2023滁州定远县育才学校高一下学期开学考试数学含答案

定远育才学校2022-2023学年度第二学期高一开年考

高一数学

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  集合，，则(        )

A.  B.
C.  D.

2.  命题“，”的否定是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.  已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点，轴，垂足为若的面积为，则(         )

A.  B.  C.  D.

5.  神舟十五号载人飞船搭载宇航员费俊龙、邓清明和张陆进入太空，在中国空间站将完成为期个月的太空驻留任务，期间会进行很多空间科学实验．太空中的水资源极其有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质，要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤的次数为参考数据(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若，，，则，，的大小关系(       )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是(    )

A.
B. 图象的一条对称轴的方程为
C. 在区间上单调递增
D. 的解集为

8.  已知函数，若函数有两个零点，则函数的零点个数为(       )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列命题为真命题的是(        )

A. 是的必要条件
B. 是的充分不必要条件
C. 是的充分条件
D. 的充要条件是

10.  下列说法不正确的是(        )

A. 函数的零点是和
B. 正实数，满足，则不等式的最小值为
C. 函数的最小值为
D. 的一个必要不充分条件是

11.  早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项．毕达哥拉斯哲学家阿契塔在论音乐中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是(    )

A. 若，，，则
B. 若实数，，满足，则的最小值为
C. 若，则的最小值为
D. 若，，，则的最小值为

12.  已知函数，则(    )

A. 的图象关于轴对称 B. 的值域是
C. 在上单调递增 D. 在上的所有零点之和为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.  杭州年第届亚运会会徽图象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展，也象征亚奥理事会大家庭团结携手、紧密相拥、永远向前．图是会徽抽象出的几何图形．设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，若，则______．

14.  已知不等式的解集为，则不等式的解集为______．

15.  已知为锐角，角的终边经过点，，则______．

16.  是定义在上的奇函数，且时，，则时，______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分设集合，．
若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
若，，求实数的取值范围．

18.  本小题分已知函数，为定义在上的奇函数．
求实数的值；
设，当时，函数的最小值为，求的取值范围．

19.  本小题分已知，且．
求的值；
求的值．

20.  本小题分已知二次函数的图象过点，满足且函数是偶函数．函数．
求二次函数的解析式；
若对任意，，恒成立，求实数的范围；
若函数恰好三个零点，求的值及该函数的零点．

21.  本小题分已知函数
求的振幅和最小正周期；
当时，求函数的值域；
当时，求函数的单调递减区间．

22.  本小题分已知函数在上为奇函数，，．
求实数的值；
指出函数的单调性说明理由，不需要证明；
若对任意，不等式都成立，求正数的取值范围．

答案和解析

1. 【解析】由已知可得，
所以，故选：．
2. 【解析】命题“，”为特称命题，特称命题的否定是全称命题，
命题“，”的否定是“，”．故选：．
3. 【解析】因为幂函数的图象过点，
所以，可得，
所以，．
因为，
所以，
故．
因此，函数在区间上的值域为．故选：．
4. 【解析】平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，
且与单位圆交于点，轴，垂足为．
若的面积为，则，
，故选：．
5. 【解析】设过滤的次数为，原来水中杂质为，
则由题意得，
即，
所以，
所以，
因为，所以的最小值为，则至少要过滤次．故选：．
6. 【解析】，
，
，排除选项CD；
，，则，
，，
，，排除选项B．故选：．
7. 【解析】根据函数的图像，，
且满足，
故，所以，
当时，，由五点法作图可知：，
所以，故A正确；
时，，
所以，图象的一条对称轴的方程为，所以B正确；
时．，所以在区间上单调递增，是不正确的，所以C错误；
，可得，即：，，，
解得，所以D正确．故选：．
8. 【解析】作出函数的图象如图所示，

若函数有两个零点，则函数的图象与直线有两个交点，
所以，解得，
故，
令，即，
则或，
则或，而有个实数根，
有个实数根，
故的零点个数为，故选：．
9. 【解析】：当，，此时，但是，故充分性不成立，
当时，时，，但是，故必要性不成立，故A错误，
：当时，一定成立，故充分性成立，当时，，故必要性不成立，故B正确，
：当，时，，所以充分性不成立，故C错误，
：当时，，即，所以，故充分性成立，
当时，，故必要性成立，故D正确，故选：．
10. 【解析】函数的零点是和，故A错误，
正实数，满足，
则，当且仅当，即，时，等号成立，
故不等式的最小值为，故B正确，
，当且仅当，即时，等号成立，
显然时，实数不存在，
故等号不成立，故C错误，
，解得，
能推出，故D错误．故选：．
11. 【解析】对于选项：因为，，，
所以
当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
对于选项：，
，
，当且仅当时等号成立，故B错误；
对于选项：原式当且仅当时取等号故C正确；
对于选项．令，则，由，得，
则，
而，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确；故选：．
12. 【解析】对于：，则，
，即是偶函数，故的图象关于轴对称，故A正确；
．
令，则，则．
由得，由得或．
则在和上单调递减，在上单调递增，
又，，，
，即的值域是，故B错误；
对于：当时，因为在上单调递减，
且在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；
对于：，即或．
，，或或，
则在上的所有零点之和为，故D正确，故选：．
13. 

【解析】设，由，得，即，
则．故答案为：．
14. 

【解析】由已知可得，是方程的两根，
则由韦达定理可得：，解得，，
所以不等式化为：，解得，
所以所求不等式的解集为，故答案为：．
15. 

【解析】已知为锐角，角的终边经过点，
所以：，；
由于，所以；
且，故为钝角，
，
，
同理，
故．故答案为：．
16. 

【解析】根据题意，当时，，
则，
又由为奇函数，则；
故答案为：．
17.解：，
““是““的充分条件，，
且，
，
，解得，
的取值范围为：；
，
，，
，且，
，或，
的取值范围为：． 

18.解：，为定义在上的奇函数，
，解得；
，满足，
；
，，
令，则为增函数，
由，解得或舍去，
，即，
，
，
，
，
整理得：，即 

19.解：；分
分
，，
，
分
分 

20.解：设，
由题意得，
所以，，
因为函数是偶函数，
所以的图象关于对称，即，
故，，，；
由得在上单调递增，，
若对任意，，恒成立，则在上恒成立，
故，解得或，
故的取值范围为或；
令，则，
由可得，即，
所以，
由恰好三个零点可得的一个零点为，
故，另外一个零点为，
所以，或． 

21.解：振幅为                         分
函数最小正周期为：                  分
当时，
，可得    分
函数的值域为；                           分
令，              分
解之得：，                  分
，且
分
当时，函数的单调递减区间是，分 

22.解：函数在上为奇函数，
，
恒成立，又，可得；
当时，，
，函数为减函数；
不等式，
即，
可得，
，即，
也就是，
，当且仅当，即时等号成立，
，
由，令，则，
，
，即，又，解得．
正数的取值范围是．