2025-2026学年下学期湖南雅礼中学高三数学3月模拟考试试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期湖南雅礼中学高三数学3月模拟考试试卷含答案，共13页。试卷主要包含了 已知点 P 在直线 l， 下列结论正确的是，35 ，则 PX>9=0等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 1+2i2−i3=
A. 1 B. -1 C. i D. −i
2. 已知集合 A=x−3≤x2e2 时，证明: a2ex>xfx+2x2−2ax .
18. (17 分)
已知抛物线 E:y2=2pxp>0 ，过 E 上一动点 A 作斜率为 2 的直线 l,l 与 E 交于另一点 B ， 当点 A 与原点 O 重合时, AB=5 .
(1)求p.
(2)当 l 不经过点 N4,1 时，直线 AN 与 E 交于另一点 C ,直线 BN 与 E 交于另一点 D .
( i )证明: AB//CD ;
(ii)试判断直线 AD 与 BC 是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由.
19. (17 分)
每届高考结束后,某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享. 2025 届高三年级班号依次为 0,1,2,...,27,高三 0 班的优秀学生代表为 2 名男生和 2 名女生, 其余各班的优秀学生代表均为 1 名男生和 1 名女生. 第一场分享会的 4 名学生嘉宾由从高三 0 班的优秀学生代表中选出的 2 名和高三 1 班的 2 名优秀学生代表共同组成, 第二场分享会的 4 名学生嘉宾由从上一场的 4 名嘉宾中选出的 2 名和高三 2 班的 2 名优秀学生代表共同组成, ..., 按照这样的方式, 依次进行到第二十七场分享会.
(1)求第一场分享会的学生嘉宾中恰有 2 名男生的概率;
(2)求第二场分享会的学生嘉宾中恰有 2 名男生的概率;
(3)记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
高三数学・答案
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 答案 C
因为 1+2i2−i=1+2i2+i2−i2+i=5i5=i ,所以 1+2i2−i5=i5=i .
2. 答案 A
由 lg2x+12 , 故当 n≥2 时, an=anan−1⋅an−1an−2⋅⋯⋅a2a1⋅a1=an−1+1⋅an−2+1⋅⋯⋅a1+1>2n−1 ,所以 a2026> 22025 ,故 C 错误;
对于 D ,由 an+1=an2+an=anan+1 ,得 1an+1=1anan+1=1an−1an+1 ,即 1an+1=1an−1an+1 ,所以 1a1+1+ 1a2+1+⋯+1an+1=1a1−1a2+1a2−1a3+⋯+1an−1an+1=1a1−1an+1=1−1an+13 ,符合题意,故 k=2 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1)因为 D 为 AC 的中点,所以 S△ABC=2S△BDC , (1 分)
则 12BA⋅BCsin∠ABC=BD⋅BCsin∠DBC ,即 BAsin∠ABC=2BDsin∠DBC , (3 分)
因为 ∠ABC+∠DBC=π ,所以 sin∠DBC=sinπ−∠ABC=sin∠ABC , (4 分)
所以 BA=2BD ,即 BABD=2 . (5 分)
(2)不妨令 AC=3BC=6 ，则 BC=2,CD=3 ，设 BD=x ，则 AB=2x .
在 △BCD 中,由余弦定理得 x2=BC2+CD2−2BC⋅CDcs∠BCD ,
即 x2=13−12cs∠BCD . ① (8 分)
在 △ABC 中,由余弦定理得 4x2=BC2+AC2−2BC⋅ACcs∠BCA ,即 4x2=40−24cs∠BCD . ② (11 分) ①② 联立，解得 x=BD=7 ， cs∠BCD=12 ，所以 ∠BCD=π3 . (13 分)
16(1) 如图,取 CD 的中点 O ,因为 PC=PD=3 ,所以 PO⊥CD , (1 分)
因为平面 PCD⊥ 平面 ABCD ,平面 PCD∩ 平面 ABCD=CD,PO⊂ 平面 PCD ,
所以 PO⊥ 平面 ABCD , (3 分)
又 BC⊂ 平面 ABCD ,所以 PO⊥BC , (4 分)
又 BC⊥PD,PO⊂ 平面 PCD,PD⊂ 平面 PCD,PD∩PO=P ,
所以 BC⊥ 平面 PCD . (6 分)

(2)因为 PC=PD=3,O 为 CD 的中点， CD=2 ，所以 OC=1,PO=PC2−OC2=22 .
过点 O 作 OE//BC 交 AB 于点 E ，由 BC⊥ 平面 PCD ， CD⊂ 平面 PCD ，可得 BC⊥CD ，则 OE⊥CD .
以 O 为坐标原点, OE,OC,OP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A2,−3,0,B2,1,0,C0,1,0,P0,0,22,Q0,12,2 ,
所以 AB=0,4,0,AQ=−2,72,2,BP=−2,−1,22,BC=−2,0,0 . (9 分)
设平面 ABQ 的法向量为 n=x,y,z ,
则 n⋅AQ=−2x+72y+2z=0,n⋅AB=4y=0, 令 x=1 ,得 n=1,0,2 . (11 分)
设平面 PBC 的法向量为 m=a,b,c ,
则 m⋅BP=−2a−b+22c=0,m⋅BC=−2a=0, 令 c=1 ,得 m=0,22,1 . (13 分)
设平面 ABQ 与平面 PBC 的夹角为 θ ,则 csθ=m⋅nmn=23×3=69 ,
故平面 ABQ 与平面 PBC 夹角的余弦值为 69 . (15 分)
17. (1) 由题得 f′x=ax−2,x∈0,+∞ , (1 分)
当 a≤0 时, f′x0 时,令 f′x=0 ,得 x=a2 ,当 x∈0,a2 时, f′x>0 ,当 x∈a2,+∞ 时, f′x0 ,解得 a>2e ,
故实数 a 的取值范围是 2e,+∞ . (6 分)
(2)当 a>2e2 时， a2ex>xfx+2x2−2ax⇔aexx>lnx⇔aexx2>lnxx . (9 分)
令 gx=exx2x>0 ,则 g′x=exx2−2xexx4=exx−2x3 ,
令 g′x=0 ,得 x=2 ,当 02e2 时, aexx2>2e2×e24=12 . (12 分)
令 hx=lnxx ,则 h′x=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2 ,
令 h′x=0 ,得 x=e ,当 0e 时, h′x1e ,所以当 a>2e2 时, aexx2>lnxx .
故当 a>2e2 时, a2ex>xfx+2x2−2ax . (15 分)
18. (1) 当点 A 与原点 O 重合时,直线 l 过原点且斜率为 2,其方程为 y=2x ,
联立得 y=2x,y2=2px, 得 4x2=2px ,解得 x=0 或 x=p2 ,所以 Bp2,p . (2 分)
所以 AB=p24+p2=5p2=5 ,
解得 p=2 . (4 分)
(2)由(1)知 E:y2=4x ，设 Ay124,y1 ， By224,y2 ， y1≠y2 ，直线 l:y=2x+b .
联立 y2=4x 与 y=2x+b ,得 y2−2y+2b=0 ,
所以 y1+y2=2 且 y1≠1,y2≠1 . (6 分)
(i) 设 Cy324,y3,Dy424,y4 .
直线 AN 过点 Ay124,y1 和 N4,1 ,设直线 AN 的方程为 x=ty+4−t ,
联立 y2=4x ,得 y2−4ty−16+4t=0 ,则 y1+y3=4t,y1y3=4t−16 ,
整理可得 y1−1y3−1=−15 . ① (8 分)
同理,对于直线 BN ,可得 y2−1y4−1=−15 . ② (9 分)
因为 y1+y2=2 ,所以 y2−1=1−y1=−y1−1 ,③
由①②作商，结合③，得 y3−1=−y4−1 ，即 y3+y4=2 . (11 分)
所以 kCD=y4−y3y424−y324=4y4−y3y42−y32=4y4+y3=42=2 ,
所以 AB//CD . (12 分)
(ii) 设 AB 的中点为 P,CD 的中点为 Q ,因为 y1+y2=2,y3+y4=2 ,所以直线 PQ:y=1 ,
又因为 AB//CD ,所以 AD 与 BC 的交点即直线 AD 与 PQ 的交点. (13 分)
由②③，得 y1−1y4−1=15 ，所以 y4=1+15y1−1=y1+14y1−1 .
直线 AD 的斜率 kAD=4y1+y4=4y1+y1+14y1−1=4y1−1y12−y1+y1+14=4y1−1y12+14 ,
直线 AD 的方程为 y−y1=4y1−1y12+14x−y124 . (15 分)
在该方程中,令 y=1 ,可得 x=−72 ,所以直线 AD 与 PQ 交于定点 −72,1 ,
故直线 AD 与 BC 交于定点 −72,1 . (17 分)
19. (1)设第 ii∈N∗,i≤27 场分享会的学生嘉宾中有 1 名男生为事件 Ai ,有 2 名男生为事件 Bi ,有 3 名男生为事件 Ci ,则 PB1=C21⋅C21C42=23 . (3 分)
(2) PB2=PA1⋅PB2∣A1+PB1⋅PB2∣B1+PC1⋅PB2∣C1 =C22C42×C31C11C42+C21C21C42×C21C21C42+C22C42×C11C31C42=3+16+336=1118 . (7 分)
(3) 当 i≥2 时,
PAi=PAi−1⋅PAi∣Ai−1+PBi−1⋅PAi∣Bi−1+PCi−1⋅PAi∣Ci−1
=PAi−1⋅C32C42+PBi−1⋅C22C42+PCi−1⋅0
=12PAi−1+16PBi−1, (8 分)
PBi=PAi−1⋅PBi∣Ai−1+PBi−1⋅PBi∣Bi−1+PCi−1⋅PBi∣Ci−1
=PAi−1⋅C11C31C42+PBi−1⋅C21C21C42+PCi−1⋅C31C11C42
=12PAi−1+23PBi−1+12PCi−1 , (9 分)
PCi=PAi−1⋅PCi∣Ai−1+PBi−1⋅PCi∣Bi−1+PCi−1⋅PCi∣Ci−1
=PAi−1×0+PBi−1⋅C22C42+PCi−1⋅C32C42
=16PBi−1+12PCi−1, (10 分)
由 PAi−1+PBi−1+PCi−1=1 ,得 PBi=12PAi−1+23PBi−1+12PCi−1
=12PAi−1+23PBi−1+121−PAi−1−PBi−1=12+16PBi−1 ,
即有 PBi−35=16PBi−1−35 ,又 PB1=23 ,所以 PB1−35=23−35=115 , 所以数列 PBi−35 是以 115 为首项, 16 为公比的等比数列,
则 PBi−35=115×16i−1 ,即 PBi=35+115×16i−1 , (13 分)
结合对称性可知,每次分享会的学生嘉宾中有 1 名男生的概率与有 3 名男生的概率相同,
故 PAi=PCi ,又 PAi+PBi+PCi=1 ,
所以 PAi=PCi=1−PBi2=1−35−115×16i−12=15−130×16i−1 . (14 分)
第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数 X 的所有可能取值为1,2,3，其分布列为
(16 分)
则 EX=1×15−130×1626+2×35+115×1626+3×15−130×1626=2 . (17 分)X
1
2
3
P
15−130×1626
35+115×1626
15−130×1626