湘教版（2024）八年级下册（2024）1.5 矩形学案

这是一份湘教版（2024）八年级下册（2024）1.5 矩形学案，共10页。学案主要包含了复习回顾，新知探究，例题精讲，课堂练习，课堂小结，作业布置等内容，欢迎下载使用。
► 学习目标与重难点
学习目标：
1.掌握矩形的两个判定定理，能准确阐述定理的推导过程。
2.能运用矩形的判定定理证明一个四边形或平行四边形是矩形，解决相关几何证明问题。
3.通过定理的推导与应用，提升逻辑推理和几何问题分析能力。
4.体会矩形判定与性质的互逆关系，培养思维的严谨性。
学习重点：
矩形两个判定定理的推导与应用。
学习难点：
理解“对角线相等的平行四边形是矩形”的推导过程，以及灵活选择判定定理解决综合问题。
► 教学过程
一、复习回顾
回顾：1.怎么判定一个四边形是矩形？
2.矩形的性质是什么？
二、新知探究
探究一：矩形的判定定理1
教材第29页
【思考】在一个四边形中，如果“两个角是直角”，可以判定它是矩形吗？为什么？如果“三个角是直角”呢？你能说明理由吗？
【归纳】矩形的判定定理1：
三个角是直角的四边形是矩形.
探究二：矩形的判定定理2
【探究】把两根长度相等的细木条AC和BD的中点钉在一起，如图所示.连接AB，BC，CD，DA，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？是矩形吗？为什么？
【归纳】矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
三、例题精讲
例2如图，在▱ABCD中，它的两条对角线相交于点O.
（1）如果▱ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样的三角形？
（2）如果△OBC是等腰三角形，且OB=OC，那么▱ABCD是矩形吗？
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.要使▱ABCD成为矩形，下列添加的条件中，正确的是（ ）
A．AB=BCB．AC⊥BDC．AB=CDD．AC=BD
2.木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量两组对边是否相等B．测量一组邻边是否相等
C．测量对角线是否相等D．测量对角线是否互相垂直
3.在▱ABCD中，有下列条件：①AB=BC，②AC=BD，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD．其中能说明四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
选做题
4.木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）
5.荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离AC为0.5米，将踏板水平推动3米（BE=3米），此时踏板与地面的距离BD为1.5米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳OA的长度为 米.
6.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．
【综合拓展类作业】
7.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F．求证：四边形AECF为矩形．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在运用过程中须注意什么?
六、作业布置
1.顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形叫做这个四边形的中点四边形，如果一个四边形的中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线需满足的条件是（ ）
A．互相平分且相等B．互相平分且垂直
C．相等D．互相垂直
2.已知矩形的周长为56，对角线交点到短边的距离比到长边的距离大4，则该矩形的面积为（ ）
A．45B．90C．140D．180
3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为 ．
4.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB=3，OE=2，BF=5，求DF的长．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】D
【解析】解：A、添加AB=BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可以证明▱ABCD为菱形，故A不符合题意；
B、添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证明▱ABCD为菱形，故B不符合题意；
C、添加AB=CD，不可以证明▱ABCD是矩形，故C不符合题意；
D、添加AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证明▱ABCD为矩形，故D符合题意；
故答案为：D．
2.【答案】C
【解析】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等；
故答案为：C．
3.【答案】B
【解析】解：​A、 AB=BC，邻边相等的平行四边形是菱形，错误，该选项不符合题意；
B、 AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，正确，该选项符合题意；
C、 AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误，该选项不符合题意；
D、 AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，错误，该选项不符合题意．
故答案为：B.
4.【答案】不合格
【解析】解：不合格，
理由：∵802+1002=16400≠1302，
即：AD2+DC2≠AC2，
∴∠D≠90°，
∴四边形ABCD不是矩形，
∴这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
5.【答案】5
【解析】解：∵将踏板水平推动3米（BE=3米），AC=0.5米，BD=1.5米
∴BE⊥OA
∵AC⊥CD，BD⊥CD
∴四边形CDBE是矩形
∴CE=BD=1.5米
∴AE=CE-AC=1米
设OA=x米，则OE=(x-1)米，OB=OA=x米
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2
即(x-1)2+32=x2
解得：x=5
∴秋千的拉绳OA的长度为5米
故答案为：5
6.【答案】AC⊥BD
【解析】解：如下图，
∵E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，
∴EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，FG∥AC，
∴EF∥GH，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
若四边形EFGH是矩形，
则有∠EHG=90°，
∵GH∥BD，
∴∠1=∠EHG=90°，
∵EH∥AC，
∴∠2=∠1=90°，即AC⊥BD，
∴还要添加AC⊥BD的条件，才能保证四边形EFGH是矩形，
故答案为：AC⊥BD．
7.【答案】证明：在▱ABCD中，AD//BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEC=∠AFC=90°．
∴∠EAF=180°−∠AEC=90°．
∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，
∴四边形AECF为矩形．
作业布置：
1.【答案】D
【解析】解：根据题意画出图形如下：
AC与BD的位置关系是互相垂直，
证明：点E、F、H、G分别是AD、AB、BC、CD的中点，
连接EF，FG，HG，EH，EH与BD交于点M，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EEH=90°，
∵E、F、分别是AD、AB的中点，
∴EF//BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
∴∠E、H、分别是AD、CD的中点，
∴EH//AC，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴∠OMH=∠COB=90°，
即AC⊥BD.
故答案为：D.
2.【答案】D
【解析】解：如图，过O作EF⊥AD，交AD于E，交BC于F，作GH⊥CD，交CD于H，交AB于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,AN=CD,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠DAB=90°,AD∥BC,CD∥AB，
∴EF⊥BC,GH⊥AB，
∴∠AEF=∠AGO=90°，
∴四边形AGOE是矩形，
∴AG=OE,AE=OG，
同理四边形EOHD、四边形FOHC，四边形GOFB都是矩形，
∴DH=OE=AG,CH=OF=BG,DE=OH=CF,AE=OG=BF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，
∵∠AGO=∠ABC=90°，
∴OG∥BC，
∴AG=BG，
∴AG=OE=DH=CH=OF=BG，
同理AE=OG=BF=CF=OH=DE，
设OE=OF=x，则OG=OH=x+4，
∵矩形周长是56，
∴x+x+x+4+x+4=28，
解得：x=5，
x+5=9.
∴矩形的各边长是10,18,10,18．
则该矩形的面积=10×18=180，
故答案为：D．
3.【答案】185
【解析】解：连接BF，过E作EH⊥FC于H，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=CE=12BC=3，
由折叠得AF=AB=4，FE=EB=EC=3，
∴∠AEB=∠FEA,∠FEH=∠CEH，
∴∠AEH=90°，
∵在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∴AE=AB2+BE2=5，
∵S△ABE=12×AB×BE=12×AE×BG
∴BG=AB⋅BEAE=125，
∵点B与点F关于AE对称，
BF⊥AE，FG=BG=125
∴∠FGE=∠FHE=∠AEH=90°，
∴四边形FGEH是矩形，
∴EH=GF=125，
∴FH=EF2−EH2=95，
∴CF=2FH=185，
故答案为185．
4．【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴AD=BC=EF，
∵AD//EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴平行四边形AEFD为矩形；
（2）解：∵四边形AEFD为矩形，OE=2，
∴DF=AE，AF=DE=2OE=4，
∵AB=3，AF=4，BF=5，
∴AB2+AF2=32+42=25=52=BF2，
∴△BAF为直角三角形，∠BAF=90°，
∴S△ABF=12AB×AF=12BF×AE，
∴AB×AF=BF×AE，
∴3×4=5AE，解得AE=125，
∴DF=AE=125．