2025-2026学年下学期重庆西南大学附中高二数学3试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期重庆西南大学附中高二数学3试卷含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若直线 l 的一个方向向量 a=1,1,−1 ，平面 α 的一个法向量 b=−2,−2,2 ，则( )
A. l⊥α B. l//α C. l⊂α D. 以上都有可能
2. 设函数 fx 的导函数为 f′x ,已知 fx=ln2x−ln2 ,则 f′1= ( )
A. 2 B. 1 C. 12 D. 0
3. 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 a2+a3+a4=6 ,则 S5= ( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
4. 椭圆 x2m2+1+y2m2=1m>0 的焦点为 F1,F2 ,与 y 轴的一个交点为 A ,若 ∠F1AF2=π2 , 则 m= ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
5. 数列 an 中,若 a2026=1,an+1=nan−an+1 ,则 a1= ( )
A. 12026 B. 2026
C. 12025 D. 2025
6. 已知圆 x2+y+22=r2r>0 上到直线 y=3x+2 的距离为 1 的点有且仅有 2 个,则 r 的取值范围是( )
A. 0,1 B. 1,3 C. 3,+∞ D. 0,+∞
7. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ,直线 y=2 与 C 的两条渐近线分别交于点 A,B , 若 AB=2 ,则 C 的离心率为 ( )
A. 5 B. 102 C. 355 D. 52
8. 已知函数 fx=axex−ln−x−x 恰有 3 个不同的极值点，则 a 的取值范围是( )
A. −∞,−e B. (−∞,−e] C. −1e,0 D. −1e,0
二、多选题
9. 已知抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,O 为坐标原点,点 Mx0,y0 在抛物线 C 上,若 MF=5 , 则( )
A. F 的坐标为 1,0 B. y0=4
C. OM=42 D. 以 MF 为直径的圆与 x 轴相切
10. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,则下列说法正确的有( )
A. 若 an 是等比数列, S2=2,S4=8 ,则 S6=16
B. 记等差数列 an,bn 的前 n 项和分别为 Sn,Tn ,若 SnTn=3n2n+5 ,则 a8b8=97
C. 若 an 是等差数列， a1=−2021 ， S1010−S88=2 ，则 S2021=−2021
D. 若 a1=1,an=Sn+Sn−1n≥2 ，则 a50=99
11. 已知数列 an 满足: an+1=lnan+1,a1=e ,下列说法正确的是 ( )
A. 数列 an 单调递减 B. 存在 n∈N∗ ,使得 ana2028a2027
三、填空题
12. 圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2−2x−2y+1=0 的公共弦所在直线被圆 C3: x−22+y−12=254 所截得的弦长为_____.
13. 函数 fx=−12x2+kx−lnx 在区间 12,3 上存在单调递增区间,则实数 k 的取值范围是_____.
14. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=−1nan+12n+n−3 ,若实数 t 满足 an−tan+1−tb>0 ，以椭圆 E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 2 的正方形.过点 0,tt>2 且斜率存在的直线与椭圆 E 交于不同的两点 A,B ,过点 A 和 C0,1 的直线 AC 与椭圆 E 的另一个交点为 D .
(1)求椭圆 E 的方程及离心率；
(2)若直线 BD 的斜率为 0,求 t 的值.
19. 已知函数 fx 的定义域是 −1,+∞,f0=0 ,导函数 f′x=ln1+x1+x ,设 l1 是曲线 y=fx 在点 Aa,faa≠0 处的切线.
(1)求 f′x 的最大值；
(2)当 −10 中, a=m2+1,b=m,c=a2−b2=m2+1−m2=1 , 如图,

易知 AF1=AF2=a ,又 ∠F1AF2=π2 ,所以 △F1AF2 为等腰直角三角形,
即 AF1=22F1F2 ,得 m2+1=2 ,即 m=1 .
故选: A
5. B
由 an+1=nan−an+1⇒an+1=nan−nan+1⇒n+1an+1=nan , 所以数列 nan 是常数列,
因为 a2026=1 ,所以 2026a2026=2026 ,
因此 nan=2026 ,所以 1⋅a1=2026⇒a1=2026 .
故选: B
6. B
由题意,
在圆 x2+y+22=r2r>0 中,圆心 E0,−2 ,半径为 r ,
到直线 y=3x+2 的距离为 1 的点有且仅有 2 个,
∵ 圆心 E0,−2 到直线 y=3x+2 的距离为: d=0×3−−2×1+232+−12=2 ,

故由图可知,
当 r=1 时,
圆 x2+y+22=r2r>0 上有且仅有一个点 A点 到直线 y=3x+2 的距离等于1 ;
当 r=3 时,
圆 x2+y+22=r2r>0 上有且仅有三个点 B,C,D 点) 到直线 y=3x+2 的距离等于 1 ; 当则 r 的取值范围为 1,3 时,
圆 x2+y+22=r2r>0 上有且仅有两个点到直线 y=3x+2 的距离等于 1 .
故选: B.
7. A
双曲线 C:x2a2−y2b2=1 的渐近线方程为 y=±bax .
将 y=2 代入渐近线方程:
对于 y=bax ,解得 x=2ab ,即点 A2ab,2 .
对于 y=−bax ,解得 x=−2ab ,即点 B−2ab,2 .
所以 AB=2ab−−2ab=4ab=2 ,解得 b=2a .
双曲线的离心率 e=ca ,其中 c=a2+b2 .
将 b=2a 代入得:
c=a2+2a2=5a2=5a
因此,离心率 e=ca=5aa=5 .
故选: A
8. A
f′x=aexx+1−1+xx=x+1aex−1x ,令 f′x=0 ,得 x+1=0 或 aex−1x=0 , 即 x=−1 或 a=1xexx