上海市黄浦区2026年中考模拟数学自编试卷含答案

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（满分150分，完卷时间100分钟）
一、单选题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．已知，下列各式中，一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：、不等式两边都加上，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；
B、不等式两边都乘，不等号的方向改变，即，不等式两边都加上，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、当时，不成立，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、当时，不成立，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：．
2．函数中，自变量的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件可得，即可求解．
【详解】解：依题意，，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了求函数自变量取值范围，分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
3．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】解：A、可化为：
，
方程有两个不相等的实数根；
B、
，
方程有两个相等的实数根；
C、
，
方程有两个不相等的实数根；
D、可化为：
，
方程没有实数根；
故选：D．
4．某农科所在某次实验中，对甲、乙两种水稻进行产量稳定实验，各选取了5块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1000千克/亩，方差．为保证产量稳定，适合推广的品种为（ ）
A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定
【答案】A
【分析】根据方差越小越稳定进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴甲的产量更加稳定，
又∵甲、乙两种水稻的平均产量均为1000千克/亩，
∴适合推广的品种为甲，
故选A．
【点睛】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，熟知方差越小成绩越稳定是解题的关键．
5．顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（ ）
A．平行四边形B．菱形C．正方形D．矩形
【答案】B
【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质，菱形的判定；连接、，根据三角形中位线的性质，矩形的性质可得，进而即可求解．
【详解】解：如图，连接、，
、、、分别是矩形的、、、边上的中点，
，（三角形的中位线等于第三边的一半），
矩形的对角线，
，
四边形是菱形．
故选B．
6．在直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为3，⊙A的圆心A的坐标为(﹣，1)，半径为1，那么⊙O与⊙A的位置关系是( )
A．内含B．内切C．相交D．外切
【答案】B
【分析】首先求得点A到点O的距离是＝2，再根据圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1与⊙O2的位置关系．
【详解】根据题意得点A到点O的距离是＝2，即两圆的圆心距是2，
所以半径与圆心距的关系是3﹣1＝2，
根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．
故选B．
【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P，则：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：___________
【答案】/
【分析】根据幂的乘方和积的乘方法则计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方法则．
8．计算______．
【答案】
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9．已知，则___________．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可．
【详解】解：根据题意可知：，
∴，
解得：，
故答案为：1．
10．某市2017年底机动车的数量是辆，2018年新增辆，用科学记数法表示该市2018年底机动车的数量是__辆．
【答案】
【分析】求出该市2018年底机动车的数量，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：（辆．
故答案为．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
11．点和点都在直线上，则____（填＞，＜，，中某一个）
【答案】
【分析】本题考查一次函数的性质，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：在直线中，，
所以y随x的增大而减小，
因为，
所以，
故答案为：．
12．如图，在菱形中，，点E在上，，则______．

【答案】
【分析】利用菱形的性质得：，，又根据，得，最后利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形对角相等、对角线平分每组对角，及三角形外角的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
13．某公司销售人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，当其售出100件时月收入为2800元，售出200件时月收入为3400元，则当其月收入为4600元时，售出的货品为_________件．
【答案】400
【分析】利用待定系数法可得函数的解析式，再由y=4600时求得x值，即可求解．
【详解】解：设解析式为y=kx+b，把(100，2800)，(200，3400)代入得：
，
解得：，
∴解析式为y=6x+2200，
当y=4600时，x=400，
∴当其月收入为4600元时，售出的货品为400件．
故答案为：400．
【点睛】本题考查了一次函数的简单应用，利用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
14．为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙）
【答案】甲
【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数，比较两个鱼池中的总数即可得到结论．
【详解】解：设甲鱼池鱼的总数为x条，则
鱼的概率近似，解得x＝2000；
设乙鱼池鱼的总数为y条，则
鱼的概率近似，解得y＝1000；
，
可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查了频率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的等量关系．
15．如图，与相交于点E，，联结，若，设，，那么_________（用含的式子表示）
【答案】
【分析】由平行线截线段成比例和平面向量的角形法则解答，先求出，然后表示出，再求出，然后根据即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质和平面向量，需要掌握平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则．
16．某校共有1200名学生．为了解学生的立定跳远成绩分布情况，随机抽取100名学生的立定跳远成绩，画出如图所示条形统计图，根据所学的统计知识可估计该校立定跳远成绩优秀的学生人数是________．
【答案】288
【分析】本题考查的是条形统计图，用总人数乘样本中立定跳远成绩优秀的学生人数所占的百分比即可，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意得：
（人，
即该校立定跳远成绩优秀的学生人数大约是288人．
故答案为：288．
17．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，OE⊥BD交BC于点E，∠ABD＝2∠CBD，若BC＝，CD＝，则cs∠CBD＝_____．
【答案】
【分析】延长BD至M，使DM＝DC，连接CM，作AP⊥BD于点P，作CQ⊥BD于点Q，
根据平行四边形性质证明△ABP≌△CDQ，得到BP=DQ，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长BD至M，使DM＝DC，连接CM，作AP⊥BD于点P，作CQ⊥BD于点Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝2∠CBD，
∴∠CDB＝2∠CBD，
∵DM＝DC，
∴∠DCM＝∠M，
∴∠CDB＝2∠M，
∴∠CBD＝∠M，
∴CB＝CM，
∵CQ⊥BD，
∴BQ＝MQ＝QD+DM＝QD+CD，
在△ABP和△CDQ中，
，
∴△ABP≌△CDQ（AAS），
∴BP＝DQ，
∴PQ＝CD＝，
设BP＝DQ＝x，
∵BC2﹣BQ2＝CQ2＝CD2﹣DQ2，
∴﹣（x+）2＝（）2﹣x2，
解得x＝，
，
，
∴cs∠CBD＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，等知识．灵活运用平行四边形性质证明全等三角形是本题关键．
18．新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，则点的限变点是____________．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是____________．
【答案】
【分析】根据新定义可求得点的限变点，根据新定义得到当时，，在时，得到；当时，，在时，得到，即可得到限变点的纵坐标n'的取值范围是．
【详解】解：∵， ，
∴，
∴点的限变点是，
∵点在二次函数的图象上，
∴
当时，，
∴，
当时，，
∴当时，，
综上，当时，其限变点的纵坐标n'的取值范围是，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）计算：．
【答案】
【分析】根据零指数幂、分数指数幂、二次根式化简，绝对值的性质，分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：原式=
．
【点睛】本题考查了实数的综合运算能力，解题的关键是熟练掌握分数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
20．（本题满分10分）解方程组：．
【答案】，
【分析】本题考查了解二元二次方程，方法1，将方程①的左边分解因式，方程①可变形为，从而得出（I）或（II），分别解方程组即可；方法2，由方程②，得③， 把③代入①，得．
整理，得，求出的值，再代入③即可得解．
【详解】解：，
方法1：将方程①的左边分解因式，方程①可变形为．
即或，
将它们与方程②分别组成方程组，得
（I）或（II），
解方程组（I），得，
解方程组（II），得，
所以，原方程组的解是，；
方法2：由方程②，得③，
把③代入①，得．
整理，得，
解这个方程，得，，
把代入③，得，
把代入③，得，
所以，原方程组的解是，．
21．（本题满分10分）如图，点A、B在第一象限的反比例函数图像上，AB的延长线与y轴交于点C，已知点A、B的横坐标分别为6、2，AB=．
（1）求∠ACO的余弦值；
（2）求这个反比例函数的解析式．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）如图，分别过点A、B作AD⊥y轴，BE⊥x轴，可证∠ACO=∠ABH，由点A、B的横坐标分别为6、2，可得AH=4，再由勾股定理可求得BH，即可求解∠ACO的余弦值；
（2）设反比例函数的解析式为，根据点A、B在第一象限的反比例函数图像上,则点A（6，），B（2，），由BH=2可得，求出k值，此题即可得解．
【详解】解：（1）如图，分别过点A、B作AD⊥y轴，BE⊥x轴，垂足分别为D、E，AD、BE相交于点H．
∵BE∥y轴，
∴∠ACO=∠ABH，∠AHB=∠ADC=90°．
∵点A、B的横坐标分别为6、2，
∴AH=4．
在Rt△ABH中，∵BH=．
∴．
（2）设反比例函数的解析式为，
设点A（6，），则B（2，），
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质及求锐角的三角函数值，掌握反比例函数的图象与性质并能结合反比例函数图象上的点的坐标特点求出函数表达式与角的三角函数值是解题的关键．
22．（本题满分10分）如图，为的直径，为上的一点，和过点的切线垂直于点，与交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，即可得结论；
（2）先证明四边形是矩形，再由垂径定理得，设的半径为，再由勾股定理解直角三角形即可．
【详解】（1）证明：连接，交于点
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：是的直径，
，
由（1）得，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
设的半径为，
在中，，
即，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理．
23．（本题满分12分）已知：如图，在矩形中，点E在边的延长线上，，连接，分别交边、对角线于点F、G，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）由矩形的性质可知，然后可证，进而问题可求证；
（2）由矩形的性质可知AD∥BC，AD=BC，CD=AB，，然后可得，则有，进而可证，最后根据相似三角形的性质可求证．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，CD=AB，，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及矩形的性质是解题的关键．
24．（本题满分12分）如图，已知直线的解析式为，抛物线与坐标轴交于、、三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，若，是第四象限内抛物线上的两个动点，且，分别过点，作轴的垂线，交线段于点、．通过计算证明四边形是平行四边形，并求其周长的最大值．
(3)抛物线向右水平移动个单位，得到新抛物线，点为的对称轴上任意一点，若以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】
（1）令得出的值，则点坐标可得；令，解方程可得点的坐标，再把、代入到抛物线中，结论可得；
（2）用表示线段，的长度，可得，四边形的形状可得；过作，用勾股定理求得线段，利用，求得线段的长，利用四边形为平行四边形的结论可求它的周长，将周长的式子用配方法变形后，周长的最大值可得；
（3）由向右水平移动个单位，得到新抛物线，可得新抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，分两种情况：当时，，可解得点的坐标为或，当时，，可解得点的坐标为或．
【详解】（1）
解：∵直线的解析式为，
令，则，即点是，
令，则，即点是，
把点，点，
代入到抛物线中得，
∴抛物线的解析式为．
（2）
解：∵若，是第四象限内抛物线上的两个动点，
∴，，
∵直线的解析式为，
∵过点，作轴的垂线，分别交线段于点、，
∴，，
∴，
，
∴，
∵过点，作轴的垂线，分别交线段于点、，
∴，
∴四边形为平行四边形．
过作于，则，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长，
∵，
又∵，
∴当时，四边形的周长有最大值．
（3）
解：由可知抛物线对称轴为直线，
∵抛物线向右水平移动个单位，得到新抛物线，
∴新抛物线的对称轴为直线，
根据点为的对称轴上任意一点，设点的坐标为，
∵，，，
∴当时，，
解得：，
∴点的坐标为或，
当时，，
解得：或，
∴点的坐标为或，
综上所述：符合条件的点的坐标为或或或．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，平行四边形的判定与性质，列代数式，求代数式的最大值，图象上点的坐标的特征，抛物线的对称性，直角三角形的边角关系，勾股定理，渗透了分类讨论的思想．利用点的坐标的特征表示相应线段的长度是解题的关键．
25．（本题满分14分）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．
(1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长．
(2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，证明过程见解析
【分析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解；
（2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点．
设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点；
（3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符．
【详解】（1）解：设，则，
根据题意，得：，即，
整理，得：，解得：，，
，
舍去，
．
（2）解：如图所示，点为所求．
设，
根据题意，得：，，
，
，，
，，
，
点为线段的中外比点．
（3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下：
第一种情况：当，则，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设点，
，，则，
点、在反比例函数的图象上，
得：，
由①得：，将其代入②，得：，
整理，得：，
解得：，
，（舍去），
，，，
，，，
，，，
，，
，，
，，
点、为、的中外比点．
点在反比例函数的图象上，，
，
反比例函数为，
，
设直线的函数解析式为，
将点，代入，得：，
直线的函数解析式为，
联立方程组，解得：，
，
，
点为的中外比点．
第二种情况：当，则，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设点，
，，则，
点、在反比例函数的图象上，
得：，
由①得：，将其代入②，得：，
整理，得：，
解得：，
，（舍去），
，，，
，，，
，，，
，，
点、为、的中外比点．
点在反比例函数的图象上，，
，
反比例函数为，
，
设直线的函数解析式为，
将点，代入，得：，
直线的函数解析式为，
联立方程组，解得：，
，
，
点为的中外比点．
第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在．
综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键．