2024-2025学年河北省石家庄外国语教育集团八年级（下）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄外国语教育集团八年级（下）期末数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）以下调查中，最适宜采用普查方式的是
A．检测某批次汽车的抗撞击能力
B．了解某市中学生课外阅读的情况
C．调查黄河的水质情况
D．调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品
2．（3分）在平面直角坐标系中，点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）如图，在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为的豆浆和牛奶，同时浸入的热水中加热相同的时间，已知牛奶比豆浆的温度升高得慢，则上述实验的一段时间内，牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象是
A．B．
C．D．
4．（3分）在函数中，自变量的取值范围是
A．B．C．D．
5．（3分）如图所示，石家庄市2025年5月日最高温度的折线统计图，由此图可知这10天中，出现最高气温为天数的频率是
A．0.3B．0.7C．0.2D．0.8
6．（3分）如图，已知点，，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为
A．B．C．D．
7．（3分）下列有关一次函数的说法中，错误的是
A．的值随着增大而减小
B．函数图象经过第一、三、四象限
C．函数图象与轴的交点坐标为
D．当时，
8．（3分）如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是
A．B．C．D．
9．（3分）已知某吊绳能吊起的重物质量不超过8吨，当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度（单位：米）与所吊重物的质量（单位：吨）之间的函数关系式为
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为 ，甲、乙两位同学分别得到如下方程：
甲：；
乙：．
其中正确的是
A．甲对、乙不对B．甲不对、乙对C．甲、乙均对D．甲、乙均不对
11．（3分）如图，校园内有一块等边三角形空地，已知，分别是边，的中点，量得．若想用围栏把四边形围成一个花园，则需要的围栏的长至少是
A．B．C．D．
12．（3分）现有一四边形，借助此四边形作平行四边形，两位同学提供了如图方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为 ．
14．（3分）图1所示是厨房三角落地置物架，图2是置物架搁物板示意图，其中，，则的度数是 ．
15．（3分）如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，交对角线于点，则与的周长比为 ．
16．（3分）日常生活中，“老人”是一个模糊概念．有人想用“老人系数”来表示一个人的老年化程度．他设想“老人系数”的计算方法如下表：
按照这样的规定，一个70岁的人的“老人系数”为 ．
三、解答题（共72分）
17．（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
18．（7分）华北平原是我国玉米的主产区，石家庄市建有标准的玉米试验田，为预估玉米的长势情况，研究人员对处于生长期的玉米株高进行监测．为降低监测成本，研究人员随机选取了部分玉米，收集了这些玉米株高（单位：的数据，整理并绘制出如下不完整的统计图表：
（1）求共选取了多少株玉米，并把频数分布直方图补充完整；
（2）求扇形统计图中2组的圆心角的度数；
（3）在本次监测时，若玉米株高不低于则为长势良好，该样本中长势良好的玉米占比是多少？
19．（6分）如图，反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，其中表示时间，表示小明离家的距离，小明家、食堂，图书馆在同一直线上．
（1）小明从家到食堂用的时间是 分钟；
（2）小明在食堂吃早餐用的时间是 分钟；
（3）食堂到图书馆的距离是 千米；
（4）小明读报用的时间是 分钟；
（5）图书馆离到小明家的距离是 千米，小明从图书馆回家的平均速度是 千米分钟．
20．（8分）如图，在矩形中，点为边上的一点，于点．
（1）证明：△△；
（2）若，，，求的长．
21．（8分）石家庄火车站始建于清光绪二十三年年），经过多年的改建扩建，现以成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯（图，其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，．
（1）求证：四边形内部框架为菱形．
（2）若，为的中点，，求四边形的周长．
22．（8分）如图，已知一次函数的图象经过点，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点在该函数图象上，连接，求△的面积；
（3）若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当点落在第三象限时，请直接写出的取值范围 ．
23．（11分）石家庄外国语学校快乐园餐厅有两样热卖单品——米线和面条．随着天气越来越炎热，米线与面条销量下降．为应对炎热天气销售总额下降的问题，6月份快乐园餐厅采取了以下措施：
（1）请求出每天米线售出的数量（碗与每碗定价（元之间的关系；每天凉面售出的数量（碗与每碗定价（元之间的关系；
（2）求每碗米线定价为正整数）为多少元时，才能使得米线日销售额达到630；
（3）经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为16元时，比较合理．
①请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为多少碗；
②直接写出当凉面定价 元碗时，能使当天米线和凉面销售总额达到1680元．
24．（12分）综合与实践
【问题情境】
如图，在矩形纸片中，，，点在边上，将△沿所在的直线折叠，得到△．
【特例感知】
（1）如图1，当点在上时，请判断四边形的形状，并证明．
（2）如图2，当点在对角线上时，
①的长为 ，的长为 ．
②求此时的长．
（3）如图3，当点在对角线上时，与相交于点，求的长．
【深入探究】
（4）连接，当△的面积为4时，请直接写出的长．
2024-2025学年河北省石家庄外国语教育集团八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）以下调查中，最适宜采用普查方式的是
A．检测某批次汽车的抗撞击能力
B．了解某市中学生课外阅读的情况
C．调查黄河的水质情况
D．调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品
【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度；据此进行判断即可．
【解答】解：检测某批次汽车的抗撞击能力适宜采用抽查方式，则不符合题意，
了解某市中学生课外阅读的情况适宜采用抽查方式，则不符合题意，
调查黄河的水质情况适宜采用抽查方式，则不符合题意，
调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品适宜采用普查方式，则符合题意，
故选：．
【点评】本题考查全面调查与抽样调查，熟练掌握其定义及优缺点是解题的关键．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：由各象限坐标特征可知点位于第二象限．
故选：．
【点评】本题考查各象限内点坐标的符号特征．记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
3．（3分）如图，在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为的豆浆和牛奶，同时浸入的热水中加热相同的时间，已知牛奶比豆浆的温度升高得慢，则上述实验的一段时间内，牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象是
A．B．
C．D．
【分析】根据初始温度及牛奶比豆浆的温度升高得慢，即可得出正确答案．
【解答】解：在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为的豆浆和牛奶，
、选项排除，
牛奶比豆浆的温度升高得慢，
选项错误，选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的图象，用排除法是解决本题的关键．
4．（3分）在函数中，自变量的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5．（3分）如图所示，石家庄市2025年5月日最高温度的折线统计图，由此图可知这10天中，出现最高气温为天数的频率是
A．0.3B．0.7C．0.2D．0.8
【分析】由频数分布折线图知，共有10个数据，其中出现3次，再根据频率的概念求解即可．
【解答】解：与题意得：，
故选：．
【点评】本题主要考查频数（率分布折线图，解题的关键是掌握频率的概念，根据折线图得出解题所需的数据．
6．（3分）如图，已知点，，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】由点的坐标得出平移的方式，再根据平移的方式得出点平移后的点的坐标即可．
【解答】解：点，，平移线段，点落在点处，
先向下移动1个单位，再向左移动3个单位，
，
，即，
故选：．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减是解题的关键．
7．（3分）下列有关一次函数的说法中，错误的是
A．的值随着增大而减小
B．函数图象经过第一、三、四象限
C．函数图象与轴的交点坐标为
D．当时，
【分析】根据一次函数图象与性质逐项分析判断即可．
【解答】解：根据一次函数图象和性质逐项分析判断如下：
对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
，随增大而减小，正确；
一次函数时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；
当，时，函数图象经过第一、二、四象限，而非第一、三、四象限，错误；
当时，，图象与轴交点为，正确；
随增大而减小，且时，
故时，正确；
故选：．
【点评】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握该知识点是关键．
8．（3分）如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是
A．B．C．D．
【分析】由，利用平行线分线段成比例，即可求出的长．
【解答】解：，
，即，
．
故选：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
9．（3分）已知某吊绳能吊起的重物质量不超过8吨，当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度（单位：米）与所吊重物的质量（单位：吨）之间的函数关系式为
A．B．
C．D．
【分析】根据题意即可得到函数关系式．
【解答】解：在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度（单位：米）与所吊重物的质量（单位：吨）之间的函数关系式为：，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，熟知相关等量关系是解题的关键．
10．（3分）如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为 ，甲、乙两位同学分别得到如下方程：
甲：；
乙：．
其中正确的是
A．甲对、乙不对B．甲不对、乙对C．甲、乙均对D．甲、乙均不对
【分析】把各部分的面积用含的代数式表示出来，并列出等式，即可得到需要的一元二次方程．
【解答】解：由已知条件可知：种植花草的面积为，
从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为，宽为，
矩形的面积为，
可列方程，
甲列的方程正确；
两条竖着的小路的长为，宽为 ，
两条竖着的小路的面积为 ，
横着的小路的长度为，宽为 ，
横着的小路的面积为 ，
三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为 的正方形，
重叠部分的面积为，
小路的面积可表示为，
可列方程为，
乙列的方程错误；
综上所述，甲对、乙不对．
故选：．
【点评】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解决本题的关键是找出图形中面积之间的相等关系．
11．（3分）如图，校园内有一块等边三角形空地，已知，分别是边，的中点，量得．若想用围栏把四边形围成一个花园，则需要的围栏的长至少是
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半求出的长，也就是等边三角形的边长，据此求解即可．
【解答】解：由条件可知是△的中位线，
，
△是等边三角形，
，
，
篱笆的长．
故选：．
【点评】本题主要考查的是三角形中位线定理、等边三角形的性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
12．（3分）现有一四边形，借助此四边形作平行四边形，两位同学提供了如图方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【分析】方案Ⅰ，连接，由，，，分别垂直平分，，，，得、、、分别是，、、的中点，则，，，，所以，且，则四边形是平行四边形，故方案Ⅰ可行；方案Ⅱ，由，，得，由，，得，则四边形是平行四边形，故方案Ⅱ可行，于是得到问题的答案．
【解答】解：方案Ⅰ，
连接，，，，分别垂直平分，，，，
、、、分别是，、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，且，
四边形是平行四边形，
方案Ⅰ可行；
方案Ⅱ，
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
方案Ⅱ可行，
故选：．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定、三角形的中位线定理、平行于同一条直线的两直线平行等知识，适当选择平行四边形的定义可判定定理证明四边形是平行四边形是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为 9 ．
【分析】由有两个相等的实数根，可得，进而根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【解答】解：由条件可知△，
解得：，
两根之积为9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是关键．
14．（3分）图1所示是厨房三角落地置物架，图2是置物架搁物板示意图，其中，，则的度数是 135 ．
【分析】先求出五边形的内角和，进而得出答案．
【解答】解：五边形的内角和为，
，
，
．
故答案为：135．
【点评】本题主要考查多边形内角与外角，求出五边形的内角和是解题的关键．
15．（3分）如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，交对角线于点，则与的周长比为 ．
【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而可得，再证明8字模型相似三角形，然后根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，
与的周长比，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
16．（3分）日常生活中，“老人”是一个模糊概念．有人想用“老人系数”来表示一个人的老年化程度．他设想“老人系数”的计算方法如下表：
按照这样的规定，一个70岁的人的“老人系数”为 0.5 ．
【分析】根据题意，把，直接代入相应解析式即可解答．
【解答】解：，
，70岁老人的老人系数对应着，
当时，．
故答案为：0.5．
【点评】本题考查识表能力，即将已知的题意与表格中的栏目一一对应．
三、解答题（共72分）
17．（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据配方法解一元二次方程；
（3）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【解答】解：（1），
，；
（2），
，
，
解得：，；
（3），
或，
，．
【点评】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活应用是解题的关键．
18．（7分）华北平原是我国玉米的主产区，石家庄市建有标准的玉米试验田，为预估玉米的长势情况，研究人员对处于生长期的玉米株高进行监测．为降低监测成本，研究人员随机选取了部分玉米，收集了这些玉米株高（单位：的数据，整理并绘制出如下不完整的统计图表：
（1）求共选取了多少株玉米，并把频数分布直方图补充完整；
（2）求扇形统计图中2组的圆心角的度数；
（3）在本次监测时，若玉米株高不低于则为长势良好，该样本中长势良好的玉米占比是多少？
【分析】（1）利用1组的人数除以百分比即可得出样本容量；再用总数减去其他组的人数即可得出4组的人数，画出条形图即可；
（2）用4组的人数除以总数再成即可得出答案；
（3）用4组和5组的人数和除以总数再乘即可得出答案．
【解答】解：（1），所以样本容量为40，
4组频数为，
补全频数分布直方图如下：
（2）；
（3），
所以长势良好的玉米占比是．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图，解题的关键是理解频数分布图的特点．根据频数分布直方图逐项进行分析，判断即可．
19．（6分）如图，反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，其中表示时间，表示小明离家的距离，小明家、食堂，图书馆在同一直线上．
（1）小明从家到食堂用的时间是 8 分钟；
（2）小明在食堂吃早餐用的时间是 分钟；
（3）食堂到图书馆的距离是 千米；
（4）小明读报用的时间是 分钟；
（5）图书馆离到小明家的距离是 千米，小明从图书馆回家的平均速度是 千米分钟．
【分析】根据观察图象，可得从家到食堂，食堂到图书馆的距离，从食堂到图书馆的时间，根据路程与时间的关系，可得答案．
【解答】解：（1）由横坐标看出：小明从家到食堂用的时间是8分钟，
故答案为：8；
（2）由横坐标看出：小明在食堂吃早餐用的时间是（分钟），
故答案为：17；
（3）食堂到图书馆的距离是（千米），
故答案为：0.2；
（4）小明读报用的时间为：（分钟），
故答案为：30；
（5）图书馆离到小明家的距离是0.8千米，小明从图书馆回家的平均速度：，
故答案为：0.8，0.08．
【点评】本题考查了函数的图象，观察图象，获取信息是解题关键．
20．（8分）如图，在矩形中，点为边上的一点，于点．
（1）证明：△△；
（2）若，，，求的长．
【分析】（1）由矩形的性质得，则，而于点，，即可证明△△；
（2）由，，，求得，由相似三角形的性质得，而，则．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
于点，
，
，
△△．
（2）解：，，，
，
△△，，
，
，
的长是．
【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，，进而证明△△是解题的关键．
21．（8分）石家庄火车站始建于清光绪二十三年年），经过多年的改建扩建，现以成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯（图，其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，．
（1）求证：四边形内部框架为菱形．
（2）若，为的中点，，求四边形的周长．
【分析】（1）通过为菱形得到，，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形．
（2）根据菱形的性质，得到，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而勾股定理求得，根据菱形的性质，即可求解．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
，．
，
，
四边形是平行四边形．
四边形是菱形，
，
平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）；
（2）解：四边形是菱形，，
，
在△中，为的中点，
．
，
，
（负值舍去）．
四边形为菱形，
菱形的周长为．
【点评】本题考查菱形的证明及基本性质，勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半，熟练掌握基本知识点是解题关键．
22．（8分）如图，已知一次函数的图象经过点，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点在该函数图象上，连接，求△的面积；
（3）若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当点落在第三象限时，请直接写出的取值范围 ．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求出点坐标，再求△的面积即可；
（3）当点在轴负半轴上时，轴，此时；当点在轴负半轴上时，过点作轴交于点，证明△△，，即；即可得到时，点落在第三象限．
【解答】解：（1）将点，代入中，
，
解得，
；
（2）点在该函数图象上，
，
解得，
，
△的面积；
（3）当点在轴负半轴上时，
，
轴，点纵坐标为，
，
解得；
当点在轴负半轴上时，过点作轴交于点，
，
，
，
，
，
△△，
，
；
时，点落在第三象限，
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
23．（11分）石家庄外国语学校快乐园餐厅有两样热卖单品——米线和面条．随着天气越来越炎热，米线与面条销量下降．为应对炎热天气销售总额下降的问题，6月份快乐园餐厅采取了以下措施：
（1）请求出每天米线售出的数量（碗与每碗定价（元之间的关系；每天凉面售出的数量（碗与每碗定价（元之间的关系；
（2）求每碗米线定价为正整数）为多少元时，才能使得米线日销售额达到630；
（3）经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为16元时，比较合理．
①请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为多少碗；
②直接写出当凉面定价 8 元碗时，能使当天米线和凉面销售总额达到1680元．
【分析】（1）根据题意列出，待定系数法求得；
（2）根据题意得，解一元二次方程，即可求解．
（3）①根据题意得出，设米线和凉面销售总量为，则，根据一次函数的性质，即可求解；
②根据销量乘以定价，列出一元二次方程，解方程，即可求解．
【解答】解：（1），
设
当时，，当时，
，
解得：，
，
（2），
，，
为整数，
，即每碗米线定价9元；
（3）①，
设销售总量为，则，
，
随的增大而增大，
又，
当取得最大值10时，最大值为，
凉面的定价为10元时，销售总量最多，为270碗；
②，
或（舍去），
故答案为：8．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
24．（12分）综合与实践
【问题情境】
如图，在矩形纸片中，，，点在边上，将△沿所在的直线折叠，得到△．
【特例感知】
（1）如图1，当点在上时，请判断四边形的形状，并证明．
（2）如图2，当点在对角线上时，
①的长为 10 ，的长为 ．
②求此时的长．
（3）如图3，当点在对角线上时，与相交于点，求的长．
【深入探究】
（4）连接，当△的面积为4时，请直接写出的长．
【分析】（1）由折叠的性质以及正方形的判定定理解答即可；
（2）①由折叠，得，，，根据勾股定理得，进而求出，
②设，则，，由勾股定理得，即，解得，即可得解；
（3）由折叠，得，，由勾股定理得，根据等面积法得，解得，再根据垂直平分得，即可得解；
（4）分两种情况讨论：①如图1，当点在矩形内部时；②当点在矩形外部时；综上即可得解．
【解答】解：（1）四边形是正方形；
证明：将△沿所在的直线折叠，得到△，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
（2）①将△沿所在的直线折叠，得到△，
，，，
在△中，由勾股定理得：，
点在对角线上，
，
故答案为：10，4；
②设，则，，
在△中，由勾股定理得：，即，
解得，
；
（3）将△沿所在的直线折叠，得到△，
，，
点在对角线上，
垂直平分，
，
又，
，
，
△△，
，即，
解得，
在△中，由勾股定理得：，
，
，
解得，
垂直平分，
；
（4）的长为或；理由如下：
分两种情况：
①如图4，当点在矩形内部时，过点作，延长，交于点，则，
四边形是矩形，则，
△的面积为4，，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
，
由折叠可知，，
设，则，
在△中，由勾股定理得：，
，
解得：，
由折叠可知，；
②如图5，当点在矩形外部时，过点作，交于点，则，
△的面积为4，，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
同理在△中，由勾股定理得：，
，
解得：，
由折叠可知，，
综上所述，的长为或．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/2 8:29:35；用户：林鑫；邮箱：16620973701；学号：50184040方案Ⅰ
作边，，，的垂直平分线，，，，分别交，，，于点，，，，顺次连接这四点围成的四边形即为所求．
方案Ⅱ
连接，，过四边形各顶点分别作，的平行线，，，，这四条平行线围成的四边形即为所求．
人的年龄（岁
该人的“老人系数”
0
1
1
2
3
4
5
对米线进行降价出售
将面条换成凉面出售
当按照10元份出售时，估计每天只能售出50份，售价每降价1元，就能多售出20份．
凉面定价元碗，售出的数量（碗与每碗定价（元之间为一次函数关系，其中两组数据如表所示，且为整数）
元碗
7
8
碗
110
120
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
D
D
A
B
B
C
A
A
C
题号
12
答案
C
方案Ⅰ
作边，，，的垂直平分线，，，，分别交，，，于点，，，，顺次连接这四点围成的四边形即为所求．
方案Ⅱ
连接，，过四边形各顶点分别作，的平行线，，，，这四条平行线围成的四边形即为所求．
人的年龄（岁
该人的“老人系数”
0
1
1
2
3
4
5
对米线进行降价出售
将面条换成凉面出售
当按照10元份出售时，估计每天只能售出50份，售价每降价1元，就能多售出20份．
凉面定价元碗，售出的数量（碗与每碗定价（元之间为一次函数关系，其中两组数据如表所示，且为整数）
元碗
7
8
碗
110
120