安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三下学期开学考试数学（理）试题含答案

2021-2022学年度第二学期开年考试卷

高三理科数学

本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷   选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1．设集合，，则（    ）

A． B． C．  D．

2．已知复数（，为虚数单位）为实数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量，且，，则（    ）

A．3 B． C． D．

4．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了甲､乙､丙､丁四名工作人员到A，B，C三个村调研脱贫后的产业规划，若每个村至少去1人，则甲单独被分到A村的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．已知定义在R上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

6．已知函数，则不等式的解为（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．若，则函数f(x)的值域为

B．点是函数f（x）图象的一个对称中心

C．函数f（x）在区间上是增函数

D．函数f（x）的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到

8．若变量x，y满足，则目标函数的最小值为（    ）

A．-10 B．-6 C．-4 D．-

9．某村的农民经济收入由养殖业收入､种植业收入和第三产业收入构成.在贯彻落实乡村振兴政策的帮扶下，该村农民每年的收入都比上一年的收入翻一番，该村前三年的收入情况如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．该村2020年总收入是2018年总收入的3倍

B．该村近三年养殖业收人不变

C．该村2018年种植业收入是2020年种植业收入的

D．该村2020年第三产业收入低于前两年的第三产业收入之和

10．如图，圭表是中国古代通过测量日影长度来确定节令的仪器，也是作为指导汉族劳动人民农事活动的重要依据，它由“圭”和“表”两个部件组成，圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆，正午时太阳照在表上，通过测量此时表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时，太阳光线与圭所在平面所成角分别为，，测得表影长之差为，那么表高为（    ）

A． B． C． D．

11．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16，；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19，…，则在这个数列中第2021个数是（    ）

A．3976 B．3974 C．3978 D．3973

12．已知P为抛物线上一动点，F为E的焦点，点Q为圆上一动点，若的最小值为3，则（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

第II卷   非选择题（共90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 

13．已知向量，若，则实数___________.

14．已知函数满足：当时，；当时，；当时，（且）．若函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，有如下四个命题：①的值域为R．②为周期函数．③实数a的取值范围为．④在区间上单调递减．其中所有真命题的序号是__________．

15．我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为，且，无人机对地面受灾点D的俯角为30°．已知地面上三处受灾点B，C，D共线，且，，则无人机P到地面的距离______km．

16．在平面直角坐标系xOy中，动直线kx－y+2k＝0，x＋ky－2＝0(k∈R)的交点P的轨迹为C．若直线l与轨迹C交于点M，N，且满足＝1，则点O到直线l的距离的平方的取值范围为________．

三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. （本题满分12分）已知数列中，，成等差数列.

（1）求的值和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和为.

18．（本题满分12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”､“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：

（1）若测试的同学中，分数段､､､内女生的人数分别为2人､8人､16人､4人，完成列联表，并判断：是否有99%以上的把握认为性别与安全意识有关？

（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列及数学期望；

（3）某评估机构以指标，其中表示X的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应吊证安全教育方案.在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？

附表及公式：，其中.

19．（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，E，F分别是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

20．（本题满分12分）已知椭圆的离心率，椭圆上的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过椭圆右焦点的直线，的斜率分别为，，满足，交于点，交于点，线段与的中点分别为．判断直线是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说明理由．

21．（本题满分12分）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围.

22. （本题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时点P的直角坐标．

23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案

1．D

【详解】设集合，

，

则，

所以.故选：D.

2．C

【详解】

，故选：C.

3．B

【详解】

向量，由得：，即，

由得：，即，于是得，，，

所以.故选：B

4．A

【详解】甲､乙､丙､丁4人分到三个不同的村，每个村至少分1人的方法数是，其中甲被单独分到A村的方法数是，因此所求概率.故选：A.

5．B

【详解】

∵

∴ ，

当时，，

∴ ，故

∴  在内单调递增，

又，

∴，

所以故选：B．

6．A

【详解】当时，，则；

当时，，则，

当时，.

综上为偶函数.

又当时，，所以在上为减函数.

由，得，所以，

设与相切于点，则，解得，

所以与相切于点，

函数的图象如图所示

则满足题意的x的取值范围是.

故选：A.

7．A

【详解】由题图及五点作图法得，，，

则，，故.

由，得，

故，函数f(x)在区间上不是增函数，故A正确，C错误；

∵当时，，

所以点不是函数f(x)图象的一个对称中心，故B错误；

由，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D错误.故选：A．

8．A

【详解】由题设，约束条件可得如下可行域：

要使的最小，即其所对应的直线在与可行域有交点的情况下，在x轴上的截距最小即可，

∴当过上图中的A时，目标函数的值最小，而，

∴.

故选：A.

9．C

【详解】对于A：假设2018年的收入为a，则2019年的收入为，2020年的收入为，该村2020年总收入是2018年总收入的4倍，故A错误；

对于B：近三年的养殖业收入分别为，故B错误；

对于C：2018年的种植业收入为，2020年的种植业收入为，故C正确；

对于D：该村2020年第三产业收入为，前两年的第三产业收入之和为，故D错误.

故选：C

10．C

【详解】如图，设表高，

在中，，由正弦定理有，

所以，

在直角三角形中，，

即

.

故选：C

11．C

【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，

前n次共取了个数，且第n次取的最后一个数为，

当时，，即前63次共取了2016个数，

第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为，

即第2016个数为3969，所示当时，

依次取3970，3972，3974，3976，3978，…，所以第2021个数是3978，

故选：C

12．B

【详解】

可转化为，则圆心为，半径为1.

因为的最小值为3，点Q为圆上一动点，

设抛物线的准线为，则的方程为：

过点作,为垂足，则

如图，则.

由，可得，

故选：B

13．

【详解】

由题意得.又因为，所以.解得.

故答案为：

14．①③

【详解】

根据题意作出函数的部分图象如图：（实线部分）

对于①，因为当时，（且），此时函数值域为R，故①正确；

对于②，当时，（且）不是周期函数，故②错误；

对于③，函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，那么的图象与时的函数图象关于原点对称的曲线（图中虚线部分）至少有三个，则需满足： ，解得 ，故③正确；

对于④，由时，知，时，为增函数，

再由当时，可知当时，，故在区间上的情况和时相同，也为增函数，故④，

故答案为：①③

15．0.5或1

【详解】由题意可知，∵面,面，∴,

又∵,∴面，∴,

设，由已知得，则，

在△中，，

由，得，

，整理得，解得：或，

故答案为：0.5或1.

16．

【详解】

当时，则，得，代入中，有，

整理为，经检验不是两动直线的交点，故交点P的轨迹为，且.

由对称性，设直线l：，与联立，

得，设，

，

则，

则，

所以有，化简整理得，

O到直线l的距离的平方为，

若，则，矛盾，故，

设，则，故，

故，故，

故答案为：.

17．（1），

（2），

（1）∵，，成等差数列

即，得

又∵，∴，从而

所以

（2）由（1）得，

∴

两式相减，得

∴，.

18．

（1）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷总数，∴，，

性别与合格情况的列联表为：

∵

∴没有99%的把握认为性别与安全意识有关.

（2）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以X可能的取值为0，5，10，15，20，

，，，

，，

故X的分布列为：

所以

（3）

由（2）知：，

∴，

故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.

19．

（1）取的中点O，连接，因为E，F分别是的中点，

所以，

由于平面，平面，

所以平面，

由于平面，平面，

平面，

由于，

所以平面平面，

又平面，所以平面.

（2）连接，因为，所以，因为平面平面，

所以平面，可得两两垂直.

以所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

不妨设，则，

故.

所以，

所以

设平面的法向量为，则.

故，取，则，得

又因为平面的法向量为，故.

由已知二面角为钝角，故二面角的余弦值为.

20．（1）；

（2）直线过定点.

（1）设右焦点，，

由题知求得，，，

所以椭圆C的标准方程为．

（2）设，，

联立直线与椭圆C的方程得

消去y得，，

由根与系数的关系知，则，

代入直线的方程得，

所以，

同理得．

①当直线MN的斜率存在时，设直线，

将点M，N的坐标代入直线，得

易知，为方程的两个根，

由根与系数的关系知，

由题知，所以，得，

所以直线，所以直线MN过定点．

②当直线MN的斜率不存在时，，即，

所以，且．

不妨设，，

所以，

即直线，满足过定点．

综上，直线MN过定点．

21．（1）已知函数，定义域为，

，

①当时，，

在上单调递增，在上单调递减；

②当时，，函数在单调递增；

③当时，，

在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减；

时，在单调递增；

时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）若存在，使得成立，即使得.

由（1），可知当时，在上单调递增，，

不满足；

当时，

，所以，即，

令，∴，

∴在上单调递减，

又∵，由，得.

综上，实数a的取值范围为.

22．（1）因为曲线的参数方程为（t为参数），

即，代入可得，

即曲线的普通方程为．

因为曲线的极坐标方程为，

即，即，

因为，，

所以，

所以曲线的直角坐标方程为．

（2）设，则到直线的距离．

所以当时，，

此时，即的最小值为．

23．（1）当时，，由，

得，则或

或，解得或或，所以原不等式解集为．

（2）因为，

所以对任意恒成立，

所以，即，

解得，所以实数a的取值范围是．