2024-2025学年河北省石家庄外国语教育集团八年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄外国语教育集团八年级（上）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了请你仔细选一选，请你认真填一填，请你细心解答等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在下列实数中，是无理数的是
A．B．C．D．
2．（3分）两个等圆紧贴着摆放在一起，若再添加一个等半径的圆，使所得图形是中心对称图形，则这个等圆的位置可以是
A．B．
C．D．
3．（3分）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时、两点之间的距离为
A．B．C．D．
4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平移△至△的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是
A．B．C．D．
5．（3分）如图，在正方形网格中，，为小正方形顶点，直线经过小正方形顶点，，，，在直线上求一点使最短，则点应位于
A．点处B．点处C．点处D．点处
6．（3分）如图，在中，，，，过点的直线，与的平分线分别交于，，则的长为
A．14B．16C．18D．20
7．（3分）已知关于的分式方程有增根，则的值为
A．2B．C．D．3
8．（3分）如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值不变的是
A．①②B．②③C．①③D．②④
9．（3分）在△中，，将△沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为
A．2B．C．D．
11．（3分）下列说法中，正确的结论有
①；
②到三角形三边距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点；
③说明“任何数的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是：；
④“对顶角相等”的逆命题是真命题；
⑥用反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设“这个三角形中最小角大于”．
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（3分）在的正方形网格中，点、、均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边上的高．现有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
二、请你认真填一填（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.请把答案写在题中的横线上）
13．（3分）有理数0.217精确到百分位的近似数为 ．
14．（3分）使式子有意义，则的取值范围为 ．
15．（3分）如图，在△中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为 ．
16．（3分）如图，，是射线上一点，且，是射线上一点，连接，将△沿着直线翻折，得到△．
①点到的距离为 ；
②如果线段与射线有交点，设交点为，则的取值范围为 ．
三、请你细心解答（本大题有8个小题，共72分）
17．（16分）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）计算：；
（4）计算：．
18．（6分）先简化，再求值：，其中．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（1）请画出△关于轴的对称图形△；
（2）直接写出，，三点的坐标；
（3）求△的面积．
20．（8分）定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”．
（1）4与 是关于3的“实验数”， 与是关于3的“实验数”，则是 ，表示的值的点落在数轴上的位置位于 ．
（2）若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由．
21．（8分）【课本再现】在冀教版八年级上册数学教材第十七章《特殊三角形》中，我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一” ．
（1）以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．
如图1，在△中，，作平分，交于点．
求证：，且．
证明：
【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题：
（2）如图2，在△中，，为边上一点，过点分别作，，垂足分别是点，．若，则下列结论错误的是 ．
①；
②；
③；
④．
22．（6分）如图，在△中，是的垂直平分线，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23．（8分）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，裕华区组织我校学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班需各种植的草地，已知2班每小时比1班多制作的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的1.5倍，求1、2两班每小时各种植多少的草地？
（1）根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程，请将画横线的部分补充完整．
小聪：设1班每小时种植 的草地，所列方程为： ；
小慧：设 ，所列方程为： ；
（2）任选其中一种方法求出1、2两班每小时各种植多少的草地：
（3）制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由．
24．（12分）如图，在△中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒．
【问题探究】
（1）当时
①判断△的形状，并说出理由．
②点在边上运动，当时，求的值．
【深入探索】
（2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为 ．
②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且△是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 ．
【引发思考】
（3）如图3，以为边，在△下方作等腰△，，的最大值为 ．
2024-2025学年河北省石家庄外国语教育集团八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、请你仔细选一选（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）在下列实数中，是无理数的是
A．B．C．D．
【解答】解：、是有理数，故此选项不符合题意；
、是有理数，故此选项不符合题意；
、是有理数，故此选项不符合题意；
、是无理数，故此选项符合题意；
故选：．
2．（3分）两个等圆紧贴着摆放在一起，若再添加一个等半径的圆，使所得图形是中心对称图形，则这个等圆的位置可以是
A．B．
C．D．
【解答】解：、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、是中心对称图形，故此选项符合题意；
、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
、也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
3．（3分）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时、两点之间的距离为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，连接，
由题意可知，，
，
，
△是等边三角形，
，
即此时、两点之间的距离为，
故选：．
4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平移△至△的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是
A．B．C．D．
【解答】解：因为点的对应点是，
所以，，
即将△先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度可得△，
所以，，
即点的对应点的坐标为．
故选：．
5．（3分）如图，在正方形网格中，，为小正方形顶点，直线经过小正方形顶点，，，，在直线上求一点使最短，则点应位于
A．点处B．点处C．点处D．点处
【解答】解：作关于的对称点，连接，交于点，
的垂直平分线为，
，
，
即与重合，
故选：．
6．（3分）如图，在中，，，，过点的直线，与的平分线分别交于，，则的长为
A．14B．16C．18D．20
【解答】解：，
．
平分，
，
，
．
同理可得：，
．
故选：．
7．（3分）已知关于的分式方程有增根，则的值为
A．2B．C．D．3
【解答】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：．
故选：．
8．（3分）如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值不变的是
A．①②B．②③C．①③D．②④
【解答】解：因为分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变，
所以同时改变①（分式本身的符号）和②（分母的符号），分式的值不变，
故选：．
9．（3分）在△中，，将△沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、根据可以推出剪下的两个三角形全等，故选项不符合题意；
、根据可以推出剪下的两个三角形全等，故选项不符合题意；
、如图：
且，
，
，
，
，，
△△．
根据可以推出剪下的两个三角形全等，故选项不符合题意；
、如图：
由选项可得：，，但不是两个角的夹边，所以两个三角形不一定全等，故选项符合题意；
故选：．
10．（3分）如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为
A．2B．C．D．
【解答】解：三个正方形的边长分别为，，2，
图中阴影部分的面积
．
故选：．
11．（3分）下列说法中，正确的结论有
①；
②到三角形三边距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点；
③说明“任何数的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是：；
④“对顶角相等”的逆命题是真命题；
⑥用反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设“这个三角形中最小角大于”．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①，，
则，故本小题结论错误；
②到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点，故本小题结论错误；
③说明“任何数的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是：，结论正确；
④“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故本小题结论错误；
⑥用反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设“这个三角形中最小角大于”，结论正确；
故选：．
12．（3分）在的正方形网格中，点、、均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边上的高．现有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【解答】解：方案是过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，故方案可行，
方案是根据网格线的特征作图，故方案可行，
故选：．
二、请你认真填一填（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.请把答案写在题中的横线上）
13．（3分）有理数0.217精确到百分位的近似数为 0.22 ．
【解答】解：有理数0.217精确到百分位的近似数为0.22，
故答案为：0.22．
14．（3分）使式子有意义，则的取值范围为 ．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
15．（3分）如图，在△中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为 ．
【解答】解：，
，
，
，
，是斜边的中点，
，
，
，
故答案为：．
16．（3分）如图，，是射线上一点，且，是射线上一点，连接，将△沿着直线翻折，得到△．
①点到的距离为 ；
②如果线段与射线有交点，设交点为，则的取值范围为 ．
【解答】解：（1）如图，过点作于，
，，
，
，
在△中，，
，
，
故答案为：；
（2）如图：当点落在上时，
将△沿着直线翻折，
，，，
，
在△中，，，
，
，
当时，线段与射线有交点，
故答案为：．
三、请你细心解答（本大题有8个小题，共72分）
17．（16分）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）计算：；
（4）计算：．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
（3）原式
；
（4）原式
．
18．（6分）先简化，再求值：，其中．
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（1）请画出△关于轴的对称图形△；
（2）直接写出，，三点的坐标；
（3）求△的面积．
【解答】解：（1）如图，△即为所求．
（2）由（1）得，，；
（3）△的面积为．
20．（8分）定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”．
（1）4与 是关于3的“实验数”， 与是关于3的“实验数”，则是 ，表示的值的点落在数轴上的位置位于 ．
（2）若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由．
【解答】解：（1），
与是关于3的“实验数”，
与是关于3的“实验数”，
，
，
，
，
，即，
表示的值的点落在数轴上的位置位于④，
故答案为：，，④；
（2）与是关于3的“实验数”，理由如下：
，
，
与是关于3的“实验数”．
21．（8分）【课本再现】在冀教版八年级上册数学教材第十七章《特殊三角形》中，我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一” ．
（1）以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．
如图1，在△中，，作平分，交于点．
求证：，且．
证明：
【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题：
（2）如图2，在△中，，为边上一点，过点分别作，，垂足分别是点，．若，则下列结论错误的是 ③ ．
①；
②；
③；
④．
【解答】（1）证明：平分，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
；
（2）解：，，，
平分，
，
，
是底边上的中线，底边上的高线，
，，
无法证明，
故①②④正确，不符合题意；③错误，符合题意，
故答案为：③．
22．（6分）如图，在△中，是的垂直平分线，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：是的垂直平分线，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
是的垂直平分线，
，
，
．
23．（8分）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，裕华区组织我校学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班需各种植的草地，已知2班每小时比1班多制作的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的1.5倍，求1、2两班每小时各种植多少的草地？
（1）根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程，请将画横线的部分补充完整．
小聪：设1班每小时种植 的草地，所列方程为： ；
小慧：设 ，所列方程为： ；
（2）任选其中一种方法求出1、2两班每小时各种植多少的草地：
（3）制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由．
【解答】解：（1）小聪：设1班每小时种植 的草地，2班每小时种植的草地，所列方程为：；
小薏：设2班所用时间为小时，则1班所用时间为，所列方程为：；
故答案为：；设2班所用时间为小时；6；
（2）设1班每小时种植 的草地，2班每小时种植的草地，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
，
答：1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地；
（3）不能；1小时20分钟小时，
1班已完成：；
2班已完成：；
还剩余：；
两队合作1小时可完成：，
，
两班速度保持不变，他们不能在乘车前完成任务．
24．（12分）如图，在△中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒．
【问题探究】
（1）当时
①判断△的形状，并说出理由．
②点在边上运动，当时，求的值．
【深入探索】
（2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为 ．
②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且△是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 ．
【引发思考】
（3）如图3，以为边，在△下方作等腰△，，的最大值为 ．
【解答】解：（1）①△为直角三角形；理由如下：
在△中，，，，且，
，
△为直角三角形；
②△为直角三角形，，，
由勾股定理得：，
，
；
（2）①过点作于点，如图
，，平分，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
故答案为：；
②当时，过点作于点，于点，如图
则，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
设，则，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
解得：，
；
当时，如图
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
即；
综上分析可知：的长为或，
故答案为：或；
（3）将绕点逆时针旋转到，连接，，过点作于点，如图
根据旋转可知：，，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
的最大值为，
故答案为：．方案Ⅰ
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，；
②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；
③连接，交边于点，即为所求
方案Ⅱ
①取点，点为小正方形的顶点；
②连接交边于点．即为所求．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
C
B
C
A
D
A
D
D
B
题号
12
答案
C
方案Ⅰ
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，；
②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；
③连接，交边于点，即为所求
方案Ⅱ
①取点，点为小正方形的顶点；
②连接交边于点．即为所求．