安徽桐城中学2025-2026学年高二年级下学期第一次学情调研数学试题含答案

这是一份安徽桐城中学2025-2026学年高二年级下学期第一次学情调研数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设向量 a=3,5,2,b=−2,1,3 ,当 m 与 n 满足下列哪种关系时,向量 ma+nb 与 x 轴垂直 ( )
A. 3m=2n B. 3m=n
C. m=2n D. m=n
2. 在 1 与 81 之间插入 3 个正数，使这 5 个数成等比数列，则该数列的公比为( )
A. 3 B. 9 C. 33 D. 3
3. 若函数 fx=ax−lnx 在 x=2 处的切线平行于直线 y=12x+2 ,则 a= ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知空间向量 a=1,2,−1,b=2,−1,2 ，则向量 a 在向量 b 上的投影向量为( )
A. 49,−29,49 B. 2,−1,2 C. −49,29,−49 D. −43,23,−43
5. 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 nSn+1n+1>Snn∈N∗ ,若 a8a70 的焦点 F1,0 ,与 C 交于 Ax1,y1,Bx2,y2 两点, 若线段 AB 的中点 M 的横坐标为 2,则下列结论正确的是 ( )
A. p=1 B. AB=6 C. kAB=2 D. y1y2=−2
8. 函数 fx=xex−x−lnx+m 有两个零点,则 m 的取值范围是()
A. −∞,−1 B. −∞,−1 C. 1,+∞ D. −1,+∞
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中, 正确的是 ( )
A. 若两个不重合的平面法向量平行, 则这两个平面平行
B. 若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行
C. 两条不重合直线 l1,l2 的方向向量分别是 a=2,3,−1,b=−3,2,0 ,则 l1⊥l2
D. 直线 l 的方向向量 a=2,3,−1 ,平面 α 的法向量是 u=−3,2,0 ,则 l⊥α
10. 设数列 an 前 n 项和为 Snn∈N∗ ,关于数列 an 有下列命题,其中正确的命题有( )
A. 若 an=an+1n∈N∗ ,则 an 既是等差数列又是等比数列
B. 若 Sn=an2+bn,a,b∈R ,则 an 为等差数列
C. 若 an 为等差数列,则 Snn 是等差数列
D. 若 Sn=2n+3 ，则 an 为等比数列
11. 已知有如下定义: 设 f′x 是 fx 的导函数, f′′x 是函数 f′x 的导函数. 若方程 f′′x=0 有实数解 x0 ,则称点 x0,fx0 ,为函数 y=fx 的“拐点”,经过探究发现: 任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心. 若三次函数 fx=x3−3x2 ,则下列说法正确的是 ( )
A. fx 的值域为 R
B. fx 在区间 1,3 上单调递增
C. 点 1,−2 是曲线 y=fx 的对称中心
D. 若方程 fx−m=0m∈R 有三个不同实根,则实数 m 的取值范围为 −4,0
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 直线 l 经过点 A2,3,1,B0,1,0 ,则点 P32,3,2 到 l 的距离为_____.
13. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2+n ,设 bn=1anan+1,Tn 为数列 bn 的前 n 项和,若对任意的 n∈N∗ ，不等式 λTnb>0 的离心率为 12 ,过椭圆 C 的右焦点并垂直于 x 轴的直线 PM 交椭圆 C 于 P,M (点 P 位于 x 轴上方)两点，且 △OPM ( O 为坐标原点)的面积为 32 .
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若直线 l 交椭圆 C 于 A,B ( A,B 异于点 P )两点，且直线 PA 与 PB 的斜率之积为 −94 ， 求点 P 到直线 l 距离的最大值.
19. 已知函数 fx=xlnx .
(1)求曲线 y=fx 在 x=1 处的切线方程；
(2)设 gx=fx+1−tsinx,t∈R .
(i) 讨论 gx 在 0,π 内的零点个数;
(ii) 证明: 12sin1+23sin12+34sin13+⋯+nn+1sin1n0,∴a5=a1⋅q4⇒81=1⋅q4⇒q=3 .
故选: D.
3. A
由函数 fx=ax−lnx ,得 f′x=a−1x ,
因为函数在 x=2 处的切线平行于直线 y=12x+2 ,
所以 f′2=a−12=12 且 f2≠3 ,得 a=1 .
4. C
a 在 b 上的投影向量为 a⋅bb2⋅b=1,2,−1⋅2,−1,222+−12+222⋅2,−1,2 =1⋅2+2⋅−1−1⋅29⋅2,−1,2=−29⋅2,−1,2=−49,29,−49 .
故选: C
5. D
nSn+1n+1>Sn⇒nSn+1>n+1Sn⇒nSn+an+1>n+1Sn⇒nan+1>Sn ,
对于等差数列, Sn=na1+an2 ,代入得: nan+1>na1+an2⇒2an+1>a1+an ,
又因为 an+1=an+d ,代入化简可得: an+2d>a1⇒a1+n−1d+2d>a1⇒nd+d>0 ,
对所有 n∈N∗ 成立,故公差 d>0 ;
因为 d>0 ,数列递增,故 a8>a7 ,由 a8a70 ;
因此: 当 n≤7 时, an0 ;
前 n 项和 Sn 在 an 由负转正时取得最小值,即 S7 是最小项.
故选: D
6. D
∵an=ncsn−1π ,
∴a2k−1=2k−1cs2k−2π=2k−1, k∈N∗ .
a2k=2kcs2k−1π=−2k.
则 S2026=a1+a2+a3+a4+⋯+a2026
=1−2+3−4+…+2025−2026
=1013×−1=−1013 ,
故选: D.
7. B
因为抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点 F1,0 ,所以 p2=1 ,所以 p=2 ,故 A 错误; 抛物线为 y2=4x ,焦点为 F1,0 ,
因为抛物线 y2=4x 的准线为 x=−1 ,则 AF=x1+1,BF=x2+1 ,
所以 AB=AF+BF=x1+x2+2=2×2+2=6 ,故 B 正确;
设直线 AB 的方程为 x=my+1 ,与抛物线 y2=4x 联立,
消去 x 可得 y2−4my−4=0 ,可得 y1+y2=4m,y1y2=−4 ,故 D 错误;
因为 x1+x2=y124+y224=y1+y22−2y1y24=16m2+84=4 ,所以 m2=12 ,
所以 m=±22 ,所以 kAB=1m=±2 ,故 C 错误.
故选: B
8. B
由题函数定义域为 0,+∞ ,
函数有两个零点,等价于方程 xex−x−lnx=−m 有两个解,
即 gx=xex−x−lnx 与直线 y=−m 有两个交点.
g′x=x+1ex−1−1x=x+1ex−x+1x=x+1ex−1x,
因为 x>0 ,所以 x+1>0 ,
令 hx=ex−1x ,
易知 hx 在 0,+∞ 单调递增,
当 x→0+ 时, hx→−∞ ,当 x=1 时, h1=e−1>0 ,
令 hx0=0 ,则存在唯一的 x0∈0,1 ,
所以 ex0=1x0 ,即 x0ex0=1,lnx0=−x0 ,
当 x∈0,x0 时, g′x0,gx 单调递增,
gx 在 x=x0 处取得最小值,
gx0=x0ex0−x0−lnx0,
代入 x0ex0=1 ， lnx0=−x0 ， gx0=1−x0−−x0=1 ，
当 x→0+ 时 gx→+∞ ,当 x→+∞ 时 gx→+∞ ,
所以大致图象如图所示,
所以 −m>1 ,
即 m∈−∞,−1 .
故选: B.

9. ABC
对于 A，因为两个不重合的平面法向量平行，则其中一个平面的法向量也垂直于另一个平面, 即可得一平面的法向量垂直于两个不同平面, 所以这两个平面平行, 故 A 正确; 对于 B, 因为两直线的方向向量不平行, 所以这两直线不平行, 故 B 正确;
对于 C ,因为 a⋅b=2×−3+3×2+−1×0=0 ,所以 a⊥b ,所以 l1⊥l2 ,故 C 正确;
对于 D ,因为 a=2,3,−1,u=−3,2,0 ,所以 a⋅u=2×−3+3×2+−1×0=0 ,所以 a⊥u ,所以 l//α 或 l⊂α ,故 D 错误.
故选: ABC
10. BC
对于 A ,若 an=an+1=0 ,则 an 是等差数列,但不是等比数列, A 错误; 对于 B ,当 n=1 时, a1=S1=a+b ,
当 n≥2 时, an=Sn−Sn−1=an2+bn−an−12+bn−1=2an−a+b ,
当 n=1 时,适合上式,
所以 an=2an−a+b ,则 an+1−an=2an+1−a+b−2an−a+b=2a 为常数,
所以 an 为等差数列,故 B 正确;
对于 C ,设等差数列 an 的公差为 d ,
则 Sn=na1+12nn−1d ,所以 Sn=na1+12nn−1dn=a1+12n−1d ,
所以 Sn+1n+1−Snn=a1+12nd−a1+12n−1d=12d 为常数,
所以 Snn 是等差数列, C 正确;
对于 D ,当 n=1 时, a1=S1=21+3=5 ,
当 n≥2 时, an=Sn−Sn−1=2n+3−2n−1+3=2n−2n−1=2n−1 ,
所以 a2=2,a3=4 ,
所以 a2a1≠a3a2 ,所以数列 an 不是等比数列, D 错误;
故选: BC
11. ACD
由函数 fx=x3−3x2 ,可得 f′x=3x2−6x=3xx−2 ,且 f′′x=6x−6 ,
对于 A: 当 x0,fx 单调递增;
当 00 ,所以 x+1lnx+1>sinx
即 1x+1⋅sinx