人教A版 (2019)选择性必修 第三册一元线性回归模型及其应用表格教学设计及反思

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册一元线性回归模型及其应用表格教学设计及反思，共4页。
课程基本信息
学科
数学
年级
高二
学期
秋季
课题
一元线性回归模型及其应用（第三课时）
教科书
书 名：普通高中教科书数学选择性必修第三册教材（A版）
出版社：人民教育出版社 .3月
教学目标
1.理解最小二乘法；
2.理解非线性模型；
3.理解决定系数。
教学内容
教学重点：
1. XXX。
2. XXX。
教学难点：
1. XXX。
2. XXX。
教学过程
引入：
通过前面几节课节课的学习我们知道，为了研究两个变量之间的相关关系，我们建立了一元线性回归模型，并学会使用最小二乘法对参数ab进行估计。那么今天，我们将继续学习如何应用一元线性回归模型解决现实生活中的实际问题。
问题1：经验表明，对于同一树种，一般树的胸径越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据如下表所示，试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程。
设计意图：明确建立回归方程的基本步骤
师生活动：面对这一问题，我们想要建立模型解决这一问题，第一步应该做什么呢？
我们首先需要明确问题中的解释变量与响应变量是什么？在这一问题中，胸径是我们的解释变量，树高是响应变量，我们就以胸径为横坐标，树高为纵坐标作出散点图。接下来老师将通过excel软件绘制散点图。
请同学们观察分析我们得到的散点图，你能得出什么结论呢？从图中我们可以看出散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，继而我们判断树的胸径与树高之间应该存在线性正相关关系，当然这只是我们的直观判断，我们还通过计算样本相关系数来明确我们的判断。老师还是通过excel软件帮助求解样本的相关系数。我们得到样本的相关系数约等于0.9657，非常接近1，由此可见两个变量的线性相关程度非常的高。因此我们考虑可以使用一元线性回归模型来刻画树高与胸径之间的关系。
我们以字母d表示胸径，h表示树高，同学们我们应该建立怎样的线性回归模型呢？非常好，h=bd+a+e,我们可以这样构建模型，在确定了模型结构后，我们就需要对模型中的参数进行求解。当然老师这里还是借助软件帮助我们快速求解参数。老师也将经验回归直线在散点图中画出，通过观察直线与散点的位置关系我们可以从直观的角度对模型的刻画效果进行检验。当然我们还有更为精确的检验模型的方法，那就是残差分析。
我们需要从那几个角度观察残差图，以判断模型的刻画效果呢？首先我们要观察残差是否均匀的分布在两侧，其次残差是否会受到胸径的影响产生线性或非线性的趋势？显然，残差均匀的分布在0的两侧，且不存在受胸径影响的趋势，那我们就可以判定我们求得的模型大致符合我们的假设。
在模型通过了我们的检验后我们就可以来应用我们的模型啦，该林场工作人员测得某棵树的胸径为30cm，你能利用建立的回归模型预测该树的树高吗？
问题2：人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程.
设计意图：体验修正模型过程，感悟非线性模型的处理方式。
师生活动：问题中的解释变量为年份，响应变量为世界纪录，那我们就以年份为横坐标，世界纪录为纵坐标绘制出散点图。通过观察散点图我们发现散点大致分布在一条从左上角到右下角的直线附近，计算样本的相关系数约等于-0.8559，而且还是比较接近-1的，说明两个变量成线性负相关，似乎可以用一元线性回归模型刻画。
我们以字母t表示年份，Y表示记录，建立Y=bt+a+e的一元线性回归模型，通过软件计算可得模型的斜率参数为-0.02034，截距参数为49.76913，并在散点图中绘制出经验回归直线。同学们，你们觉得回归直线对散点的拟合效果好吗？
我们发现没有散点落在回归直线上；其中最左边的点，也就是第一个世界纪录与直线的距离相对较远；而且1910到1940年的世界纪录都落在了直线的下方，而到了1950年之后又都落在了直线上方，这跟我们预期中的散点均匀分布在直线的两侧有所偏差。我们再从残差的角度来看，残差图呈现出围绕经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据有明显的非线性相关的特征，这与我们对一元线性回归模型的假设不符。因此我们建立的模型没有经过我们的检验。那我们接下来该怎么办呢？
没错，非常好，失败是成功之母，我们要尝试着去修改模型。我们重新观察散点的分布特征，散点的分布并不是线性的，为中间下凸且递减的非线性曲线。我想同学们肯定都能想到很多与之匹配的函数模型，例如反比例型、对数型、指数型以及幂函数型。在函数模型的基础上，我们都可以建立相应的回归模型。
问题3：如何对比评价模型的刻画效果？
设计意图：明确评价模型刻画效果的标准。
师生活动：方法一，直接观察法，我们可以在散点图中同时画出两个回归模型，显然有更多的点落在模型二的曲线上。除了直观的角度，我们还可以从代数角度更为明确的对比两个模型的刻画效果。方法二：残差分析，我们可以计算比较两个模型残差平方和的大小，残差表示了散点到经验回归直线的距离，残差平方和越小，说明模型拟合效果越好。通过计算我们发现模型一的残差平方和为0.6687，模型二的为0.0043，显然也是模型二胜出。除了残差分析，我们还可以使用统计中常使用的一个重要检验标准——决定系数R^2。决定系数等于，我们知道分母是固定的，不受模型变化的影响，而分子部分就是残差的平方和，因此R越大，说明残差平方和越小，模型拟合效果越好。显然，决定系数的比较结果和残差分析的结果是一致。除此之外，我们还可以使用新数据来检验模型，我们之前仅使用了1896-1968年的世界纪录数据，现在已经是2022年了，我们可以1968年后产生的新的世界纪录来检验我们的模型，我们一起来看一看，新的世界纪录我们用绿色的点表示，我们发现后续的世界纪录基本分布在非线性模型的两侧。因此从新数据的角度来看也是模型二的拟合效果更好。