重庆市第八中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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注意事项:
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号，座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设复数（、，为虚数单位），则“是纯虚数”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
3. 已知直线，点为圆上一动点，则点到直线最小距离为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 已知为数列的前项和，且，，则的值为（ ）
A B. C. D.
5. 如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段上一动点，则的范围是（ ）
A.
B
C.
D.
6. 锐角中角满足，则（ ）
A. B. C. D.
7. 小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点，则下列选项中不正确的是（ ）
A. 直线与直线始终异面B. 直线与直线可能垂直
C 直线与直线可能垂直D. 直线与直线可能垂直
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. ，
C. 函数在定义域内是减函数
D. 函数的值域为
10. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线
B. 若，则的周长为
C. 若，则的面积为
D. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率
11. 已知数列满足，，前项和为，则下列选项中正确的是(参考数据:) （ ）
A. B.
C. 是单调递增数列D. 是单调递增数列
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 若，则_____.
13. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______
14. 设，为平面上两点，定义，已知点为抛物线上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为_____
四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. 如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
16. 设的内角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求；
（2）若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值.
17. 已知、是离心率的椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且的最小值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为第一象限内椭圆上一点，点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.
(i)求证:直线和的斜率之积为定值;
(ii)当最大时，求直线方程.
18. 信息熵是信息论中的一个重要概念，它刻画了随机试验结果的不确定性的大小.一般的，当信息熵越大时，不确定性越大.设随机试验的所有可能结果为、、、，且，，定义随机试验信息熵.
（1）记随机试验为抛一枚质地均匀的硬币，随机试验为抛一枚质地不均匀的硬币，请通过计算比较与的大小，并说明实际意义；
（2）一枚质地不均匀的硬币，正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.随机试验:连续次抛掷这枚硬币正面朝上的次数是否为偶数.证明：当增加时，增加.
19. 已知函数.
（1）当，，时，求证:;
（2）当时，若有三个零点.
(i)求实数的取值范围;
(ii)若，求证:.