2025-2026学年下学期重庆八中高三数学3月月考六试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期重庆八中高三数学3月月考六试卷含答案，共14页。
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的)

图 1
1. 已知全集为 U ,集合 A 和集合 B 如图 1 所示,则图中阴影部分可表 示为
A. ∁UA∩B
B. ∁UA∩B
C. A∩B
D. ∁vA⋅∪∁vB
2. 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S4=4,S8=12 ,则 a13+a14+a15+a16=
A. 24 B. 32 C. 36 D. 108
3. 已知平面向量 a,b 为单位向量，且 a⊥b ，若 c=a+2b ，则 tan⟨b,c⟩=
A. 12 B. 55 C. 255 D. 2
4. 瑞士著名数学家欧拉在 1765 年证明了定理: 三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上, 这条直线被称为三角形的 “欧拉线”. 在平面直角坐标系中作 △ABC ,使 AB=AC ,点 B3,−1 , 点 C−1,3 ,而且其 “欧拉线” 与圆 E:x−a+42+y−a2=r2 相切,则圆 E 的半径 r 为
A. 42 B. 32 C. 22 D. 2
5. 具有相关关系的变量 x 与 y 的一组样本数据如下,若已求得线性回归方程为 y=2.2x+4.4 ,则去掉其中某对样本数据 x,y ,样本相关系数 r 不会发生改变的是
(参考公式: 相关系数 r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2⋅i=1nyi−y2 )
A. 1,6 B. 2,10 C. 3,11 D. 4,12
6. 随着社会经济的高速发展和科技的不断进步，人类享受到了前所未有的生活便利. 但与此同时，人类的生产生活活动也导致垃圾数量快速上升, 尤其是难以降解的塑料垃圾, 对地球环境造成了不可忽视的影响. 已知某种塑料垃圾自然分解率 v 随时间 t (年) 的关系式近似满足 v=1−m⋅n′(m,n 为常数， t∈[0,+∞) )，已知两年后，这种塑料垃圾分解率为 10%. 据此估计约() )年后， 这种塑料垃圾分解率能达到 95%? (参考数据: lg2≈0.30,lg3≈0.48 )
A. 60 B. 65
C. 70 D. 75
如图 2 所示, 对两行三列共 6 个相邻的格子进行染色, 每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种, 要求有公共边的两个格子不能都染红色, 则满足要求的染色方法共有

图 2
A. 20 种
B. 19 种
C. 18 种
D- 17 种
8. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 a+b=3 且 A=C−B2 ,则边 c 的最小值为
A. 65 B. 625
C. 95 D. 125
二、多项选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知随机事件 A,B,C 满足 PA=13,PB=12,PC=13,PA∪B=23 ,则
A. 事件 A,B 相互独立
B. PA∣B=PB∣A
6. 若 PAC=PAC ，则 PA∣C=12
D. 若 PC∣A+PC∣A=23 ，则 PAC=19
10. 如图 3，在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 P 在 △AB1D1 内(含边界)且 A1P=2 ，则以下结论正确的是

图 3
A. 异面直线 AB1 与 BC1 所成的角是 π2
B. A1P 与平面 AB1D1 所成的线面角的正切值为 2
C. 点 P 的运动轨迹长度为 263π
D. 点 P 到平面 ABCD 距离的取值范围是 23,2
11. 已知从双曲线的一个焦点发出的光线, 经过双曲线反射后, 反射光线的反向延长线会经过另一个焦点,记双曲线 C:x29−y216=1x≥3 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,右顶点为 A ,点 P 是双曲线右支上异于 A 的动点,以 P 为切点作 C 的切线 l ,过 F1 作 l 的垂线,垂足为 H ,一条从点 F1 发出的光线 F1P 经双曲线的右支反射后,反射光线的反向延长线与直线 F1H 交于点 Q,O 为坐标原点, 则下列说法正确的是
A 切线 l 平分 ∠F1PF2
B. OH=2
C. Q 点横坐标的取值范围为 75,11
D. 若 M,N 两质点以相同的速度沿不同的方向从 F1 同时出发，经双曲线右支反射后， M,N 始终同在以 F2 为圆心的圆上
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 某中学有 2000 名学生参加考试,考试后数学成绩 X 近似服从正态分布 N100,σ2 ,若 P80≤X ≤100)=0.35 ，则估计学生数学成绩在 120 分以上的人数为_____.
13. 若 lg4a2+b2−1=lg2ab ，则 a+b 的最大值是_____.
14. 若关于 x 的方程 xeax+e−ax=x2+1 至少有 2 个不同的根，则实数 a 的取值范围为_____.
四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
已知函数 fx=2sinωx−π6ω>0 的最小正周期为 π .
(1)若 α∈π12,π3 ， fα=65 ，求 csα−π12 的值；
(2)将函数 fx 的图象向右平移 π12 个单位，再向上平移 1 个单位，得到的图象对应函数记为 gx ,求函数 y=gx 在 −π6,π3 上的值域.
16. (本小题满分 15 分)
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率 e=32 ，且过点 2,12 ，圆 M 的圆心为 M1,0 ，半径为 22,0 为坐标原点.
(1)求椭圆 C 和圆 M 的标准方程；
(2)设斜率为 kk>0 的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点， N 为线段 PQ 的中点，点 N 在圆 M 上， 且满足 ON⊥MN ,求直线 l 的斜率.
17. (本小题满分 15 分)
已知 fx=−2x3+ax2 ,其中 a>0 .
(1)若 a=2 ，求函数 y=fx 在点 1,0 处的切线方程；
(2)若对任意的 x1∈3,+∞ ，总存在 x2∈2,+∞ ，使得 fx1⋅fx2=2 ，求 a 的取值范围.
18. (本小题满分 17 分)
球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科. 如图 4,球 O 的半径为 3,A,B,C 为球面上三点,劣弧 BC 的弧长记为 a . 设 Oa 表示以 O 为圆心,且过 B,C 的圆,同理,圆 Ob,Oc 的劣弧 AC,AB 的弧长分别记为 b,c ，曲面 ABC (阴影部分)叫做球面三角形.
(1)若平面 OAB 、平面 OAC 、平面 OBC 两两垂直，求球面三角形 ABC 的面积(直接写出答案， 无需证明);
(2)若平面三角形 ABC 为直角三角形, AC⊥BC ,设 ∠AOC=θ1,∠BOC=θ2,∠AOB=θ3 . 则:
(i) 求证: csθ1+csθ2−csθ3=1 ;
(ii) 延长 AO 与球 O 交于点 D ,若直线 DA,DC 与平面 ABC 所成的角分别为 π4,π3,BE=λBD , λ∈(0,1],S 为 AC 的中点， T 为 BC 的中点，设平面 OBC 与平面 EST 的夹角为 θ ，若 sinθ≤ 155 ，求平面 AEC 截球 O 的面积的最大值.

图 4
19. (本小题满分 17 分)
设有穷数列 an:a1,a2,a3,⋯,ann≥2,n∈N∗ 满足 i=1nai=0 且 i=1nai=tt>0 ,则称其为 “ n 阶一- t 数列”.
(1)若 “ 8 阶 -4 数列”: a1,a2,a3,⋯,a8 是递增的等差数列,求 a1 ;
(2)设 “ n 阶一- t 数列” 满足 a1≥a2≥a3≥⋯≥an .
(i) 记该 “ n 阶一- t 数列” 的前 r 项和为 Sr1≤r≤n . 证明: 数列 Sn:S1,S2,S3,⋯,Sn 不是 “ n 阶一- t 数列”;
(ii) 证明: na1−an≥2t .
数学参考答案
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)
1. 在阴影部分区域中任取一个元素 x ,则 x∈∁UA 且 x∈B ,或 x∈∁UA∩B 且 x∈B ,所以图中阴影部分可表示为 ∁UA∩B 或 ∁UA∩B∩B ,故选 A.
2. ∵ 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,S4=4,S8=12 ,由等比数列的性质得: S4,S8−S4 , S12−S8,S16−S12 成等比数列. 又 S4=4,S8−S4=8,∴S8−S4S4=S12−S8S8−S4=S16−S12S12−S8=2 , S16−S12=a13+a14+a15+a16=32 ,故选 B.
3. 由向量 a,b 为单位向量,又 a⊥b ,知 a⋅b=0,a=b=1 . 因为 c=a+2b ,则 c=a+2b =a+2b2=a2+4b2+4a⋅b=5 ，所以 cs⟨b,c⟩=b⋅cbc=b⋅a+2bbc=2b2+a⋅bbc =25=255 . 又 ⟨b,c⟩∈0,π ,得 sin⟨b,c⟩=55 ,则 tan⟨b,c⟩=12 ,故选 A.
4. 在 △ABC 中， AB=AC ，所以 BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其 “欧拉线” 为 △ABC 边 BC 的中垂线 AD ,因为 B3,−1,C−1,3 ,所以 D1,1.∵kBC=−1,∴kAD=1 ,故 lAD:x−y=0 ,又 “欧拉线” 与圆 E:x−a+42+ y−a2=r2 相切,所以圆心 a−4,a 到 “欧拉线” 的距离为 a−4−a2=r=22 ,故选 C .
5. 注意样本点 (3,11) 恰好在回归直线上,去掉这个样本点, x 与 y 的样本相关系数 r 不变, 故选 C.
6. 当 t=0 时, v=0 ,即 0=1−m ,所以 m=1,v=1−nt . 又 110=1−n2 ,所以 n=91012 ,所以 v=1−910t2 . 令 1−910t2=95% ,解得 t=21+lg21−2lg3≈2×1.31−2×0.48=65 ,故选 B.
7. 记 6 个格子中染蓝色的格子数为 X . 当 X=6 时,共有 1 种染色方法; 当 X=5 时,共有 C65=6 种; 当 X=4 时,共有 C64−2C32−1−3C22=8 种,当 X=3 时,共有 2 种,共 17 种,故选 D.
8. 因为 C=B+2A,A+B+C=π ,所以 B=π−3A2,C=π+A2 ,且 00 ,则 feax =fx . 且 fx 在 0,1 上单调递减,在 1,+∞ 上单调递增,且 fx=f1x . 所以 eax=x 或 eax=1x ,所以 a=lnxx 或 a=−lnxx ,在同一个坐标系中画出 y=lnxx 和 y=−lnxx 的图象,可知 a∈−1e,0∪0,1e 时符合题意.
四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13 分)
解: (1) ∵ 函数 fx 的最小正周期为 π ,
∴ω=2,fx=2sin2x−π6 . (2 分)
由 fα=65 ，即 2sin2α−π6=65 ，则 sin2α−π6=35 .
∵α∈π12,π3,∴2α−π6∈0,π2,∴cs2α−π6=45 , (4 分)
∴2cs2α−π12−1=45 ,由 α−π12∈0,π4,∴csα−π12=31010 .
(6 分)
(2)由(1)知， fx=2sin2x−π6 ，
其图象向右平移 π12 个单位后得到的图象对应函数为 y=2sin2x−π3 ,再向上平移 1 个单位得到的图象对应函数为 y=2sin2x−π3+1 ,
即 gx=2sin2x−π3+1 . (9 分)
当 x∈−π6,π3 时, 2x−π3∈−2π3,π3 ,
令 t=2x−π3,t∈−2π3,π3 ,则 y=sint 在区间 −2π3,−π2 上单调递减,在区间 −π2,π3 上单调递增,
∴sin−π2≤sint≤sinπ3 ,即 −1≤sin2x−π3≤32,∴−1≤2sin2x−π3+1≤1+3 .
故函数 y=gx 在 −π6,π3 上的值域为 −1,1+3 . (13 分)
16.(本小题满分 15 分)
解: (1) 由 e2=1−b2a2=34 ,得 b2=14a2 .
又点 2,12 在椭圆 C ，所以 4a2+14b2=1 ，
解得 a2=5,b2=54 , (3 分)
故椭圆 C 的标准方程为 x25+y254=1 . (4 分)
圆 M 的标准方程为 x−12+y2=12 . (5 分)
(2)设 Px1,y1,Qx2,y2 ，中点 Nx0,y0 ，
则有 x125+4y125=1,x225+4y225=1 ,两式作差得: x1−x2x1+x25+4y1−y2y1+y25=0 .
又 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,k=y1−y2x1−x2 代入化简得 x0+4ky0=0 .
(9 分)
Nx0,y0 在圆 M 上,所以 x0−12+y02=12 ①, (10 分)
又 ON⊥MN,ON=x0,y0,MN=x0−1,y0 ,
所以 x0x0−1+y02=0 ②, (11 分)
由①、②解得 x0=12,y0=±12 , (12 分)
将中点 N12,±12 代入椭圆方程 120+150 ,所以 k=14 . (15 分)
17. (本小题满分 15 分)
解: (1) 因为 a=2,fx=−2x3+2x2,f′x=−6x2+4x ,
则 f1=0,f′1=−2 .
故点 1,0 处的切线方程为 y=−2x−1 ,
即 2x+y−2=0 . (4 分)
(2) f′x=−6x2+2axa>0 ,
所以 fx 的单调增区间是 0,a3 ,单调减区间是 −∞,0 和 a3,+∞ .
(6 分)
由 f0=fa2=0 知,当 x∈0,a2 时, fx>0 ,当 x∈a2,+∞ 时, fx0 ,即 i=1nSi>0 ,矛盾.
∴ 数列 Sn 不是 “ n 阶一 t 数列”. (11 分)
(ii) 证明: 因为 a1≥a2≥a3≥⋯≥an ,由 (i) 可知, α=a1+a2+⋯+am≤ma1 ,即 α≤ma1, ∴a1≥αm . (13 分)
β=am+1+am+2+⋯+an≥n−man,an≤βn−m ,又 α=t2,β=−t2 , (15 分)
所以 a1−an≥αm−βn−m=t2m+t2n−m=nt2mn−m≥nt2m+n−m22=2tn ,
即 na1−an≥2t .
当且仅当 n 为偶数, m=n2,a1=a2=⋯=am=t2m,am+1=am+2=⋯=an=−t2m 时取等号.
(17 分)x
1
2
3
4
5
y
6
10
11
12
16
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
A
C
C
B
D
D
题号
9
10
11
答案
ACD
BCD
ACD
题号
12
13
14
答案
300
2
−1e,0)∪(0,1e
x
−∞,0
0
0,a3
a3
a3,+∞
f′x
-
0
+
0
-
fx
递减
0
递增
fa3
递减