山东省青州第一中学2024~2025学年高二普通部下册5月模拟考试三数学试题【附解析】

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一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）
1. 函数的导数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本初等函数的求导公式求导即可.
【详解】，
故选：C.
2. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列求和公式即可得到答案.
【详解】.
故选：B.
3. 缅甸2025年3月28日发生级地震，造成重大人员伤亡和财产损失.地震发生后，中国多支救援队紧急驰援缅甸.现从含甲、乙在内的6支救援队中选出3支先进入地震灾区参加救援，则在甲救援队被选中的前提下，乙救援队也被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记甲救援队被选中事件，乙救援队被选中为事件，利用条件概率公式计算可得.
【详解】记甲救援队被选中为事件，乙救援队被选中为事件，
则，，
所以，
即在甲救援队被选中的前提下，乙救援队也被选中的概率为.
故选：B
4. 已知函数在处取得极大值，则实数的取值为（ ）
A. 或1B. 2或C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得，由是函数上的极值，得到，求得或，分类讨论，结合函数的单调性和极值点的概念，进行判断，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为是函数极值点，可得，
即，解得或，
当时，，
令，解得或；令，解得，
所以在区间上单调递增，在区间单调递减，
此时，在处函数取得极小值，不符合题意，舍去；
当时，，
令，解得；令，解得或，
所以在区间上单调递减，在区间单调递增，
此时，在处函数取得极大值，符合题意，
综上可得，实数的值为.
故选：C.
5. 记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A. 81B. 71C. 61D. 51
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列前项和性质，即可求解.
【详解】由题可知，，成等比数列，
所以，即，得，
则此等比数列的首项是1，公比是，那么，
，
所以.
故选：C
6. 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为（ ）
A. 0.11B. 0.21C. 0.31D. 0.41
【答案】C
【解析】
【分析】设出事件，分两种情况，同一工作日3人需使用设备和4人需使用设备，求出概率相加即可.
【详解】设甲，乙，丙，丁需使用设备分别为事件，
则，
恰好3人使用设备的概率
，
4人需使用设备的概率，
故所求的概率．
故选：C
7. 在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布．若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，恰有名学生的成绩不低于的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态曲线的特点求得，然后再求恰有名学生的成绩不低于的概率即可.
【详解】因为学生成绩服从正态分布，且，
所以，，，
所以从参加这次考试的学生中任意选取名学生，其成绩不低于的概率是，
则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，恰有名学生的成绩不低于的概率是，
故选：B.
8. 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意转化为导数在上有变号零点，列出不等式求解.
详解】，令，
因为函数在区间上不单调，
所以在上有变号零点，
即，解得，
故选：C
二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 对于事件A，B，若，且，，则
B. 若随机变量，，则
C. 若甲乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强
D. 在一元线性回归模型中，若，则两个变量正相关
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据事件之间的关系，可得概率计算，结合条件概率的计算公式，可得答案；对于B，根据正态分布的性质，利用其对称性，可得答案；对于C，根据相关系数的性质，可得答案；对于D，根据一元线性回归方程的系数的意义，可得答案.
【详解】对于A，由，则，故，故A正确；
对于B，由随机变量，则随机变量满足的正态分布曲线关于直线对称，
故，，
，故B错误；
对于C，若甲乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强，故C正确；
对于D，在一元线性回归模型中，若，则两个变量正相关，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 取最小值时
C. 数列是等差数列D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的前项和公式，结合等差数列逐项分析求解.
【详解】对于A，当时，，
而满足上式，因此，A正确；
对于B，由选项A知，数列单调递增，由，得，即数列前5项均为负数，
第6项为0，从第7项起为正数，取最小值时或，B错误；
对于C，，数列是等差数列，C正确；
对于D，
，D正确.
故选：ACD
11. 已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，在处的切线方程为
B. 若有3个零点，则的取值范围为
C. 当时，是的极大值点
D. 当时，有唯一零点，且
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，可判定A正确；根据题意，转化为与的图象有3个交点，利用导数求得函数的单调性与极值，可判定B正确；当时，得到，讨论函数的单调性，结合极值点的定义，可判定C错误.当时，得到，函数单调递增，结合，可判定D正确；
【详解】对于A中，当时，可得，则，所以切线为A正确：
对于B中，若函数有3个零点，即有三个解，
其中时，显然不是方程的根，
当时，转化为与的图像有3个交点，
又由，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，函数取得极小值，极小值为，
又由时，，当时，且，
如下图：
所以，即实数的取值范围为，所以B正确：
对于中，当时，，可得，
令，在上单调递增，
且,所以存在使得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，又,
所以在上，即，单调递减，
在上，即，单调递增，
所以是的极小值点，所以错误．
对于D中，当时，，
设，可得，
当时，在单调递减；当时，在单调递增，
所以当时，，所以，
所以，所以函数在上单调递增，
又因为，即，
所以有唯一零点且，所以D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 一批产品共有件，其中件正品，件次品，现从件产品中一次性抽取件，设抽取出的件产品中次品数为，则 ___________
【答案】
【解析】
【分析】根据超几何分布求概率公式计算即可求解.
【详解】由题意根据超几何分布的概率公式，可知.
故答案为：
13. 设数列的前项和为，若，，则的通项公式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据可得，由此可证得数列是等比数列，由此可得；利用与的关系可求得.
【详解】由得：，即，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；
当时，；
当时，；
经检验：不满足；
故答案为：.
14. 若两曲线与存在公切线，则的范围是_____________________
【答案】.
【解析】
【分析】根据一元函数导数求切线的方法，设出两条曲线的切线，根据两条切线的斜率和截距分别相当，列出方程组，即可求出的范围.
【详解】对求导，，设切点，则切线方程为：,
化简得.
对求导，，设切点，
则切线方程为：，化简得.
则根据公切线可列方程组，消去得到，
化简得.
令，求导，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
可知在上单调递增，在上单调递减，在出取得最大值，
，值域为，
所以的范围是,
故答案为：.
四、解答题（本题共5个小题，共77分）
15. 已知数列满足，．
（1）求证：是等差数列；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列定义推理得证.
（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
数列中，，，则，，
所以数列是以为首项，公差为2的等差数列.
【小问2详解】
由（1）知，，则，，
所以数列的前项和.
16. 红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据：
（1）用模拟生产食品淀粉年收益与年投入资金的关系，求出回归方程；
（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元）
附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
②
③
【答案】（1）
（2）36.5
【解析】
【分析】（1）利用回归直线的公式求和的值，可得回归方程.
（2）建立函数关系，利用导数分析函数单调性，求出函数的最大值.
【小问1详解】
∴回归方程为：
【小问2详解】
2024年设该企业投入食品淀粉生产x万元，预计收益（万元）
，
，得
∴其在上递增，上递减
17 已知函数.
（1）当时，求函数的极值点；
（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）是函数的极小值点；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用导数求出函数的极值点.
（2）分离参数并构造，再利用导数求出最大值即可.
【小问1详解】
当时，函数的定义域为，求导得，
由，得，当时，；当时，，
所以是函数的极小值点.
【小问2详解】
当时，不等式，
设，依题意，，，
求导得，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以实数的取值范围是.
18. 流感病毒是一种病毒，大致分为甲型、乙型、丙型三种，其中甲流病毒传染性最强，致死率最高，危害也最大．某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2列联表：
（1）根据的独立性检验，分析预防药品对预防甲流的有效性；
（2）用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗药品对该动物进行治疗，已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为0.5，对使用过预防药品的动物的治愈率为0.75，若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染动物中被治愈的动物只数为，求的分布列与数学期望．
附：．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据列联表数据代入计算即可；
（2）根据全概率公式计算药品的治愈概率，再根据变量服从二项分布可得分布列和期望.
【小问1详解】
假设：使用预防药品与对预防甲流无效果，
由列联表可知，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为使用预防药品与对预防甲流有效果，此推断犯错误的概率不大于0.05.
【小问2详解】
设事件表示使用治疗药品并且治愈，事件表示未使用过预防药品，事件表示使用过预防药品，
由题意可得，
且，
则，
治疗药品的治愈概率，
则，
所以，，
，，
所以，随机变量的分布列为
.
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）当时，证明：当时，.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，令，可得，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，即可得到结果；
（3）根据题意，求导可得，令，求导可得上单调递减，从而可得在上单调递减，即可证明.
【小问1详解】
当时，，则，
所以，，
由直线的点斜式可得，化简可得，
所以切线方程为.
【小问2详解】
因为函数，
令，可得，
设，则，
当时，，此时在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，，
且时，，
所以当时，函数与函数无交点；
当时，函数与函数有且仅有一个交点；
当时，函数与函数有两个交点；
当时，函数与函数有且仅有一个交点；
综上所述，当时，函数无零点；
当或时，函数有且仅有一个零点；
当时，函数有两个零点.
【小问3详解】
当时，，
令，
则，令，则，
因为，所以，，
则当时，恒成立，
所以在上单调递减，
即在上单调递减，
所以，
所以在上单调递减，
所以，即.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数零点问题以及利用导数证明不等式问题，难度较大，解答问题的关键在于将零点问题转化为函数交点问题，将不等式问题转化为最值问题.
10
20
30
40
50
60
70
80
12.8
16.5
19
20.9
21.5
21.9
23
25.4
161
29
20400
109
603
预防药品
甲流病毒
合计
感染
未感染
未使用
24
21
45
使用
16
39
55
合计
40
60
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2
3