安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三下学期开学考试数学（文）试题含答案

2021-2022学年度第二学期开年考卷

高三文科数学

本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷   选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1．已知全集，则集合（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知命题：“且”是“”的充要条件；命题：，曲线在点处的切线斜率为，则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

5．已知定义域为的函数的图象关于y轴对称，且满足．若曲线在处切线的斜率为4，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

6．已知函数，有三个不同的零点，，，且，则的范围为（    ）

A． B． C． D．

7．已知平面向量，若，则与的夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

8．若实数，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．-6 B．-3 C． D．-9

9．某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（    ）

A． B． C．3 D．8

10．已知抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线于两点，若是线段的中点，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．准线方程为

C． D．点到准线的距离为6

11．笼子中有2只鸡和2只兔，从中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出.如果将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率为（    ）

A． B． C． D．

12．通信卫星与经济发展、军事国防等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为，半径为），地球上一点的纬度是指与赤道平面所成角的度数，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个仰角为的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点的纬度为北纬，则（    ）

A． B．

C． D．

第II卷   非选择题（共90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 

13．已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_________．

14．已知圆的半径是3，是圆内一动点，且，是圆上的两个动点.若，则的取值范围是___________.

15．已知定义域为的函数的图象关于轴对称，且满足．若曲线在处切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为______．

16．某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：

根据表中数据，得出关于的回归直线方程为.据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为__________.（注：残差是实际观察值与估计值之间的差，）

三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. （本题满分12分）已知数列满足，．

（1）求的值并证明数列是等差数列；

（2）求数列的通项公式并证明：．

18．（本题满分12分）某小区物业为了让业主有一个良好的居住环境，特制定业主满意度电子调查表，调查表有生活服务､小区环境等多项内容，将每项内容进行分值量化，调查表分值满分为100分.物业管理人员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如下.

（1）根据频率分布直方图填写各分值段的业主人数表（不必说明理由）：

（2）在选取的100位业主中，男士与女士人数相同，规定分值在70分以上为满意，低于70分为不满意，据统计有32位男士满意.请列出列联表，并判断是否有95%的把握认为“业主满意度与性别有关”？

（3）在（2）条件下，物业对满意度分值低于70分的业主进行回访，用分层抽样的方式选出8位业主进行座谈，并从中随机抽取2人为监督员，求恰好抽到男女各一人为监督员的概率.

附：，其中.

19．（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，E，F分别是的中点.

（1）求证：平面：

（2）求点P到平面的距离.

20．（本题满分12分）已知椭圆的离心率，椭圆上的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过椭圆右焦点的直线，的斜率分别为，，满足，交于点，交于点，线段与的中点分别为．判断直线是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说明理由．

21．（本题满分12分）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，求a的取值范围.

22. （本题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，求以为直径的圆的极坐标方程．

23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数，.

（1）当时，解不等式；

（2）若在时有解，求实数的取值范围.

参考答案

1．D

【详解】.

故选：D

2．C

【详解】由已知可得，因此，.

故选：C.

3．D

【详解】若且，则有，反之，若，如且，而且不成立，

即“且”是“”的充分不必要条件，于是得p是假命题，

由求导得：，由得：，

即存在，曲线在点处的切线斜率为，q是真命题，

是真命题，是假命题，A不正确；

是假命题，是假命题，B不正确；

是假命题，C不正确；

是真命题，是真命题.

故选：D

4．D

【详解】∵，

∴

令，

，为偶函数，

令，设，

则，

因为，，，所以，

所以，所以在是增函数，又为增函数，

所以在上为增函数，

所以，，

由，得，

当时；当时，

所以，当且仅当时取等号，

所以，

故，

∴，

令，，

当时；当时，

所以，当且仅当时取等号，

，

，

.

综上

故选：D

5．A

【详解】

令，当时，，的图象如图所示，

由对称性可知，∴,

又∵，

∴，

,故，

∴,故选：.

7．B

【详解】由，可得，

所以，即，

所以，

设的夹角为，则,故选：B.

8．B

【详解】

作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中点，，

目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，

作直线，平移直线到直线，当直线过点A时，直线的纵截距最小，最大，

所以.故选：B

9．B

【详解】由三视图可知原几何体是底面边长为2，高为2的四棱锥，如图所示，

所以该几何体的体积为

，故选：B

10．D

【详解】因为抛物线的焦点，

所以，得，准线方程为，抛物线方程为，所以AB正确，

设，则，，两式相减得，

所以，所以，

所以直线的斜率为2，所以直线的方程为， 代入抛物线方程整理得

，所以，所以，所以C正确，

由，得，所以，所以点到准线的距离为5，所以D错误，

故选：D

11．D

【详解】把2只鸡记为，，2只兔子分别记为“长耳朵”H和短耳朵h，

则从笼中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出，共有如下24种不同的取法：

，，，，，

，，，，，

，，，，，

，，，，，

其中“长耳朵”H恰好是第2只被取出的动物，则共有种不同的取法.

则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率故选：D

12．A

【详解】

如图：，，，

在中，，

所以，，

因为，

所以，，

在中，由正弦定理可得：即，

所以,

整理可得：，

所以，

故选：A.

13．

【详解】

∵由，得，

由是的充分不必要条件知：有解，故，

即原不等式可化为：，

解得：，

设，，

是的充分不必要条件，

是B的真子集,

则且等号不同时成立，解得：，

故的取值范围是．

故答案为：.

14．

【详解】根据题意，在以为圆心，半径为的圆上，

所以在中，，

由余弦定理得，解得，

所以

，

所以当时，取得最小值，；

当时，取得最大值，；

所以的取值范围是

故答案为：

15．

【详解】因为，且函数是上的偶函数，则，

故函数为周期函数，且周期为，

则，故函数也为周期函数，且周期为，

由已知可得，，

因此，曲线在点处的切线方程为，即.

故答案为：.

16．

【详解】

根据样本处的残差为，即，可得，

即回归直线方程为，

又由样本数据的平均数为，

得，解得.

故答案为：

17．（1）解：当时，，，

当时，；，

两式相除得，

整理为：，即，

∴为等差数列，公差；

（2）

证明：由（1）得，

整理得：，

∵，

又∵单调递增，∴，

所以.

18．

（1）根据频率分布直方图知，分值在区间，，，，，内的频率分别为：0.12，0.16，0.20，0.24，0.18，0.10，

各分值段的业主人数为：

（2）由(1)及已知得列联表如下：

的观测值为：，

所以有95%的把握认为“业主满意度与性别有关”.

（3）由(2)知满意度分值低于70分的业主有48位，其中男士18位女士30位，用分层抽样方式抽取8位业主，其中男士3位女士5位，

记男士为a，b，c，记女士为1，2，3，4，5，从中随机抽取两位为监督员事件为：，

共计28个基本事件，其中抽到男女各一人有，共15个基本事件，所以恰好抽到男女各一人为监督员的概率为.

19．（1）取的中点O，连接，

因为E，F分别是的中点，所以，

故∥平面∥平面， 平面 ,

因此，平面∥平面，又平面，

所以∥平面.

（2）连接，因为，E是PA的中点，

所以的面积为，，

由（1）知，因为平面平面，

所以平面，

又,所以三棱锥的体积，

在中，，所以；

在中，；

在中，，所以，

在中，，故底边上的高为：，

所以的面积为：.

设点P到平面的距离h，则三棱锥的体积为，

又因为，所以，解得，

所以点P到平面的距离为.

20．（1）设右焦点，，

由题知求得，，，

所以椭圆C的标准方程为．

（2）

设，，

联立直线与椭圆C的方程得

消去y得，，

由根与系数的关系知，则，

代入直线的方程得，

所以，

同理得．

①当直线MN的斜率存在时，设直线，

将点M，N的坐标代入直线，得

易知，为方程的两个根，

由根与系数的关系知，

由题知，所以，得，

所以直线，所以直线MN过定点．

②当直线MN的斜率不存在时，，即，

所以，且．

不妨设，，

所以，

即直线，满足过定点．

综上，直线MN过定点．

21．（1）函数的定义域为，

，

当时，在定义域上单调递减；

当时，，

当时，单调递减，当时，单调递增.

综上所述，时，在定义域上单调递减；

时，在上单调递减，在单调递增.

（2）

当时，函数，，

符合题意，

由（1）可知，当时，在定义域上单调递减，

所以，故不满足.

当时，在上单调递减，在单调递增，

要想满足，满足即可.

∵，∴即，

化简得，即，综以a的取值范围是.

22．（1）由(为参数)，得(为参数)，消去得，

所以曲线的普通方程为.

（2）

由得直线l的直角坐标方程：，

由解得或，不妨令点，，

则中点坐标为，，

以为直径的圆的直角坐标方程为，即，

将，，代入得，

所以以为直径的圆的极坐标方程是.

23．（1）

（2）

（1）当时，，

当时，恒成立，

当时，由，得，

综上，

所以不等式的解集为.

（2），即，

又因为，则，

整理得，则，

即在有解，则

所以实数的取值范围为