2024-2025学年河北省石家庄四十八中八年级（下）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄四十八中八年级（下）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在平面直角坐标系中，如果点在轴上，则点的坐标为
A．B．C．D．
2．（3分）已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是
A．B．
C．D．无法确定
3．（3分）用配方法解方程时，方程两边应同时
A．加上2B．减去2C．加上4D．减去4
4．（3分）若一次函数的函数值随着的增大而增大，则不可能是
A．B．2C．3D．6
5．（3分）如图，已知平行四边形框架，现将木条固定不动，向右推动框架至，整个变化过程中，下列说法不正确的是
A．四边形由平行四边形变成矩形
B．点，之间的距离不变
C．四边形的面积变大
D．四边形的周长不变
6．（3分）如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为
A．B．C．D．
7．（3分）对于一元二次方程，则下列叙述正确的是
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．两根之积是D．两根之和是4
8．（3分）节假日期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按九折优惠”，在此活动中，小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品件，应付款（元，则下列方程中正确的是
A．B．
C．D．
9．（3分）在中，，是的中点，求证：．
证明：如图，延长至点，使，连接，．
，
．
下面是“”部分被打乱顺序的证明过程：
①四边形是平行四边形；
②；
③，；
④四边形是矩形．
则正确的顺序为
A．③①②④B．③②①④C．②③①④D．②①③④
10．（3分）如图，在△中，，分别为边，的中点，为高线，，则与的长度大小关系是
A．B．C．D．无法确定
11．（3分）如图，在正方形中，分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为
A．B．C．D．
12．（3分）如图，点，，分别是△各边的中点，连接，，．下列说法错误的是
A．四边形是平行四边形
B．若，则四边形是矩形
C．若，则四边形是菱形
D．若平分，则四边形是正方形
13．（3分）如图1，在△中，，，，是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，与之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是
A．点与的距离为，点与的距离为
B．点与的距离为，点与的距离为
C．点与的距离为，点与的距离为
D．点与的距离为，点与的距离为
二、填空题（4个小题，每题3分，共12分）
14．（3分）如图，该多边形的内角和等于 ．
15．（3分）如图，的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点，若，△的周长是，则 ．
16．（3分）如图，点的坐标是，将△沿轴向右平移至△，点的对应点恰好落在直线上，则点移动的距离是 ．
17．（3分）如图，正方形的边长是4，菱形的边长是，则菱形的对角线的长是 ．
三、解答题（6个小题，共49分）
18．（9分）解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
19．（9分）某校260名学生参加植树活动，要求每人植棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，棵；棵；棵；棵．将各类的人数绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示），经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误．
回答下列问题：
（1）条形统计图中某一类型的人数有错误，请写出该类型的正确人数为 ；
（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；
（3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，嘉淇是这样分析的：
第一步：求平均数的公式是；
第二步：在该问题中，，，，，；
第三步：（棵．
①嘉淇的分析是从哪一步开始出现错误的？
②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．
20．（8分）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）若，求证：四边形是菱形；
（2）在（1）的条件下，若菱形的面积为40，，求的长．
21．（7分）某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元．
（1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？
（2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配置每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第三次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商场获利330元，求的值．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中有，两点，线段的延长线交轴于点，直线．
（1）求线段所在直线的解析式及的值；
（2）若直线不经过第一象限，求的取值范围；
（3）若直线交轴于点，当直线与线段相交时，直接写出的取值范围．
23．（8分）我们可以用对称的眼光研究一些几何问题．
（1）如图①，在中，与交于点，点在边上，延长交于点
①求证：；
②将绕点旋转，使点落在上的处，延长交于点，请在图3画出四边形，并证明四边形是矩形．
（2）如图2，在菱形中，正方形的顶点，分别在边，上，且，，两点在菱形的内部（包括边界）．若，，则正方形面积的最小值为 ．
2024-2025学年河北省石家庄四十八中八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
一、选择题（13个小题，每小题3分，共39分.四个选项中，只有一项符合题意.）
1．（3分）在平面直角坐标系中，如果点在轴上，则点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】根据在轴上的点的坐标特征，横坐标为零计算即可得到答案．
【解答】解：根据在轴上的点的坐标特征，点在轴上，
，
，
，
点的坐标为，
故选：．
【点评】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，掌握在轴上的点的纵坐标为0，在轴上的点的横坐标为0是解此题的关键．
2．（3分）已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是
A．B．
C．D．无法确定
【分析】根据方差的意义进行判断即可．
【解答】解：根据题意得，乙的成绩更集中，
，
故选：．
【点评】本题考查了根据方差判断稳定性（逆用），熟练掌握根据方差判断稳定性是解题的关键：①方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量；②方差能够反映所有数据的信息，因而在刻画数据波动情况时比极差更准确：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小．只有当两组数据的平均数相等或接近时，才能用方差比较它们波动的大小．
3．（3分）用配方法解方程时，方程两边应同时
A．加上2B．减去2C．加上4D．减去4
【分析】将一次项看成，这样就可以知道配方项为从而为求解本题．
【解答】解：配方得：，
故用配方法解方程时，方程两边应同时加上4，
故选：．
【点评】本题考查配方法．方程两边都加上一次项系数一半的平方是关键．
4．（3分）若一次函数的函数值随着的增大而增大，则不可能是
A．B．2C．3D．6
【分析】依据题意，根据一次函数的性质可知：，即，从而可以判断得解．
【解答】解：由题意，函数的值随值的增大而增大，
．
．
、、选项均大于1，但不合题意，选项不可能，符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
5．（3分）如图，已知平行四边形框架，现将木条固定不动，向右推动框架至，整个变化过程中，下列说法不正确的是
A．四边形由平行四边形变成矩形
B．点，之间的距离不变
C．四边形的面积变大
D．四边形的周长不变
【分析】根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可．
【解答】解：、根据有一个角的平行四边形是矩形，该选项正确，不符合题意，
、向右推动框架，点，之间的距离变大，该选项不正确，符合题意，
、四边形的高变大，面积变大，该选项正确，不符合题意，
、四边形的周长不变，该选项正确，不符合题意，
故选：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
6．（3分）如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【分析】先求出交点的坐标，再观察图象，写出直线图象在直线图象的下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：由条件可知，
解得：，
，
由图象可得：当函数图象在函数图象下方时，，
不等式的解集为．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键．
7．（3分）对于一元二次方程，则下列叙述正确的是
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．两根之积是D．两根之和是4
【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对、选项进行判断；根据根与系数的关系对、选项进行判断．
【解答】解：△，
方程有两个相等的实数解，所以选项不符合题意，选项不符合题意；
方程两根之和为4，两根之积为4，
选项不符合题意，选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
8．（3分）节假日期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按九折优惠”，在此活动中，小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品件，应付款（元，则下列方程中正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由题意可得，
小明应付货款与商品件数的函数关系式是：，
故选：．
【点评】本题考查根据实际问题列一次函数关系，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．
9．（3分）在中，，是的中点，求证：．
证明：如图，延长至点，使，连接，．
，
．
下面是“”部分被打乱顺序的证明过程：
①四边形是平行四边形；
②；
③，；
④四边形是矩形．
则正确的顺序为
A．③①②④B．③②①④C．②③①④D．②①③④
【分析】先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是矩形，得，即可得出结论．
【解答】解：如图，延长至点，使，连接、，
③，，
①四边形是平行四边形，
②，
④平行四边形是矩形，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在△中，，分别为边，的中点，为高线，，则与的长度大小关系是
A．B．C．D．无法确定
【分析】先根据三角形中位线定理得出，，根据平行线的性质得出，根据三角形内角和得出，根据直角三角形性质得出，即可证明结论．
【解答】解：为高线，
，
，分别为边，的中点，
，，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形中位线的定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
11．（3分）如图，在正方形中，分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据条件可以得到△是等边三角形，然后利用正方形的性质和等边三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：连接、，
由添加可知△是等边三角形，
，
在正方形中，，，
由添加可知，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了作图——基本作图，等边三角形的性质，正方形的性质，正确得到△是等边三角形是解题的关键．
12．（3分）如图，点，，分别是△各边的中点，连接，，．下列说法错误的是
A．四边形是平行四边形
B．若，则四边形是矩形
C．若，则四边形是菱形
D．若平分，则四边形是正方形
【分析】根据三角形中位线定理证得，，再根据矩形、菱形、正方形的判定逐项证明即可得到答案．
【解答】解：、点，，分别是△各边的中点，
，，
四边形是平行四边形，故不符合题意；
、，
，
四边形是平行四边形，
则四边形是矩形，故不符合题意；
、，，分别是，的中点，
，
四边形是平行四边形，
则四边形是菱形，故不符合题意；
、四边形是平行四边形，平分，
则四边形是菱形，
不能证明四边形是正方形，故符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形、菱形、正方形的判定定理，根据三角形中位线定理证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
13．（3分）如图1，在△中，，，，是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，与之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是
A．点与的距离为，点与的距离为
B．点与的距离为，点与的距离为
C．点与的距离为，点与的距离为
D．点与的距离为，点与的距离为
【分析】先由勾股定理得到，如图所示，连接，过点作于，由等面积法得到，则，再证明四边形是矩形，得到，则当时，最小，即此时最小，即的最小值为，再由而点到点的距离可以无限小，得到点与的距离为，点到点的距离可以无限性，得到点与的距离为，据此可得答案．
【解答】解：在△中，，，，
，
如图所示，连接，过点作于，
，
，
，
，
，，
四边形是矩形，
，
当时，最小，即此时最小，
的最小值为，
而点到点的距离可以无限小，
由函数图象可知点与的距离为，而点到点的距离可以无限性，
由函数图象可知点与的距离为．
故选：．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，画出图是解题的关键．
二、填空题（4个小题，每题3分，共12分）
14．（3分）如图，该多边形的内角和等于 ．
【分析】多边形的内角和公式为：，直接利用公式计算即可．
【解答】解：该多边形的内角和，
故答案为：．
【点评】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，熟记多边形的内角和公式是解本题的关键．
15．（3分）如图，的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点，若，△的周长是，则 5 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到，，求出的值，由△的周长求出，根据三角形中位线的性质求出的长．
【解答】解：的对角线，相交于点，
，，
，
，
△的周长是，
，
，
点，分别是线段，的中点，
，
故答案为：5．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
16．（3分）如图，点的坐标是，将△沿轴向右平移至△，点的对应点恰好落在直线上，则点移动的距离是 ．
【分析】将代入一次函数解析式求出值，由此即可得出点的坐标为，，进而可得出△沿轴向右平移个单位得到△，根据平移的性质即可得出点与其对应点间的距离．
【解答】解：当时，，
点的坐标为，，
△沿轴向右平移个单位得到△，
点与其对应点间的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将代入一次函数解析式中求出点的坐标是解题的关键．
17．（3分）如图，正方形的边长是4，菱形的边长是，则菱形的对角线的长是 ．
【分析】连接，，，与相交于点，首先证明出和共线，然后求出，然后利用勾股定理求出，进而利用菱形的性质求解即可．
【解答】解：如图所示，连接，，，，与相交于点，
四边形是菱形，
，且平分，
四边形是正方形，
，且平分，
和共线，
是等腰直角三角形，
正方形的边长为4，
，
，
菱形的边长为，
，
，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（6个小题，共49分）
18．（9分）解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）运用公式法解一元二次方程；
（2）运用因式分解法解一元二次方程；
（3）运用因式分解法解一元二次方程．
【解答】解：（1），，，
△，
，
；
（2），
，
，
或，
，；
（3），
，
或，
，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是选择合适的方法进行计算．
19．（9分）某校260名学生参加植树活动，要求每人植棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，棵；棵；棵；棵．将各类的人数绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示），经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误．
回答下列问题：
（1）条形统计图中某一类型的人数有错误，请写出该类型的正确人数为 2 ；
（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；
（3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，嘉淇是这样分析的：
第一步：求平均数的公式是；
第二步：在该问题中，，，，，；
第三步：（棵．
①嘉淇的分析是从哪一步开始出现错误的？
②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．
【分析】（1）利用总人数乘对应的百分比求解即可；
（2）根据众数、中位数的定义即可直接求解；
（3）①根据加权平均数公式，可知从第二步开始出现错误的；
②求出正确的平均数，乘以260即可得到结果．
【解答】解：（1）条形统计图中类型为3人错了，应该是（人；
故答案为：2；
（2）由题意可知，植树5棵人数最多，故众数为5，
共有20人植树，其中位数是第10、11人植树数量的平均数，
即，故中位数为5；
（3）①从第二步开始出现错误；
②（棵，
（棵，
答：估计这260名学生共植树1378棵．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，加权平均数，众数，中位数以及用样本估计总体，弄清题意从统计图中找出数据以及计算方法是解本题的关键．
20．（8分）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）若，求证：四边形是菱形；
（2）在（1）的条件下，若菱形的面积为40，，求的长．
【分析】（1）根据题意证明四边形是平行四边形，再导角证明，即可证明平行四边形是菱形；
（2）利用菱形面积求出，再结合直角三角形性质求解，即可解题．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，面积为40，，
，
，
，，
．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余、菱形的判定与性质、菱形面积公式及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质、直角三角形性质是解决问题的关键．
21．（7分）某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元．
（1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？
（2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配置每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第三次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商场获利330元，求的值．
【分析】（1）设每瓶氯化钠溶液的售价为元，每瓶硫酸铜溶液的售价为元，根据“第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润每瓶的销售利润销售数量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每瓶氯化钠溶液的售价为元，每瓶硫酸铜溶液的售价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：每瓶氯化钠溶液的售价为2.5元，每瓶硫酸铜溶液的售价为5元；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：的值为2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中有，两点，线段的延长线交轴于点，直线．
（1）求线段所在直线的解析式及的值；
（2）若直线不经过第一象限，求的取值范围；
（3）若直线交轴于点，当直线与线段相交时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求函数解析式，然后代入点的坐标求值；
（2）根据一次函数图象性质列不等式求解；
（3）首先分析求得直线必经过定点，然后再通过分析临界点，即当直线经过点时，当直线经过点时，直线与线段有交点，从而确定的取值范围．
【解答】解：（1）设直线的解析式为：，由条件可得：
，
解得，
故直线的解析式为：，
将代入可得：，解得；
（2）若直线不经过第一象限，则时，解得；
（3）由直线整理可得，
当时，
直线必经过定点，
当直线经过点时，此时直线与线段有交点，
将代入，可得，
解得，
此时函数解析式为，
由条件可得，解得；
当直线经过点时，此时直线与线段有交点，
由条件可得，
解得，
此时函数解析式为，
将代入解析式可得，解得，
的取值范围为．
【点评】本题考查了直线过定点问题，待定系数法求解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质利用数形结合思想解题是关键．
23．（8分）我们可以用对称的眼光研究一些几何问题．
（1）如图①，在中，与交于点，点在边上，延长交于点
①求证：；
②将绕点旋转，使点落在上的处，延长交于点，请在图3画出四边形，并证明四边形是矩形．
（2）如图2，在菱形中，正方形的顶点，分别在边，上，且，，两点在菱形的内部（包括边界）．若，，则正方形面积的最小值为 ．
【分析】（1）①利用平行四边形的性质得到，，结合对顶角，证明△△，即可得出结论；
②根据题意即可作出图形，同理①得：△△，得到，由①知，由旋转的性质得，得到，求出，即，即可证明；
（2）在图2中，连接，，根据菱形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，得到，，三点共线，正方形对角线过点，当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小，即当时，正方形的面积最小，则过点作的垂线，交于点，延长交于点，再过点作的垂线，以为圆心，的长为半径画圆，交垂线于，两点，连接，，，，则此时正方形的面积最小，如图所示：根据勾股定理得到，根据正方形面积公式得到结论．
【解答】（1）①证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
；
②解：画出四边形如图所示：
由①知，
同理可得，
四边形是平行四边形，
，即，
四边形是矩形；
（2）解：在图②中，连接，，
四边形是菱形，
，，
，
，
△△，
，，
，，三点共线，正方形对角线过点，
当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小，
即当时，正方形的面积最小，则过点作的垂线，交于点，延长交于点，再过点作的垂线，以为圆心，的长为半径画圆，交垂线于，两点，连接，，，，
则此时正方形的面积最小，如图所示：
在菱形中，，，，
，，，
，
，
，
正方形面积的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查四边形综合问题，涉及平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练平行四边形的性质，菱形的性质是解题的关键．
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D
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