2026年重庆市中考模拟数学自编试卷含答案(三)

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【分析】本题考查负倒数的定义：乘积为的两个数互为负倒数．根据负倒数的定义，即可得答案．
【详解】解：∵，的负倒数是，
∴的负倒数是，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，选项符合题意；
B、是轴对称图形，选项不符合题意；
C、是轴对称图形，选项不符合题意；
D、是轴对称图形，选项不符合题意．
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，把代入函数中求出k的值即可求出函数解析式．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
把代入函数，得，．
所以，反比例函数的解析式为：．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了平行线的性质，首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；因此此题根据“两个三角形相似，那么这两个三角形的面积比等于相似比的平方”进行求解即可．
【详解】解：若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为；
故选C．
6．B
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中“△”的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
图①中“△”的个数为：；
图②中“△”的个数为：；
图③中“△”的个数为：；
…，
所以图n中“△”的个数为：．
令，
解得（舍负）．
故选：B．
7．B
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法可得，则，再结合题意即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵m为整数，且，
∴，
∴，
故选：B．
8．A
【分析】先求出，，，再由即可求出答案．
【详解】解：在中，，，，
∴，，
∴，
∴图中阴影部分的面积是．
故选：A
【点睛】此题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、扇形面积等知识，准确计算是解题的关键．
9．C
【分析】作交的延长线于点，作于点，先证明，得，，则，所以，得，可证明，则，再证明，得，，设，则，，即可根据勾股定理求得，则，，，再求出与的比值即可得到问题的答案．
【详解】解：作交的延长线于点，作于点，如图所示：

则，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
、、三点在同一条直线上，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10．C
【分析】本题主要考查了多项式，新定义，利用分类讨论的思想逐一判断即可，解题关键是熟练掌握根据已知条件求出整式C的情况．
【详解】解：由题意可得，
当时，得，此时符合条件整式C为，有1个；
当时，得，
，且为整数，
当时，，此时整式C为，
当时，，此时整式C为，
当时，，此时整式C为，
当时，不符合题意题中条件，
故时，符合条件整式C有3个；
当时，可得，
当，时，，此时整式C为，
当，时，，此时整式C为，
，时，不符合题意题中条件，
当，时，，此时整式C为，
时，不符合题意题中条件，
故时，符合条件整式C有3个；
当时，得，
当，，时，，此时整式C为，
，时，不符合题意题中条件，
故时，符合条件整式C有1个，
所以符合条件的整式C为个，故①正确；
由题意可得，
，
的值为或或，
当，时，，则，此时整式C有，有1个；
当，时，，则，此时整式C有，，，有3个；
当，时，，则，此时整式C有，，，有3个；
当，时，，则，此时整式C有，有1个；
当，时，，则，此时整式C有，有2个；
当，时，，则，此时整式C有，有1个；
当，时，，则，此时整式C有，有1个；
所以满足条件的整式C共有12个，故②正确；
时，无法被整除，不成立；
当时，被整除，
的最大值为2，
时，被整除，那么，此时整式为成立，
时，被整除，那么，此时整式为成立，
时，与上面两种情况重复，
故时，满足条件的整式C有个，
当时，被整除，
设商为，
，
，即，
当时，，
只能是两个数字，则有2种组合，即符合条件的整式C有2个；
当时，，
只能是两个数字，则有2种组合，即符合条件的整式C有2个；
当时，，
只能是数字，则有1种组合，即符合条件的整式C有1个；
当时，，
只能是两个数字，则有1种组合，即符合条件的整式C有1个；
故时，满足条件的整式C有4个，
当时，被整除，
设商为，
，
，即，
当时，，
只能是三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个；
当时，，
有或三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个；
当时，，
有或三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个；
当时，，
只能是三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个；
故时，满足条件的整式C有个，
所以符合条件的整式C有，故③错误，
则正确的个数有2个，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了多边形的外角和，能熟记多边形的外角和定理是解答此题的关键，注意多边形的外角和．本题根据多边形的外角和都等于列出算式，再求出即可．
【详解】解：任何多边形的外角和均为，因此九边形的外角和为，
由于正九边形各外角相等，每个外角的度数为．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率.先画树状图展示所有6种等可能的结果数,然后根据一次函数的图象交轴于负半轴的结果数为2,再根据概率公式求解.
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能结果，其中使一次函数的图象交轴于负半轴的有，共2种结果，
所以一次函数的图象交轴于负半轴的概率是，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解实际问题，解一元二次方程，理解题意、找等量关系是解题关键．
设平均每次调价的百分率为，则第一次调价后的价格是元，第二次调价后的价格是元，据此列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设平均每次调价的百分率为，则第一次调价后的价格是元，第二次调价后的价格是元，
根据题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
两次调价的平均降价率为．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，绝对值和平方的非负性，负整数指数幂，利用绝对值和平方的非负性，将原方程分解为两个部分分别等于零，结合条件确定和的值，再计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴ 且 ，
∴， ，
∴或，
当时，代入，得，即，无解；
当时，代入，得，即，
∴或，
又∵，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】连接，并延长交于点M，连接，设，
根据勾股定理，得，求得圆的半径为5；设，则，根据勾股定理，矩形的判定和性质，直角三角形的面积性质，解答即可．
本题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质等，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
【详解】解：连接，并延长交于点M，
∵过作 的切线， 为切点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为 外接圆， 为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
连接，
设，
∴，
根据勾股定理，得，
解得，
故圆的半径为5；
∴，
∴，
∴，
∵过 作 的切线， 为切点，过 作 的切线交 于点 ，
，
设，
则，
根据勾股定理，得，
解得，
∴，
连接，
∵为 外接圆， 为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5，
16． 7807 9507
【分析】本题主要考查了列代数式、整除等知识点．根据定义得出最大的“压轴数”与最小的“压轴数”，计算即可；根据定义计算出和，然后根据能被7整除且能被13整除，即可求解．
【详解】解：要想使“压轴数”最大，则千位是最大的一位数，
又∵各个数位上的数字均不为零，个位数字等于十位数字与千位数字之和，
∴千位不能为9，即千位最大是8，最小是1，
∴最大的“压轴数”是8919，最小的“压轴数”是1112，
则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为；
，，
∴，
∵个位数字等于十位数字与千位数字之和，
∴，，
∴，
∴，
∵能被7整除且能被13整除，
∴能被7整除，能被13整除，
∵
∴，
∴，
∴能被7整除，
∵，
当，时，能被7整除，此时；
当，时，能被7整除，此时；
其余取值均不符合，
∴满足条件的值的和为；
故答案为：7807，9507．
17．，
【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解，涉及解一元一次不等式组，先分别解不等式组中各个不等式，再由不等式组解集求法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”得到不等式组解集，即可确定整数解．熟练掌握不等式组解法是解决问题的关键．
【详解】解：，
由①得；
由②得；
，则不等式组的所有整数解为．
18．(1)见解析
(2)，，，，两交点与斜边中点所连线段相等
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，证明是解题的关键．
（1）按照线段垂直平分线的作图方法，作图即可；
（2）根据等腰直角三角的性质得到，证明，，即可证明，则，据此得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：在中，
又，D为中点
又∵，D为中点
又
在和中，
，
．
小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则两交点与斜边中点所连线段相等．
故答案为：，，，，两交点与斜边中点所连线段相等．
19．(1)；；
(2)七年级的成绩更好，理由见解析
(3)估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人．
【分析】本题考查了数据的统计与分析，熟练掌握平均数，众数，中位数，样本估计总体等知识是解题的关键．
（1）八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有2名，故中位数在等级的5人中，根据中位数的计算方法即可得到的值；根据七年级名学生的竞赛成绩，利用众数的定义可得到的值；八年级名学生的竞赛成绩中，等级有3名，由此可得的值；
（2）由于平均数相同，比较方差即可得到答案；
（3）由样本中优秀人数的占比来估计总体中优秀人数的占比进行计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题可得：八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有名，等级中有5人，
∴八年级名学生的竞赛成绩的中位数为：，
∵七年级名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98；；
∴众数，
∵八年级名学生的竞赛成绩中，等级有2名，等级中有5人，
∴等级有3名，
∴等级所占的百分比为：，
∴，
故答案为：；；；
（2）解：七年级的成绩更好，理由如下：
∵两个年级的平均数相同，而七年级的成绩的方差小于八年级的，
∴七年级的成绩更好；
（3）解：由题可得：（人）
答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人．
20．
【分析】本题考查了分式化简求值，含特殊角的三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先计算完全平方公式，多项式乘多项式，通分小括号内，再把除法化为乘法，最后进行加减运算，得，由，得，再代入进行计算，即可作答．
【详解】解：
∵
∴
则．
21．(1)去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元
(2)学校至少要购买个品牌足球
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系．
（1）设去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元，根据题意列方程即可求解；
（2）先求出今年、两种品牌的单价，再设学校今年购买个品牌足球，根据题意列不等式即可求解．
【详解】（1）解：设去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，符合题意，
，
答：去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元；
（2）解：∵A品牌比去年降低了2元，
∴今年品牌足球的单价为（元），
今年品牌足球的单价为（元），
设学校今年购买个品牌足球，
根据题意可得：，
解得：，
答：学校至少要购买个品牌足球．
22．(1)；，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象与一次函数的图象的交点问题，反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据等腰三角形的性质得出，，结合点P的运动速度，分析得，再结合过点P作垂直于M，作垂直于N．所以，即，进行分析，即可作答．
（2）根据，，，进行描点作图，再分析函数图象，即可作答．
（3）运用数形结合思想得求出时，的取值范围即可．
【详解】（1）解：中，，
∴，
∵，
∴，
∵点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，用（单位：秒）表示点的运动时间，
∴，
当点P在上运动时，则，即，
∴，
∴当点P在上运动时，则，即，
∴，
则，
即；
连接，
∵过点P作垂直于M，作垂直于N，
∴，
则，
∵，
即，
∴，
∵，
∴，．
（2）解：由（1）得，，列表如下：
进行补充函数图象如下所示：
∴在内，随着的增大而减小；
在内，随着的增大而减小；
（3）解：结合（2）的函数图象，当时，则的取值范围为．
23．(1)米；
(2)194.6米．
【分析】此题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）过点A作，垂足为M，根据题意求出各角的度数，再求出，在中，，，根据即可求出答案；
（2）过E作，垂足为N，设小才走到点E处，小育走到点F处，设（米），则（米），求出即可得到答案．
【详解】（1）解：过点A作，垂足为M，如图：
由题意知：，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，，，
（米）
（米），
∴（米）
在中，，，
∴，
∴，
（米），
答：A、C两地的距离为米；
（2）解：当小育跑到一半时，设小才走到点E处，小育走到点F处，设（米），则（米），
过E作，垂足为N，如图：
在中，，，
∴，
，
在中，，
，，
解得：，（米）
答：小才与点A的距离为194.6米．
24．(1)
(2)，
(3)11或
【分析】（1）先求出，再利用，，求出，，得，，再利用待定系数法求解即可；
（2）如图：过点F作轴交于点G，交x轴于点L，设抛物线对称轴交x轴于点T，过点B在x轴下方作，过点N作于点M，使，则，先求出直线的解析式为，通过得出，得出，设，则，得出，利用二次函数的性质得出当时，最大，此时，由点到直线的最短距离可得当F、N、M三点共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交x轴于点S，利用锐角三角函数进行求解即可；
（3）先求得新抛物线的解析式为，求出直线解析式为，联立抛物线求出，由勾股定理可得，即；如图，在直线上取一点S，使得，则，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K，设，根据列方程可得；再求得直线的解析式并与的解析式联立即可求解；利用轴对称的性质可得，然后求出直线的解析式并与的解析式联立即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
代入抛物线得：
，解得：，
∴．
（2）解：如图：过点F作轴交于点G，交x轴于点L，设抛物线对称轴交x轴于点T，过点B在x轴下方作，过点N作于点M，使，则，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵轴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
设，
则，，
∴，
∵，
∴当时，最大，
此时，，即，
由点到直线的最短距离可得当F、M、N三点共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交x轴于点S，此时，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由，得，，
∴，，
∴，，
∴，
∴最小值为．
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，
∴新抛物线的解析式为，
设直线解析式为，
代入，，
得：，解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
如图：连接，
∴
∴，
∴
如图，在直线上取一点S，使得，则，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K，
设，则，，
∴，解得：，
∴，
设直线解析式为，
代入，，
得：，解得：，
∴直线解析式为，
与抛物线联立得，
解得：（舍），，即点K的横坐标为11；
如图，利用对称性在直线上取另一点，使得，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K，
设，则，，
∴，解得：（舍），，
∴，
设直线解析式为，
代入，，
得：，解得：，
∴直线解析式为，
与抛物线联立得，解得：（舍），，
故点K的横坐标为．
综上所述，点K的横坐标为11或．
25．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图1，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质求得，再解直角三角形求解即可．
（2）如图2，延长到，使，连接，过点作，交于点，先后证明，，，，利用三角形全等的性质和线段的和差求解即可．
（3）过点，分别作的垂线，分别交于点，交于点，作，交于点，证明，可得，，，再证明，可得，设，可得，得到当的周长最小值时，的值最小，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过点作于点，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，延长到，使，连接，过点作，交于点，
为等边三角形，
，
，
由旋转的性质得，，
，，，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，，
，
，，
同理，，
，
；
（3）解：如图3，过点，分别作的垂线，分别交于点，交于点，作，交于点，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
．
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
设，则，
，
，
，
，
的周长，
的周长最小值时，的值最小，
当时，的值最小，此时，
即点，点重合，如图4，
的面积．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，求二次函数的最值等知识，做出合理的辅助线，学会利用参数构建二次函数解决问题是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
B
C
B
B
A
C
C
x
0
2.5
5
5
0
5
x
1
2
3
5
6
3
2
1.2