四模）学校为初中部24个班新建了一栋教学大楼，该教学楼共有4道门，其中一道正门，三道侧门大小相同．安全检查中，对这4道门进行了测试：正常情况下，当同时开启一道正门和两道侧门时，1分钟可以通过260人；同时开启一道正门和一道侧门时，3分钟可以通过540人．求正常情况下，平均每分钟一道正门可以通过多少人？
25．（2025•西安校级模拟）科技馆门票价格规定如下表：
风鸣学校七年级（1）、（2）两个科技班共103人去科技馆，其中（1）班有40多人不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1686元．
（1）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省 元．
（2）七年级（2）班有多少学生？
（3）如果七年级（1）班单独组织去科技馆，作为组织者，你如何购票才最省钱？
2026年中考数学常考考点专题之一元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一．选择题（共12小题）
1．（2025•新华区校级三模）明代数学家程大位的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，求这群人的人数和银两数．嘉嘉和淇淇根据题意分别列出如下方程，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：7x+4＝9x﹣8；
淇淇：y−47=y+89．
A．嘉嘉设总银两数为x两
B．淇淇设这群人共有y人
C．嘉嘉所列方程用的相等关系是两次分钱的总银两数相同
D．淇淇所列方程用的相等关系是每人分到的银两数相同
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】设总人数为x人，根据两次分钱的总银两数相同列出方程7x+4＝9x﹣8；设总银两数为y两，根据总人数相同，列出方程y−47=y+89，然后进行判断即可．
【解答】解：嘉嘉设总人数为x人，嘉嘉所列方程用的相等关系是两次分钱的总银两数相同；淇淇设总银两数为y两，淇淇所列方程用的相等关系是总人数相同，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．
2．（2025•兴隆台区模拟）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A．x−38=x+47B．x+38=x−47C．x−48=x+37D．x+48=x−37
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据人数是不变的和每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设物价是x钱，根据题意可得，
x+38=x−47，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
3．（2025•淄博）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（如图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（①处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（ ）
A．1斗B．78斗C．34斗D．58斗
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】设诗中李白的壶中原来有酒x斗，根据题意分别表示出三次加酒喝喝酒的代数式，进而列得方程，解方程即可．
【解答】解：设诗中李白的壶中原来有酒x斗，
则第一次遇店加酒后壶中有酒2x斗，第一次见花喝酒后壶中剩余的酒为（2x﹣1）斗，
第二次遇店加酒后壶中有酒2（2x﹣1）斗，第二次见花喝酒后壶中剩余的酒为[2（2x﹣1）﹣1]斗，
第三次遇店加酒后壶中有酒2[2（2x﹣1）﹣1]斗，第三次见花喝酒后壶中剩余的酒为{2[2（2x﹣1）﹣1]﹣1}斗，
则2[2（2x﹣1）﹣1]﹣1＝0，
那么2（2x﹣1）﹣1=12，
因此2x﹣1=34，
解得：x=78，
即诗中李白的壶中原来有酒78斗，
故选：B．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，理解题意并列得正确的方程是解题的关键．
4．（2025•青秀区校级模拟）若x＝1是方程3x+m＝0的解，则m＝（ ）
A．1B．3C．﹣1D．﹣3
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】把x＝1代入方程可得关于m的方程，再解方程即可．
【解答】解：由条件可得3+m＝0，即m＝﹣3；
故选：D．
【点评】本题考查了方程的解的概念和一元一次方程的求解，正确计算是关键．
5．（2025•安徽模拟）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，ab＝﹣c﹣1，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＝b，则a2﹣2b＝1B．若a＝c，则b＝1
C．若b＝c，则a＝1D．若a＝1，则b2﹣4c≥0
【考点】等式的性质；完全平方公式．
【专题】运算能力．
【答案】D
【分析】根据等式的性质进行判断即可．
【解答】解：若a＝b，则2b+c＝0，即c＝﹣2b，代入ab＝﹣c﹣1，得a2＝2b﹣1，
所以A错误，不符合题意；
若a＝c，则a=−b2，代入后得到b2+b﹣2＝0，于是解得b＝﹣2或b＝1，
所以B选项错误，不符合题意；
同B选项，可得a＝﹣2或a＝1，
故C选项错误，不符合题意；
若a＝1，则b＝﹣c﹣1，b2﹣4c＝（c+1）2﹣4c＝（c﹣1）2≥0，
所以D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．
6．（2025•凉山州模拟）对于任意实数a、b，定义一种新运算“⊙”：a⊙b＝2x2﹣（a+b）x﹣a（b+2），若关于x的方程1⊙x＝0，已知该方程的两个根为x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
【考点】解一元一次方程；实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据新定义运算法则，结合1⊙x＝0，得出方程2x2﹣（1+x）x﹣1•（x+2）＝0，整理该方程，得出x2﹣2x﹣2＝0，再根据根与系数的关系，得出答案即可．
【解答】解：根据题意可知，2x2﹣（1+x）x﹣1•（x+2）＝0，
整理得：x2﹣2x﹣2＝0，
∴x1+x2=−−21=2．
故选：A．
【点评】本题主要考查考查了实数的运算，解一元一次方程，掌握相应的运算法则是关键．
7．（2025•枣强县模拟）如图是2025年1月份的日历，由如图所示的框，框出三个数a，b，c，以下结论正确的是（ ）
A．a＝b+8B．c＝a+14C．b﹣a＝c﹣bD．c＝a+b
【考点】一元一次方程的应用；整式的加减．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据横排相邻的日期，下面的数总比上面的数多7，判断各结论即可．
【解答】解：根据图示知：a+8＝b，b+8＝c，
所以c＝a+16．
所以b﹣a＝c﹣b＝8．
观察选项可知，选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用﹣日历问题，解题的关键是能够把数学和生活密切联系起来，从所给材料中分析得出规律．
8．（2025•枣强县模拟）如图：一个点在数轴上从原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动a个单位长度后，该点所表示的数为﹣6，则a的值是（ ）
A．﹣8B．8C．﹣4D．4
【考点】一元一次方程的应用；数轴．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意列式0+2﹣a＝﹣6，求出a的值即可．
【解答】解：一个点在数轴上从原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动a个单位长度后，
0+2﹣a＝﹣6，
解得a＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了在数轴上表示有理数以及一元一次方程的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
9．（2025•微山县三模）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．设城中有x户人家，可列方程为（ ）
A．x+x3=100B．x+3（100﹣x）＝100
C．x+100−x3=100D．x+3x＝100
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据题意可知：户数+户数3=鹿的头数，然后即可列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
x+x3=100，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
10．（2025•杭州模拟）定义一种新运算“Δ”，其运算规则是aΔb=a+b2，已知(−1)Δx=x4，则x的值为（ ）
A．14B．1C．2D．4
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据新运算规则，得到一元一次方程−1+x2=x4，即可解答．
【解答】解：根据题意可知，−1+x2=x4，
解得：x＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键．
11．（2025•永春县模拟）某工厂投入20万元购进了一批设备投入生产，该厂又接到新的订单，要扩大生产规模，需再次采购一批相同的设备，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低0.5万元，总费用降低了10%．设每次采购数量为x件，则下列方程正确的是（ ）
A．20+0.5x＝20（1﹣10%）B．20﹣0.5x＝20（1﹣10%）
C．20﹣0.5x＝20（1+10%）D．20+0.5x＝20（1+10%）
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据“第一次的总费用﹣第二次单价比第一次单价降低的值×采购数量＝第二次的总费用”列关于x的一元一次方程即可．
【解答】解：根据题意，得20﹣0.5x＝20（1﹣10%）．
故选：B．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系并列方程是解题的关键．
12．（2025•鹤壁一模）我国古代的“九宫图”是由3×3的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图所示给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．2025D．﹣2025
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】由第一行和第三列上的三个数之和相等，可求出第一行第一个方格中的数为﹣2027；由第二行和对角线上的三个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵第一行和第三列上的三个数之和相等，
∴第一行第一个方格中的数为1+3﹣2031＝﹣2027；
∵第二行和对角线上的三个数之和相等，
∴﹣x+1＝﹣2027+3，
解得：x＝2025．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．（2025•湖北三模）三阶幻方，是中国古代劳动人民智慧的结晶．它由9个数组成一个3×3的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得x＝ 8 ．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】8．
【分析】设第三行第一个方格中的数为a，根据第三竖列及对角线上的三个数的和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设第三行第一个方格中的数为a，如图所示．
根据题意得：a+x+5＝a+4+9，
即x+5＝4+9，
解得：x＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14．（2025•朝阳区二模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有x间客房，可列方程为： 7x+7＝9（x﹣1） ．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】7x+7＝9（x﹣1）．
【分析】根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【解答】解：根据题意得：7x+7＝9（x﹣1），
故答案为：7x+7＝9（x﹣1）．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程组，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
15．（2025•大连模拟）《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：今有空车日行八十里，重车日行六十里；今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何？译文如下：有人用车把米从太仓运到上林，空车时每天行驶80里，装米时每天行驶60里，载货去，空车返回，5天往返3次问太仓到上林的距离是 4007 里．
【考点】一元一次方程的应用；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】4007．
【分析】设太仓到上林的距离是x里，根据题意可得往返1次的时间为(x60+x80)天，再根据5天往返3次建立方程，解方程即可得．
【解答】解：设太仓到上林的距离是x里，
根据题意列一元一次方程得：3(x60+x80)=5，
整理得，21x＝1200，
解得x=4007，
即太仓到上林的距离是4007里，
故答案为：4007．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数学常识，关键是根据题意找到关系式．
16．（2025•永寿县校级二模）某班手工小组计划教师节前做一批手工作品送给老师，如果每人做5个，那么就比原计划少2个；如果每人做6个，那么就比原计划多8个，则该手工小组的人数为 10 ．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】10．
【分析】设该手工小组有x人，根据“如果每人做5个，那么就比原计划少2个；如果每人做6个，那么就比原计划多8个”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该手工小组有x人，
根据题意得：5x+2＝6x﹣8，
解得：x＝10，
∴该手工小组有10人．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17．（2025•绿园区校级三模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问：共有多少人？这个物品的价格是多少？若设共有x人，则根据题意，可列方程为： 8x﹣3＝7x+4 ．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设共有x人，根据该物品的价格不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设共有x人，
根据题意得：8x﹣3＝7x+4，
故答案为：8x﹣3＝7x+4．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．
18．（2025•连州市校级一模）若关于x的方程2x﹣a＝3的解是x＝﹣1，则a＝ ﹣5 ．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣5．
【分析】根据一元一次方程解的意义，将x＝﹣1代入原方程解得a的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程2x﹣a＝3的解是x＝﹣1，
∴﹣2﹣a＝3，
解得：a＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．
19．（2025•陇南三模）规定一种运算：abcd=ad−bc．例如：2345=2×5−3×4=−2．已知x12−x12=32，则x＝ 23 ．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】23．
【分析】根据新运算的定义可得一个关于x的一元一次方程，解方程即可得．
【解答】解：由题意得：x12−x12=c，
∵x12−x12=32，
∴2x−(12−x)=32，
∴2x+x=32+12，
解得x=23，
故答案为：23．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据新运算的定义正确建立方程是解题关键．
20．（2025•章贡区三模）如图，数轴上点A，B表示的数分别为﹣6，7，点P在AB之间，若图中有一条线段是另一条线段的两倍，则点P表示的数可以为 −53或12或83 ．
【考点】一元一次方程的应用；数轴．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】−53或12或83．
【分析】设点P表示的数为x，则AP＝x﹣（﹣6）＝x+6，BP＝7﹣x，AB＝7﹣（﹣6）＝13，分BP＝2AP、AB＝2AP、AB＝2BP及AP＝2BP四种情况，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设点P表示的数为x，则AP＝x﹣（﹣6）＝x+6，BP＝7﹣x，AB＝7﹣（﹣6）＝13，
当BP＝2AP时，7﹣x＝2（x+6），
解得：x=−53；
当AB＝2AP时，13＝2（x+6），
解得：x=12；
当AB＝2BP时，13＝2（7﹣x），
解得：x=12；
当AP＝2BP时，x+6＝2（7﹣x），
解得：x=83．
综上所述，点P表示的数可以为−53或12或83．
故答案为：−53或12或83．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•永寿县校级一模）外卖行业已深深融入人们的日常生活，一外卖骑手在送餐的过程中，需要在规定时间内将餐送到目的地，若骑手每分钟骑行0.5km，则早到3min；若骑手每分钟骑行0.4km，则要迟到2min，试求出骑手将餐送到目的地的规定时间以及骑手所行驶的总路程．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】骑手将餐送到目的地的规定时间是23min，骑手所行驶的总路程为10km
【分析】设规定的时间为x min，根据“路程＝速度×时间”，再根据“需要在规定时间内将餐送到目的地即路程相等”建立一元一次方程，求解即可．
【解答】解：设规定的时间为x min，
根据题意列一元一次方程得，0.5（x﹣3）＝0.4（x+2），
整理得，0.3x＝6.9
解得x＝23，
∴0.5（x﹣3）＝0.5×（23﹣3）＝0.5×20＝10（km），
∴骑手将餐送到目的地的规定时间是23min，骑手所行驶的总路程为10km．
【点评】本题考查了一元一次的应用，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键．
22．（2025•雁塔区校级模拟）轮船从甲地顺流开往乙地，所用时间比乙地逆流回到甲地少1.5小时，已知轮船在静水中速度为每小时20千米，水流速度为每小时2千米，求甲、乙两地间的距离．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】148.5千米．
【分析】设甲、乙两地间的距离为x千米，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案．
【解答】解：设甲、乙两地间的距离为x千米，
根据题意列一元一次方程可得，x20−2−x20+2=1.5，
整理得，4x＝594，
解得x＝148.5，
答：甲、乙两地间的距离为148.5千米．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
23．（2025•亳州模拟）晓辰用边长为2cm的等边三角形卡纸和边长2cm且有一个角为60°的菱形卡纸来制作图案．当菱形卡纸有1个时，需要等边三角形卡纸10个，整个图案长43 cm（如图1）；当菱形卡纸有2个时，需要等边三角形卡纸14个，整个图案长63cm（如图2）；当菱形卡纸有3个时，需要等边三角形卡纸18个，整个图案长83 cm（如图3）；以此类推．
【总结规律】
（1）当制作的图案中有5个菱形卡纸时，需要等边三角形卡纸 26 个；
（2）用n个菱形制作图案需要等边三角形卡纸 （6+4n） 个，整个图案长 23(n+1) cm（用含n的式子表示）；
【解决问题】
（3）若要使整个图案长20243 cm，则需要菱形卡纸和等边三角形卡纸各多少个？
【考点】一元一次方程的应用；规律型：图形的变化类．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）26；
（2）（6+4n）；23(n+1)；
（3）需要菱形卡纸1011个，等边三角形卡纸各4050个．
【分析】（1）观察可知每多一个菱形就多4个等边三角形，据此求解即可；
（2）观察可知每多一个菱形就多4个等边三角形且图形长度增加23cm，据此求解即可；
（3）根据（2）所求可得方程23(n+1) =20243，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）当菱形卡纸有1个时，需要等边三角形卡纸6+4×1＝10（个），
当菱形卡纸有2个时，需要等边三角形卡纸6+4×2＝14（个），
当菱形卡纸有3个时，需要等边三角形卡纸6+4×3＝18（个），
以此类推可知，当菱形卡纸有n个时，需要等边三角形卡纸（6+4n）个，
∴当制作的图案中有5个菱形卡纸时，需要等边三角形卡纸6+4×5＝26（个），
故答案为：26；
（2）当菱形卡纸有1个时，需要等边三角形卡纸6+4×1＝10个，整个图案长2×23=43 cm（如图1）；
当菱形卡纸有2个时，需要等边三角形卡纸6+4×2＝14个，整个图案长3×23=63cm（如图2）；
当菱形卡纸有3个时，需要等边三角形卡纸6+4×3＝18个，整个图案长4×23=83 cm（如图3）；
以此类推可知，当菱形卡纸有n个时，需要等边三角形卡纸（6+4n）个，整个图案长23(n+1) cm，
故答案为：（6+4n）；23(n+1)；
（3）根据题意列一元一次方程得，
23(n+1) =20243，
解得n＝1011，
∴6+4n＝6+4×1011＝4050，
∴要使整个图案长20243 cm，
答：需要菱形卡纸1011个，等边三角形卡纸各4050个．
【点评】本题主要考查了规律型：图形的变化类，一元一次方程的应用，实数的运算，正确理解题意找到规律是解题的关键．
24．（2025•二道区校级四模）学校为初中部24个班新建了一栋教学大楼，该教学楼共有4道门，其中一道正门，三道侧门大小相同．安全检查中，对这4道门进行了测试：正常情况下，当同时开启一道正门和两道侧门时，1分钟可以通过260人；同时开启一道正门和一道侧门时，3分钟可以通过540人．求正常情况下，平均每分钟一道正门可以通过多少人？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】正常情况下，平均每分钟一道正门可以通过100人．
【分析】设正常情况下，平均每分钟一道正门可以通过x人，根据平均每分钟一道侧门通过的人数不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设正常情况下，平均每分钟一道正门可以通过x人，
根据题意得：260−x2=5403−x，
解得：x＝100．
答：正常情况下，平均每分钟一道正门可以通过100人．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
25．（2025•西安校级模拟）科技馆门票价格规定如下表：
风鸣学校七年级（1）、（2）两个科技班共103人去科技馆，其中（1）班有40多人不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1686元．
（1）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省 656 元．
（2）七年级（2）班有多少学生？
（3）如果七年级（1）班单独组织去科技馆，作为组织者，你如何购票才最省钱？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】优选方案问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出购买103张票的总钱数，将其与1686做差即可得出结论；
（2）设七年级（1）班有x个学生，则（2）班有（103﹣x）个学生，根据购票总费用＝（1）班购票费用+（2）班购票费用即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）先计算按照实际人数购票的费用，再计算购买51个人的票的费用，比较两个费用的大小就可以得出结论．
【解答】解：（1）1686﹣10×103＝656（元）．
答：如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省656元钱．
故答案为656；
（2）设七年级（1）班有x个学生，则（2）班有（103﹣x）个学生，
根据题意得：18x+15（103﹣x）＝1686，
解得：x＝47，
则103﹣x＝56．
答：七年级（2）班有56个学生；
（3）47×18＝846（元），51×15＝765（元），
∵765＜846，
∴如果七年级（1）班单独组织去科技馆，作为组织者，可购买51张门票最省钱．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，设计方案的运用，解答时找到等量关系建立方程求出各班人数是关键．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
5．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
6．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
7．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
8．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
9．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
10．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
11．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/11 8:43:50；用户：组卷1；邮箱：[email protected]；学号：41418964李白醇酒
李白街上走，揭壶去买酒．
遇店加一倍，见花喝一斗．
三遇店和花①，喝光壶中酒．
试问壶中原有酒几斗？
购票张数
1～50张
51～100张
100张以上
每张票的价格
18元
15元
10元
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
B
D
D
A
C
B
A
C
B
题号
12
答案
C
李白醇酒
李白街上走，揭壶去买酒．
遇店加一倍，见花喝一斗．
三遇店和花①，喝光壶中酒．
试问壶中原有酒几斗？
购票张数
1～50张
51～100张
100张以上
每张票的价格
18元
15元
10元