2026中考数学高频考点一轮复习：一元二次方程（试题含解析）

这是一份2026中考数学高频考点一轮复习：一元二次方程（试题含解析），共20页。
①若方程的两个根为﹣3和1，则2b+3c＝0；
②若4a+2b+c＝0，则方程有一根为x＝2；
③无论b＝2a+c或b＝a+2c，方程都有两个不相等的实数根；
④若x＝2m是方程的一个根，则式子b2+2abm﹣ac＝（2am+b）2一定成立．
以上说法正确的有（ ）
A．①②③B．②③C．②③④D．③④
2．（2025春•沙坪坝区期末）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0配方后，可化为（ ）
A．（x﹣2）2＝4B．（x﹣1）2＝4C．（x+2）2＝4D．（x+1）2＝4
3．（2025春•沙坪坝区校级期末）若关于x的一元二次方程x2+4x+（a+6）＝0有两个不相等的实数根，且关于代数式y=-6a+1的值为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣7B．﹣9C．﹣14D．﹣16
4．（2025春•海曙区校级期中）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣12x+32＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A．25B．8C．45D．10
5．（2025•全椒县二模）已知关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个实数根为2，则另一个实数根是（ ）
A．﹣8B．﹣3C．3D．4
6．（2025春•青秀区校级期末）如图，在长方形ABCD中，以点A为圆心，AD为半径作弧与AC交于点F，以点C为圆心，CD为半径作弧与AC交于点E．设AB＝a，AD＝b，则方程x2+2ax＝b2的一个正根是（ ）
A．AE的长B．CF的长C．EF的长D．AC的长
7．（2025春•鄞州区期末）若关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0有实数根，则m的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（2025春•苍南县期末）已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣m）＝0与（x﹣2m）2＝c的解完全相同，则常数c的值为（ ）
A．14B．19C．1D．4
9．（2025•南阳三模）定义运算：a*b＝a2﹣2ab+1．例如：4*3＝42﹣2×4×3+1＝﹣7．则方程x*2＝﹣5的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
10．（2025•建邺区校级模拟）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x2+32＝（1﹣x）2B．x2+（1﹣x）2＝32
C．x2+（10﹣x）2＝32D．x2+32＝（10﹣x）2
二．填空题（共5小题）
11．（2025春•吴兴区期末）已知两个关于x的一元二次方程：x2+bx+c＝0（b，c均为常数），x2+bx+c＝x﹣3．其中，方程x2+bx+c＝0的一个根是x＝3，方程x2+bx+c＝x﹣3有两个相等的实数根，则b的值是 ．
12．（2025春•沙坪坝区期末）已知在正比例函数y＝ax（a≠0）中，y的值随着x的增大而增大，且关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
13．（2025春•兴化市期末）关于x的一元二次方程x2+4x+4k＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
14．（2025•日照一模）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两根为x1，x2且x1＝2x2，则m的值是 ．
15．（2025•青羊区校级模拟）若x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，则3x12-3x1+x22= ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•沙坪坝区校级期末）解方程：
（x+2）2＝5（x+2）．
17．（2025春•滨江区期末）利用（a±b）2≥0可求某些整式的最小值．例如，2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x+1﹣1）+3＝2（x﹣1）2+1，由（x﹣1）2≥0知，当x＝1时，多项式2x2﹣4x+3有最小值1．对于多项式3x2+2x+1，当x＝ 时，有最小值是 ．
18．（2025•宣恩县校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若x1、x2是该方程的两个根，且2x1+2x2＝3x1x2，求k的值．
19．（2025春•海曙区校级期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2﹣4x+5的最小值．
解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1；
∵无论x取何实数，都有（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+1≥1，即x2﹣4x+5的最小值为1．
【尝试应用】
（1）请直接写出2x2﹣8x+10的最小值 ；
【拓展应用】
（2）试说明：无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；
【创新应用】
（3）如图1，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD＝10，求四边形ABCD的面积最大值．
【挑战应用】
（4）如图2，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC+BD＝10，点M和点N分别是BD和AC的中点，BA和CD的延长线交于点P，则△PMN面积的最大值等于 ．
20．（2025春•竞秀区期中）发现
两个差为4的正整数的积与4的和总是某个正整数的平方．
验证
（1）一个数为5，另一个数为9，它们的差为4，则5×9+4的结果是哪个正整数的平方？
（2）若较小的正整数是n，算出这两个正整数的积与4的和，并说明该结果是哪个正整数的平方．
延伸
（3）两个差为8的正整数的积与a的和始终为某个数的平方，若较小的正整数为m，求a的值．
中考数学一轮复习 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•瑶海区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．
①若方程的两个根为﹣3和1，则2b+3c＝0；
②若4a+2b+c＝0，则方程有一根为x＝2；
③无论b＝2a+c或b＝a+2c，方程都有两个不相等的实数根；
④若x＝2m是方程的一个根，则式子b2+2abm﹣ac＝（2am+b）2一定成立．
以上说法正确的有（ ）
A．①②③B．②③C．②③④D．③④
【考点】根与系数的关系；等式的性质；一元二次方程的解；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】①利用根与系数关系求出b、c表达式，验证等式是否成立；
②代入x＝2验证是否满足方程；
③根据所给式子，利用判别式分别对方程的根的情况进行判断即可；
④将所求式子作差，判断差的情况即可．
【解答】解：①由条件可知-3+1=-ba，-3×1=ca，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∴2b+3c＝4a﹣9a＝﹣5a≠0，故说法①不正确；
②若4a+2b+c＝0，代入x＝2得a（2）2+b（2）+c＝0，即方程有一根为x＝2，故②正确；
③当b＝2a+c时，Δ＝b2﹣4ac＝4a2+c2＞0，所以该方程必有两个不相等的实数根，
当b＝a+2c时，Δ＝b2﹣4ac＝a2+4c2＞0，所以该方程必有两个不相等的实数根，
故说法③正确；
④∵x＝2m是方程的一个根，
∴4am2+2bm+c＝0，
∵（2am+b）2﹣（b2+2abm﹣ac）＝a（4am2+2bm+c）＝0，
∴b2+2abm﹣ac＝（2am+b）2，故说法④正确．
综上，正确说法为②③④，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活应用方程的根与等式的变形是解题关键．
2．（2025春•沙坪坝区期末）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0配方后，可化为（ ）
A．（x﹣2）2＝4B．（x﹣1）2＝4C．（x+2）2＝4D．（x+1）2＝4
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】直接运用配方法解一元二次方程即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
∴x2﹣2x+1＝3+1，
∴（x﹣1）2＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
3．（2025春•沙坪坝区校级期末）若关于x的一元二次方程x2+4x+（a+6）＝0有两个不相等的实数根，且关于代数式y=-6a+1的值为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣7B．﹣9C．﹣14D．﹣16
【考点】根的判别式
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于0，求出a的范围，由解为正整数确定出a的值，求出之和即可．
【解答】解：由条件可知：Δ＝42﹣4（a+6）＞0，
解得：a＜﹣2，
y=-6a+1，
∵分式方程的解为正整数，
∴6a+1为负整数，
∵a＜﹣2，
∴a+1＜﹣1，
∴a+1＝﹣2，﹣3，﹣6，
∴整数a＝﹣3，﹣4，﹣7，
∵y≠1，
∴整数a＝﹣3，﹣4，
则符合条件的所有整数a的值之和为﹣7．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
4．（2025春•海曙区校级期中）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣12x+32＝0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A．25B．8C．45D．10
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；菱形的性质．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先求出方程的解，再根据菱形的性质进行计算即可．
【解答】解：由方程x2﹣12x+32＝0得，
x1＝4，x2＝8，
所以菱形的两条对角线长度为4和8，
则菱形的边长为：22+42=25．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及菱形的性质，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及菱形的性质是解题的关键．
5．（2025•全椒县二模）已知关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个实数根为2，则另一个实数根是（ ）
A．﹣8B．﹣3C．3D．4
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】设方程的另一根为a，根据根与系数的关系得出另一个根．
【解答】解：设方程的另一根为a，
根据根与系数的关系得：2a=-61=-6，
解得a＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca是解题的关键．
6．（2025春•青秀区校级期末）如图，在长方形ABCD中，以点A为圆心，AD为半径作弧与AC交于点F，以点C为圆心，CD为半径作弧与AC交于点E．设AB＝a，AD＝b，则方程x2+2ax＝b2的一个正根是（ ）
A．AE的长B．CF的长C．EF的长D．AC的长
【考点】解一元二次方程﹣公式法；矩形的性质．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先根据公式法求出方程的根，在判断正根为多少，即可求出整根表示的线段长度．
【解答】解：x2+2ax＝b2，
x2+2ax﹣b2＝0，
∴x=-2a±4a2+4b22．
设AC的长度为c，
∵a＞0，b＞0，
∴方程的正根为c﹣a，
∴c﹣a的长度为AE的长．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．
7．（2025春•鄞州区期末）若关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0有实数根，则m的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4m•4≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4m•4≥0，
解得m≤1且m≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．（2025春•苍南县期末）已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣m）＝0与（x﹣2m）2＝c的解完全相同，则常数c的值为（ ）
A．14B．19C．1D．4
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】先解两个一元二次方程，求出方程的解，然后分两种情况，组成二元一次方程组，分别求出方程组的解，即可求出c的值．
【解答】解：（x﹣1）（x﹣m）＝0，
∴x1＝1，x2＝m，
（x﹣2m）2＝c，
∴x﹣2m＝±c，
∴x1＝2m-c，x2＝2m+c，
分两种情况：
1、2m-c=1①2m+c=m②，
4m＝1+m，
∴3m＝1，
∴m=13，
把m=13代入①，-c=13，c无解，
2、2m-c=m①2m+c=1②，
4m＝1+m
∴m=13，
把m=13代入②中，
∴c=19，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键．
9．（2025•南阳三模）定义运算：a*b＝a2﹣2ab+1．例如：4*3＝42﹣2×4×3+1＝﹣7．则方程x*2＝﹣5的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式；实数的运算；一元一次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用新定义得到x2﹣4x+6＝0，然后Δ＜0可根据判断方程根的情况．
【解答】解：由新定义得x2﹣2×2x+1＝﹣5，
即x2﹣4x+6＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×6＝﹣8＜0，
∴方程无实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．
10．（2025•建邺区校级模拟）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x2+32＝（1﹣x）2B．x2+（1﹣x）2＝32
C．x2+（10﹣x）2＝32D．x2+32＝（10﹣x）2
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；勾股定理的应用；数学常识．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可．
【解答】解：根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春•吴兴区期末）已知两个关于x的一元二次方程：x2+bx+c＝0（b，c均为常数），x2+bx+c＝x﹣3．其中，方程x2+bx+c＝0的一个根是x＝3，方程x2+bx+c＝x﹣3有两个相等的实数根，则b的值是 ﹣5 ．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣5．
【分析】依据题意，由方程x2+bx+c＝0的一个根是x＝3，则9+3b+c＝0，故c＝﹣9﹣3b，再由方程x2+bx+c＝x﹣3有两个相等的实数根，则方程x2+（b﹣1）x+c+3＝0有两个相等的实数根，可得Δ＝（b﹣1）2﹣4（c+3）＝0，进而（b﹣1）2﹣4（﹣9﹣3b+3）＝0，最后计算即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵方程x2+bx+c＝0的一个根是x＝3，
∴9+3b+c＝0．
∴c＝﹣9﹣3b．
∵方程x2+bx+c＝x﹣3有两个相等的实数根，
∴方程x2+（b﹣1）x+c+3＝0有两个相等的实数根．
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4（c+3）＝0．
∴（b﹣1）2﹣4（﹣9﹣3b+3）＝0．
∴b＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
12．（2025春•沙坪坝区期末）已知在正比例函数y＝ax（a≠0）中，y的值随着x的增大而增大，且关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数a的值之和为 6 ．
【考点】根与系数的关系；正比例函数的性质；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据正比例函数的性质得到a＞0，再根据关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根得到a＜4，即可得到0＜a＜4，进一步求得所有满足条件的整数a的值之和．
【解答】解：∵在正比例函数y＝ax（a≠0）中，y的值随着x的增大而增大，
∴a＞0，
∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4a＞0，
∴a＜4，
∴0＜a＜4，
∴所有满足条件的整数a的值之和为：1+2+3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
13．（2025春•兴化市期末）关于x的一元二次方程x2+4x+4k＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤1 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】k≤1．
【分析】根据该方程有实数根，得到Δ≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由条件可知Δ＝42﹣4×1×4k≥0，
解得：k≤1，
故答案为：k≤1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
14．（2025•日照一模）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两根为x1，x2且x1＝2x2，则m的值是 8 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2＝6，x1x2＝m，则利用x1＝2x2，然后解方程组求出x1、x2的值，最后计算出m的值．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝6，x1x2＝m，
∵x1＝2x2，
∴2x2+x2＝6，
解得x2＝2，
∴x1＝2×2＝4，
∴m＝4×2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-ba，x1•x2=ca．
15．（2025•青羊区校级模拟）若x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，则3x12-3x1+x22= 14 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】14．
【分析】依据题意，由x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，则x1+x2=32，x1x2=12，2x12-3x1+1＝0，从而3x12-3x1+x22=2x12-3x1+x12+x22=-1+x12+x22=-1+（x1+x2）2﹣2x1x2，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴x1+x2=32，x1x2=12，2x12-3x1+1＝0．
∴3x12-3x1+x22=2x12-3x1+x12+x22
＝﹣1+x12+x22
＝﹣1+（x1+x2）2﹣2x1x2
＝﹣1+94-2×12
=14．
故答案为：14．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•沙坪坝区校级期末）解方程：
（x+2）2＝5（x+2）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝﹣2，x2＝3．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（x+2）2＝5（x+2），
∴（x+2）2﹣5（x+2）＝0，
（x+2）（x+2﹣5）＝0，
（x+2）（ x﹣3）＝0，
∴x+2 ＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握以上方程的运算方法是解题的关键．
17．（2025春•滨江区期末）利用（a±b）2≥0可求某些整式的最小值．例如，2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x+1﹣1）+3＝2（x﹣1）2+1，由（x﹣1）2≥0知，当x＝1时，多项式2x2﹣4x+3有最小值1．对于多项式3x2+2x+1，当x＝ -13 时，有最小值是 23 ．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】-13，23．
【分析】依据题意，将多项式配成完全平方的形式，然后令平方项为0，求最值即可．
【解答】解：由题意得，3x2+2x+1＝3（x2+23x）+1＝3[（x+13）2-19]+1＝3（x+13）2+23，
∴当x=-13时，3x2+2x+1有最小值23．
故答案为：-13，23．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键．
18．（2025•宣恩县校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若x1、x2是该方程的两个根，且2x1+2x2＝3x1x2，求k的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）k=45．
【分析】（1）计算出Δ的值，根据Δ的取值范围即可得证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2＝k+4，x1x2＝4k，然后代入2x1+2x2＝3x1x2中，求出k的值即可．
【解答】解：（1）根据根的判别式可得：
∵Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4×1×4k＝（k﹣4）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）根据题意得：x1+x2＝k+4，x1x2＝4k，
∴2（k+4）＝3×4k，
解得：k=45．
【点评】本题考查了根据根的判别式判断一元二次方程根的个数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
19．（2025春•海曙区校级期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2﹣4x+5的最小值．
解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1；
∵无论x取何实数，都有（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+1≥1，即x2﹣4x+5的最小值为1．
【尝试应用】
（1）请直接写出2x2﹣8x+10的最小值 2 ；
【拓展应用】
（2）试说明：无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；
【创新应用】
（3）如图1，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD＝10，求四边形ABCD的面积最大值．
【挑战应用】
（4）如图2，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC+BD＝10，点M和点N分别是BD和AC的中点，BA和CD的延长线交于点P，则△PMN面积的最大值等于 258 ．
【考点】配方法的应用；三角形的面积；三角形中位线定理；非负数的性质：偶次方．
【专题】配方法；三角形；运算能力．
【答案】（1）2；（2）无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；（3）当AC＝5，四边形ABCD的面积最大，最大值为252；（4）258．
【分析】（1）依据题意，利用配方法把2x2﹣8x+10变形为2（x﹣2）2+2，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；
（2）依据题意，利用配方法得到x2+x+2=(x+12)2+74，则可判断x2+x+2＞0，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；
（3）依据题意，利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅BD，由于BD＝10﹣AC，则四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅（10﹣AC），利用配方法得到四边形ABCD的面积=-12(AC-5)2+252，然后根据非负数的性质解决问题．
（4）依据题意，连接CM，根据三角形面积可得S△ABM+S△BCM=12(S△ABD+S△BCD)=12S四边形ABCD，S△CPN=14S四边形ABCD，再由S四边形ABCD=12AC•BD和完全平方公式可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，2x2﹣8x+10＝2（x2﹣4x）+10＝2（x2﹣4x+4﹣4）+10＝2（x﹣2）2+2．
∵无论x取何实数，都有2（x﹣2）2≥0，
∴2（x﹣2）2+2≥2，即x2﹣8x+10的最小值为2．
故答案为：2．
（2）由题意，x2+x+2=(x+12)2+74，
∴(x+12)2≥0，
∴x2+x+2＞0．
∴无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义．
（3）由题意，∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅BD，
∵AC+BD＝10，
∴BD＝10﹣AC，
∴四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅(10-AC)
=-12AC2+5AC
=-12(AC-5)2+252
=-12(AC-5)2≤0，
∴当AC＝5，四边形ABCD的面积最大，最大值为252．
（4）由题意，连接CM，
∵点M是BD的中点，
∴S△ABM=12S△ABD，S△BCM=12S△BCD，
∴S△ABM+S△BCM=12（S△ABD+S△BCD）=12S四边形ABCD．
∵点M是BD的中点，
∴S△CPM=S△MPD+S△MCD=12S△BPD+12S△BCD=12S△BCP，
∵点N是AC的中点，
∴S△CPN=12S△CPA，S△CMN=12S△CAM，
∴S△PMN＝S△CPM﹣S△CPN﹣S△CMN=12S△BCP-12S△CAP-12S△CAM
=12(S△BCP-S△CAP-S△CAM)
=12(S△ABM+S△BCM)
=12×12S四边形ABCD
=14S四边形ABCD，
∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD=12AC•BD．
∵AC+BD＝10，
∴AC2+BD2+4AC•BD﹣2AC•BD≥4AC•BD，即AC2+BD2+2AC•BD≥4AC•BD，
∴4AC•BD≤（AC+BD）2，
∴AC⋅BD≤(AC+BD)24=1024=25，
∴S四边形ABCD=12AC⋅BD=12×254=258．
故答案为：258．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题时要能利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和，然后利用非负数的性质确定代数式的最值是关键．
20．（2025春•竞秀区期中）发现
两个差为4的正整数的积与4的和总是某个正整数的平方．
验证
（1）一个数为5，另一个数为9，它们的差为4，则5×9+4的结果是哪个正整数的平方？
（2）若较小的正整数是n，算出这两个正整数的积与4的和，并说明该结果是哪个正整数的平方．
延伸
（3）两个差为8的正整数的积与a的和始终为某个数的平方，若较小的正整数为m，求a的值．
【考点】配方法的应用．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】（1）5×9+4的结果是7的平方；（2）该数是n+2的平方；（3）a＝16．
【分析】（1）依据题意，5＜9，5×9+4＝49，结合49＝72，则5×9+4的结果是7的平方，进而得解；
（2）依据题意，较小的正整数是n，则较大的正整数是n+4，则n（n+4）+4＝n2+4n+4＝（n+2）2，故可判断得解；
（3）依据题意，较小的正整数是 m，则较大的正整数是 m+8，则m（m+8）+a＝m2+8m+a，又m2+8m+a的和始终为某个数的平方，则m2+8m+a＝（m+4）2+a﹣16，从而a﹣16＝0，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，5＜9，5×9+4＝49，
又∵49＝72，
∴5×9+4的结果是7的平方．
（2）由题意，较小的正整数是n，则较大的正整数是n+4，
∴n（n+4）+4
＝n2+4n+4
＝（n+2）2．
∴该数是n+2的平方．
（3）由题意，较小的正整数是 m，则较大的正整数是 m+8，
∴m（m+8）+a＝m2+8m+a．
又∵m2+8m+a的和始终为某个数的平方，
∴m2+8m+a＝（m+4）2+a﹣16．
∴a﹣16＝0．
∴a＝16．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键．