安徽滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二下学期开学数学试题含答案

这是一份安徽滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二下学期开学数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知直线 l:mx+y+1+n2x−y−1=0,m∈R,n∈R ,若直线 l 与连接 A1,−2,B2,1 两点的线段总有公共点,则 l 的倾斜角范围为 ( )
A. −π4,π4 B. 3π4,π C. π4,3π4 D. 0,π4∪3π4,π
2. 如图， M 为四面体 OABC 的棱 BC 的中点， N 为 OM 的中点，点 P 在线段 AN 上，且 AP=2PN ，设 OA=a ， OB=b ， OC=c ，则 OP= ()

A. OP=13a+16b+16c B. OP=23a+112b+112c
C. OP=13a−16b+16c D. OP=23a+112b−16c
3. 已知 ⊙M:x2+y2−2x−2y−2=0 ,直线 l:2x+y+2=0,P 为 l 上的动点.过点 P 作 ⊙M 的切线 PA,PB ，切点为 A,B ，当四边形 PAMB 面积最小时，直线 AB 的方程为( ).
A. 2x−y−1=0 B. 2x+y−1=0
C. 2x+y+1=0 D. 2x−y+1=0
4. 设双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 P,Q 在 C 上,满足 F2P=3F2Q ，且 ∠PF1Q=π3 ，则 C 的离心率为( )
A. 32 B. 5 C. 7 D. 22
5. 在圆幂定理中有一个切割线定理: 如图 1 所示, QR 为圆 O 的切线, R 为切点, QCD 为割线,则 QR2=QC⋅QD . 如图 2 所示,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A−1,0 ,点 P
是圆 O:x2+y2=4 上的任意一点,过点 B1,0 作直线 BT 垂直 AP 于点 T ,则 2PA+3PT 的最小值是( )

图1

图2
A. 62 B. 82 C. 42 D. 22
6. 甲、乙两名大学生同时于 2025 年 5 月初向银行贷款 5000 元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分 12 次还清所有的欠款，从 2025 年 6 月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为 0.4%，则 2025 年 10 月初甲比乙将多还多少元(精确到个位，参考数据: 1.00411≈1.045,1.00412≈1.049 ,
1.00413≈1.053 ) ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7. 已知直线 AB 垂直于抛物线 E:y2=2pxP>0 的对称轴,与 E 交于点 A,B (点 A 在第一象限)，过点 A 且斜率为 −3 的直线与 E 交于另一点 C ，若 AB=BC=2 ，则 p= ()
A. 32 B. 223
C. 2 D. 3
8. 在直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中，已知底面为正方形，若 AA1=2AB=2 ，下列不正确的是( )
A. A1B// 平面 ACD1
B. 直线 AD1 与 A1B 所成角的余弦值为 45
C. 直线 BC 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 23
D. 直线 A1C1 到平面 ACD1 的距离为 23
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. 已知圆 C1:x2+y2=1 ,圆 C2:x2+y2−6x+4y+9=0 ,则( )
A. 两个圆心所在直线的斜率为 −23
B. 两个圆公共弦所在直线的方程为 3x−2y−5=0
C. 过点 C1 作直线 l 使圆 C2 上有且只有一个点到 l 的距离为 1,则直线 l 的方程为 5x−12y=0
D. 过点 C2 作圆 C1 的两条切线,切点为 A,B ,则直线 AB 的方程为 3x−2y−1=0
10. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn=n2−7n+6 ,则下列说法正确的是 ( )
A. an=2n−8 B. Sn 取得最小值时 n=3 或 4
C. 1a5a6+1a6a7+⋯+1a28a29=625 D. Snn 的最小值为 26−7
11. 已知 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和,且 a1=−7,S3=−15 ,则下列结论正确的是 ( )
A. an=2n−9 B. an 为递减数列
C. a6 是 a4 和 a9 的等比中项 D. Sn 的最小值为 -16
三、填空题:本大题共 3 小题, 共 15 分.
12. 已知 an 为等差数列, Sn 为其前 n 项和. 若 a2=3,a3+a7=0 ,则 S8= _____.
13. 若椭圆 x24+y2=1 上存在两点到直线 l:x−y+m=0 的距离均为 102 ,则实数 m 的取值范围为_____.
14. 已知中心在坐标原点的椭圆 C1 与双曲线 C2 有公共焦点,且左,右焦点分别为 F1,F2 , C1 与 C2 在第一象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若 PF1=10,C1 与 C2 的离心率分别为 e1,e2 ,则 2e1+e2 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 已知数列 an 满足 a1=32 ,且 an+1=λan+1n∈N∗,λ∈R且λ≠−23 .
(1) λ 为何值时，数列 an+1 是等比数列；
(2)若数列 an+1 是等比数列，求数列 an 的前 n 项和 Sn .
16. 已知圆 C1 的圆心在直线: x−y+3=0 上,圆 C1 过点 M−3,2 ,且圆 C1 与 x 轴相切,圆 C2: x+12+y−42=r2 r>0 与圆 C1 内切,切点为 A .
(1)求圆 C1 的标准方程；
(2)求 r 的值以及点 A 的坐标；
(3)过点 A 的直线 l 与圆 C1,C2 在第一象限分别交于 B,C 两点，若 BC=22 ，求直线 l 的方程.
17. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PD⊥ 底面 ABCD,PD=DC=2AD=4,E 是 PC 的中点,点 F 是棱 PB 上靠近 P 的四等分点.

(1)求证: PA// 平面 EDB ；
(2)求直线 BF 与平面 EDB 所成角的正弦值；
(3)求点 F 到直线 AB 的距离.
18. 已知椭圆 Cx2a2+y2b2=1a>b>0 直线 2x−3y+6=0 与 C 交于点 M,N ，且线段 MN 的中点为 A−32,1 .
(1)求 C 的离心率.
(2)若点 M 在 x 轴上，点 P,Q (点 Q 在点 P 的右上方)在 C 上，且直线 PQ 与直线 MN 平行.
(i) 求直线 PQ 与直线 MN 之间距离的取值范围;
(ii) 求证: 直线 MP,NQ 的交点在定直线上.
19. 给定数列 An:a1,a2,⋯,anai∈N,i=1,2,⋯,n ,定义 “ ω 变换”为将数列 An 变换成 Bn:b1,b2,⋯,bn ,其中 bi=ai+1−aii=1,2,⋯,n−1 ,且 bn=an−a1 . 这种“ ω 变换”记作 Bn=ωAn ,继续对数列 Bn 进行“ ω 变换”,得到数列 Cn,⋯ ,依此类推,当得到的数列各项为 0 时变换结束.
(1)求数列 A4:1,4,2,9 经过 4 次 “ ω 变换”后得到的数列；
(2)证明:数列 A3:a1,a2,a3 经过有限次 “ ω 变换”后能够结束的充要条件是 a1=a2=a3 ；
(3)已知数列 A3:2024,2,2028 经过 K 次“ ω 变换”后得到的数列各项之和最小，求 K 的最小值.
1. D
由直线 l:mx+y+1+n2x−y−1=0,m∈R,n∈R ,
令 x+y+1=02x−y−1=0 ,解得 x=0y=−1 ,所以直线 l 经过定点 P0,−1 .
由 A1,−2,B2,1 ,则 kPA=−1−−20−1=−1,kPB=1−−12−0=1 ,
要使直线 l 与连接 A1,−2,B2,1 两点的线段总有公共点,
则直线 l 的斜率 k 需满足 −1≤k≤1 ,
则直线 l 的倾斜角范围为 0,π4∪3π4,π .

故选: D.
2. A
M 为四面体 OABC 的棱 BC 的中点, N 为 OM 的中点,
故 OM=12OB+12OC,ON=12OM=14b+14c ,
OP=OA+AP,
因为 AP=2PN ，所以 AP=23AN ，
OP=OA+AP=OA+23AN=OA+23ON−OA=13a+23ON=13a+16b+16c .
故选: A
3. C
由题意可知, PM⊥AB,PA⊥AM,PB⊥BM .
故四边形 PAMB 的面积 S=12PM⋅AB=2×12PA⋅AM=PA⋅AM .
由圆 M:x2+y2−2x−2y−2=0 得 x−12+y−12=4 ①,
∴ 圆心 M1,1 ,半径 r=2 ,即 AM=2 .

要使四边形 PAMB 面积最小,即 PA 最小,
又 PM2=PA2+AM2 ,即求 PM 的最小值.
∴ 当直线 PM 与 l:2x+y+2=0 垂直时， PM 最小.
∵ 直线 l 的斜率 k=−2 ,则 kPM=12,PM 方程为 y−1=12x−1 即 x−2y+1=0 .
联立 x−2y+1=02x+y+2=0 得 x=−1y=0 ,即 P−1,0 ,
∴PMmin=1+12+1=5 .
∴PM 中点 N0,12 ,则四边形 PAMB 外接圆为 x2+y−122=522 ②,
∴ 直线 AB 方程为①-②,即 2x+y+1=0 .
故选: C.
4. C
如图所示:

设 F2Q=m ,则 F2P=3m,PF1=3m−2a,QF1=m+2a ,在 △QF1P 中, ∠QF1P=π3 ,
由余弦定理得 3m−2a2+m+2a2−23m−2am+2a⋅csπ3=4m2 ,
化简得 m2−4ma+4a2=0 ,即 m=2a . 又 cs∠PF2F1=cs∠QF2F1 ,
即 PF22+F1F22−PF122PF2⋅F1F2=QF22+F1F22−QF122QF2⋅F1F2 ,即
9m2+4c2−3m−2a212mc=m2+4c2−m+2a24mc,
化简得 b2=3ma ,又 m=2a 所以 b2=6a2,c2=a2+b2=7a2,∴e=ca=7
故选: C
5. A
连接 PO ,

在 △PAB 中,因为 O 是 AB 的中点,
所以 PO=12PA+PB ,平方得 PO2=14PA2+PB2+2PA⋅PBcs∠APB ,
将 cs∠APB=PA2+PB2−AB22PA⋅PB 代入可得 PO=122PA2+PB2−AB2=2 ,
因为 AB=2 ,所以 PA2+PB2=10 ,
所以 cs∠APB=3PA⋅PB ,
在 Rt△PBT,PT=PBcs∠APB=3PA ,
所以 2PA+3PT=2PA+9PA≥218=62 ,
当且仅当 2PA=9PA 即 PA=322 时,取等号,
故选: A
6. A
学生甲从 5 月初到 9 月初已经还了 4 个月,
在第 5 个月的还款额为 500012+5000−500012×4×0.4%=430 元,
设学生乙每个月的还款额均为 x 元,第 n1≤n≤12 个月还款后还剩余 an 元未还,
显然 a1=50001+0.4%−x, a2=a11+0.4%−x, a3=a21+0.4%−x ,
……, a11=a101+0.4%−x, a12=a111+0.4%−x
显然 a12=0 ,故 a11=x1+0.4% ,
所以 x1+0.4%=a101+0.4%−x ,故 a10=x11+0.4%+11+0.4%2 ,
依次类推,可得 a1=x11+0.4%+11+0.4%2+⋯+11+0.4%11 ,
即 50001+0.4%−x=x11+0.4%+11+0.4%2+⋯+11+0.4%11 ,
所以 x=50001+0.4%1+11+0.4%+11+0.4%2+⋯+11+0.4%11 ,
由等比数列求和公式可得
1+11+0.4%+11+0.4%2+⋯+11+0.4%11=1−11+0.4%121−11+0.4%=1+0.4%12−10.4%1+0.4%11,
故 x=5000×0.4%1+0.4%121+0.4%12−1≈428.16 元,
学生乙每个月的还款额均为 428.16 元,
所以甲比乙将多还 430−428.16=1.84≈2 元.
故选: A
7. A
如图,因为过点 A 且斜率为 −3 的直线与 E 交于另一点 C ,若 AB=BC=2 , 所以可设 Ax0,1 ,作 CD⊥AB 于 D .

因为 kAC=−3 ,则 ∠CAB=30∘ . 由 AB=BC=2 ,易得 ∠CBD=60∘ ,
所以 BD=1,CD=3 ,即知 Cx0+3,−2 ,
因为点 A,C 在 E 上.
所以 1=2px04=2px0+3 ,解得 p=32 .
故选: A
8. C
如图建立空间直角坐标系, 则
A1,0,0,B1,1,0,C0,1,0,D10,0,2,A11,0,2,C10,1,2,
所以 AC=−1,1,0,AD1=−1,0,2 ,
设平面 ACD1 的法向量为 n=x,y,z ,
则 n⋅AC=−x+y=0n⋅AD1=−x+2z=0 ,令 z=1 ,则 x=2,y=2 ,
所以平面 ACD1 的一个法向量为 n=2,2,1 ,
又 A1B=0,1,−2 ,所以 A1B⋅n=0×2+1×2−2×1=0 ,
又 A1B⊄ 平面 ACD1 ，所以 A1B// 平面 ACD1 ，故 A 正确；
因为 AD1⋅A1B=0×−1+0×1+2×−2=−4 ，
所以 csAD1,A1B=AD1⋅A1BAD1⋅A1B=−45⋅5=−45 ，
所以直线 AD1 与 A1B 所成角的余弦值为 45 ，故 B 正确；
因为 BC=−1,0,0 ,
所以 csBC,n=BC⋅nBC⋅n=−21×3=23 ,
所以直线 BC 与平面 ACD1 所成角的正弦值为 23 ,
则直线 BC 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 1−232=53 ，故 C 错误；
因为 AA1//CC1 且 AA1=CC1 ,所以四边形 A1ACC1 为平行四边形,
所以 A1C1//AC,A1C1⊄ 平面 ACD1,AC⊂ 平面 ACD1 ,
所以 A1C1// 平面 ACD1 ,所以直线 A1C1 到平面 ACD1 的距离,
即为点 A1 到平面 ACD1 的距离,
因为 AA1=0,0,2 ,所以点 A1 到平面 ACD1 的距离 d=AA1⋅nn=23 ,
故直线 A1C1 到平面 ACD1 的距离为 23 ,即 D 正确.

9. AD
根据题意,圆 C1:x2+y2=1 ,其圆心为 C10,0 ,半径 R=1 .
圆 C2:x2+y2−6x+4y+9=0 ,即 x−32+y+22=4 ,其圆心为 C23,−2 ,半径 r=2 , 则两个圆心所在直线的斜率 k=−2−03−0=−23 ,故 A 正确；
圆心距 C1C2=9+4=13>R+r=3 ,两圆外离,不存在公共弦,故 B 不正确;
因为圆 C2 上有且只有一个点到 l 的距离为 1,所以点 C2 到 l 的距离为 3,
当直线斜率不存在时, l 的方程为 x=0 ,满足题意, 故 C 不正确;

连接 C1A,C1B ,则 C1,A,C2,B 四点共圆 (四边形对角互补则四点),

则该圆的方程为 xx−3+yy+2=0 ,即圆的方程 x2+y2−3x+2y=0 ,
而圆 C1:x2+y2=1 ,且 AB 为圆 x2+y2−3x+2y=0 与圆 C1 的公共弦,
两式相减得直线 AB 的方程为 3x−2y−1=0 ,故 D 正确.
故选: AD.
10. BC
对于 A ,由于 a1=S1=1−7+6=0≠−6=2⋅1−8 ,故 an=2n−8 对 n=1 不成立,故 A 错误;
对于 B ,由二次函数性质知 fx=x2−7x+6 的开口向上,且对称轴为 x=72 ,故当 n=3 或 4 时, Sn=n2−7n+6 取得最小值,故 B 正确;
对于 C ,因为 Sn=n2−7n+6 ,故对 n≥2 有
an=Sn−Sn−1=n2−7n+6−n−12−7n−1+6=2n−8.
所以 1a5a6+1a6a7+⋯+1a28a29=12×4+14×6+⋯+148×50 ,同时有 1nn+2=121n−1n+2 .
故 12×4+14×6+⋯+148×50=12×12−14+14−16+⋯+148−150=12×12−150=625 ,故 C 正确;
对于 D ,因为 Snn=n2−7n+6n 一定是有理数,所以不可能以无理数 26−7 为最小值,故 D
错误.
故选: BC.
11. AD
由题意得: S3=3a1+3d=−15 ,因为 a1=−7 ,所以 d=2 ,所以 an 通项公式为: an=−7+2n−1=2n−9 , A 选项正确; 由于 d=2>0 ,所以 an 为递增数列, B 选项错误; 通过计算可得: a4=−1,a6=3,a9=9 ,其中 a6​2≠a4⋅a9 ,所以 a6 不是 a4 和 a9 的等比中项, C 选项错误; 因为 an 为递增数列,且 a4=−10 ,故 Sn 在 n=4 时取得最小值, S4=4a1+6d=−28+12=−16,D 选项正确
故选: AD
12. 4
解: 设 d 为公差,由 a2=3,a3+a7=0 ,
得 a3+a7=2a2+6d=6+6d=0 ,
解得 d=−1,∴a1=4 ,
则 S8=8a1+8×72d=4 ,
故答案为: 4 .
13. −25