2024-2025学年河北省石家庄四十中九年级（上）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄四十中九年级（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是
A． B． C． D．
2．（3分）一元二次方程的根的判别式的值是
A．28B．4C．25D．16
3．（3分）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时，相关数据如图（单位：．从图2闭合状态到图3打开状态，点，之间的距离减少了
A．B．C．D．
4．（3分）在△中，，，，下列三角函数值正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）设方程的两个根为，，那么的值等于
A．B．C．1D．3
6．（3分）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择
A．甲、丁B．乙、戊C．丙、丁D．丙、戊
7．（3分）已知线段，，，求作线段，使，下列作图中正确的是
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，若△和△的面积分别为，，则
A．B．C．D．
9．（3分）如图，在△中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，求的长．小明的解题过程如下：
解：过点作，交于，则，，
，，．
下列结论正确的是
A．①应填B．①应填C．②应填3D．②应填
10．（3分）如图，在和中，，要使与相似，还需要满足下列条件中的
A．B．C．D．
11．（3分）如图，小明想利用“，，”这些条件作△．他先作出了和，在用圆规作时，10发现点出现和两个位置，那么的长是
A．B．C．D．
12．（3分）如图，在中，，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为，同时点由出发沿方向向点匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中．当为何值时，与相似
A．3B．C．或D．3或
二、填空题：（每题2分，共8分）
13．（2分）如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为 ．
14．（2分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是 ．
15．（2分）已知轴上有点，轴上有点，直线交轴的正半轴于点，交轴于点，若△与△相似（点是坐标原点），则的值为 ．
16．（2分）如图，在△中，，，，点为的中点，线段的垂直平分线交边于点．设，，则与的关系式为 ．
三、解答题：（本题共8道题，共56分）
17．（1）解方程：；
（2）计算：．
18．如图，在△中，点，分别在边，上，，．
（1）求证：△△；
（2）若，，求线段的长．
19．学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在、的延长线上取点、，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为60米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度．
20．如图，网格中每个小正方形的边长是1，△在网格中的位置如图所示．
（1）请在网格中画出△关于点位似的△，点与点，点与点，点与点分别是对应点，且△与△的位似比是．
（2）在（1）的条件下，已知点在△的边上，求点的对应点的坐标．
21．如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：
（1）求，两地的距离；（结果精确到0.1米）
（2）大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，翻修费用为每米200元，请计算此次翻修工程的总费用．
22．小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：
．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数；
．每次试跳都有7名裁判进行打分分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分；
．运动员该次试跳的得分难度系数完成分．
在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：
（1）甲运动员这次试跳的完成分 ，得分 ；
（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为，那么与（1）中所得的比较， （填“”，“ ”或“” ；
（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，已知乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分至少要达到 分．
23．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过作．交的延长线于．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知△中，，，，平分，则△的周长是 ．
24．综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点．
（1）【操作判断】
如图①，过点作于点，根据题意在图①中画出，图中的度数为 度；
（2）【问题探究】
如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：；
（3）【拓展延伸】
点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值．
2024-2025学年河北省石家庄四十中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题：（每题3分，共36分）
1．（3分）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是
A．B．
C．D．
【分析】由多边形相似的判定方法：各边对应成比例，各角对应相等，即可判断．
【解答】解：、两个矩形的长与宽不一定对应成比例，因此内、外边框的图形不一定相似，故符合题意；
、两个正方形四边对应成比例，四个角相等，因此内、外边框的图形一定相似，故不符合题意；
、两个等边三角形一定相似，因此内、外边框的图形一定相似，故不符合题意；
、两个圆一定相似，因此内、外边框的图形一定相似，故不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查图形的相似，关键是掌握多边形相似的判定方法．
2．（3分）一元二次方程的根的判别式的值是
A．28B．4C．25D．16
【分析】先将方程化成一般式，再根据根的判别△计算即可．
【解答】解：由题意可知：△．
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别△是解决本题的关键．
3．（3分）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时，相关数据如图（单位：．从图2闭合状态到图3打开状态，点，之间的距离减少了
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：连接，如图所示：
由题意得，，，
△△，
，
，
，
点，之间的距离减少了，
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
4．（3分）在△中，，，，下列三角函数值正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据题意作出图形，进而根据三角函数关系求解即可．
【解答】解：如图，在△中，，，，
，
，，，，
、、错误，正确．
故选：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．
5．（3分）设方程的两个根为，，那么的值等于
A．B．C．1D．3
【分析】若一元二次方程两根为，，则，，代值求解即可得到答案．
【解答】解：由题意可知：，，
，
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．
6．（3分）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择
A．甲、丁B．乙、戊C．丙、丁D．丙、戊
【分析】根据中位数的定义解答即可．
【解答】解：要推出由7个盲盒组成的套装产品，
中位数应该是质量由小到大排列的第4个盲盒，
序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，
选定的6号盲盒和7号盲盒的质量应该一个超过100，另一个低于100，
选定的可以是：甲，戊；或丙，丁，
选项中只有：丙，丁，
故选：．
【点评】本题考查中位数，理解题意，掌握确定中位数的方法是解题的关键．
7．（3分）已知线段，，，求作线段，使，下列作图中正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】先证明相似三角形，然后根据相似三角形的性质列比例式即可解答．
【解答】解：．由作图得不到平行线，无法判断相似三角形，不符合题意；
．由图可知：，则，，即，可证△△，可得，即，与矛盾，不符合题意；
．由图可知：，，则，又，可证△△，则，即，与矛盾，不符合题意；
．由图可知：，则△△可得，即，化简得：，即，与相符，符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查成比例线段、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，若△和△的面积分别为，，则
A．B．C．D．
【分析】过作于，过作交延长线于，由锐角的正弦求出，，得到△的面积，
△的面积，因此．
【解答】解：过作于，过作交延长线于，
，
，
△的面积，
，
，
，
，
△的面积，
△的面积△的面积，
．
故选：．
【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积，关键是由锐角的正弦求出，的长．
9．（3分）如图，在△中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，求的长．小明的解题过程如下：
解：过点作，交于，则，，
，，．
下列结论正确的是
A．①应填B．①应填C．②应填3D．②应填
【分析】如图：过点作，交于，再根据平行线分线段成比例定理和线段的和差即可解答．
【解答】解：在△中，是的中点，点在上，，如图：过点作，交于，
则，，
，，
，，
，
，
，
①应填，②应填．
故选：．
【点评】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
10．（3分）如图，在和中，，要使与相似，还需要满足下列条件中的
A．B．C．D．
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了三角形相似的判定，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
11．（3分）如图，小明想利用“，，”这些条件作△．他先作出了和，在用圆规作时，10发现点出现和两个位置，那么的长是
A．B．C．D．
【分析】过点作于点，由含角的直角三角形的性质得，再勾由股定理得，即可求解．
【解答】解：如图，过点作于点，
则，
，，
，
，，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
12．（3分）如图，在中，，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为，同时点由出发沿方向向点匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中．当为何值时，与相似
A．3B．C．或D．3或
【分析】由勾股定理求出长，分两种情况，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；分别列出关于的方程，求出，即可解决问题．
【解答】解：由勾股定理得：，
由题意得： ，，
当时，
，
，
此时，
；
当时，
，
，
此时，
，
当为或时，与相似．
故选：．
【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是要分两种情况讨论．
二、填空题：（每题2分，共8分）
13．（2分）如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为 ．
【分析】如图，先说明，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【解答】解：矩形为一个正在倒水的水杯的截面图如图所示，，
四边形是矩形，
，
，，，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
杯中水的最大深度为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
14．（2分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是 ．
【分析】利用勾股定理求出、、的长，再由可得答案．
【解答】解：由题意可知，，，，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查锐角的三角函数，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
15．（2分）已知轴上有点，轴上有点，直线交轴的正半轴于点，交轴于点，若△与△相似（点是坐标原点），则的值为 或 ．
【分析】根据点，的坐标得、，再根据相似三角形对应边成比例求出的长，然后求出的值即可．
【解答】解：由题意可知：，，
令，把代入中，
可得：，
，
，
△与△相似，
或，即或，
解得：或，
当时，，代入得，
解得：，
当时，，代入得，
解得：．
或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了相似三角形对应边成比例的性质、两直线相交等知识点，掌握相似三角形的性质成为解题的关键．
16．（2分）如图，在△中，，，，点为的中点，线段的垂直平分线交边于点．设，，则与的关系式为 ．
【分析】如图：连接，再证明△△可得求得，再根据求得与的关系式即可．
【解答】解：如图：连接，
，点为的中点，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
与的关系式为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜中线定理、中垂线定理、正切的定义等知识点，综合运用这些性质和定理是解题的关键．
三、解答题：（本题共8道题，共56分）
17．（1）解方程：；
（2）计算：．
【分析】（1）运用因式分解法解答即可；
（2）先用特殊角的三角函数值和零次幂化简，然后再计算即可．
【解答】解：（1），
，
，
，
或，
解得：，；
（2）
．
【点评】本题主要考考查了解一元二次方程、含特殊角三角函数值的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
18．如图，在△中，点，分别在边，上，，．
（1）求证：△△；
（2）若，，求线段的长．
【分析】（1）由可得，，则结论得证；
（2）可证△△，由比例线段可求出线段的长．
【解答】（1）证明：，
，，
△△；
（2）解：，
，
，
△△，
，
，
．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键．
19．学习相似三角形相关知识后，善于思考的小明和小颖两位同学想通过所学计算桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点，再在河岸的这一边选出点和点，分别在、的延长线上取点、，使得．经测量，米，米，且点到河岸的距离为60米．已知于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度．
【分析】过作于，依据，即可得出，依据，即可得到，进而得出的长．
【解答】解：如图所示，过作于，
，
，
，
，
，．
，
，
，
即，
解得．
答：桥的长度为90米．
【点评】本题主要考查了利用相似测量距离．正确构造直角三角形相似是解题关键．
20．如图，网格中每个小正方形的边长是1，△在网格中的位置如图所示．
（1）请在网格中画出△关于点位似的△，点与点，点与点，点与点分别是对应点，且△与△的位似比是．
（2）在（1）的条件下，已知点在△的边上，求点的对应点的坐标．
【分析】（1）如图，连接、、并延长到、、长度找到各点的对应点、、，然后顺次连接、、即可解答；
（2）先确定点的位置，再连接并延长至，使得，然后读出点的坐标即可．
【解答】解：（1）如图1：△即为所求．
（2）如图
已知点在△的边上，
点的对应点的坐标为．
【点评】本题主要考查了作图位似变换，理解位似的性质是解题的关键．
21．如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：
（1）求，两地的距离；（结果精确到0.1米）
（2）大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，翻修费用为每米200元，请计算此次翻修工程的总费用．
【分析】（1）过点作于点，在△中，解直角三角形求出，根据含30度直角三角形的性质即可求出；
（2）过点作于点，在△和△中，根据三角函数的定义求出，，，，继而求出，即可得到结论
【解答】解：（1）过点作于点，
由题意知，，
，，
，，
在△中，米，
（米，
（米．
答：、两地的距离约为339.4米；
（2）过点作于点，
由（1）得（米，
，，，
，
，
在△中，，
（米，
在△中，，
（米，
（米，
费用为元，
答：翻新总费用为75712元．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：
．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数；
．每次试跳都有7名裁判进行打分分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分；
．运动员该次试跳的得分难度系数完成分．
在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：
（1）甲运动员这次试跳的完成分 8.0 ，得分 ；
（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为，那么与（1）中所得的比较， （填“”，“ ”或“” ；
（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，已知乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分至少要达到 分．
【分析】（1）7个评委得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值即为，
（2）计算7个评委打分的平均分，得出，比较得出答案；
（3）列方程求解即可．
【解答】解：（1）7个评委得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩的下3个数为7.5，8.0，8.5，其平均数为8.0，
完成分，
，
故答案为：8.0，84；
（2），
，
故答案为：；
（3）由题意得，
，
解得，，
因此至少达到9.0，
故答案为：9.0．
【点评】本题考查平均数的意义和计算方法，理解和掌握完成分，得分的计算方法是正确计算的前提．
23．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过作．交的延长线于．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知△中，，，，平分，则△的周长是 ．
【分析】（1）过作．交的延长线于，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得，，由得，所以，于是有；
（2）利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到△的周长．
【解答】（1）证明：如图2，过作．交的延长线于，
，，，
平分，
，
，
，
；
（2）解：如图3，，，，
，
平分，
，即，
，
，
△的周长．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理．熟记三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
24．综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点．
（1）【操作判断】
如图①，过点作于点，根据题意在图①中画出，图中的度数为 90 度；
（2）【问题探究】
如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：；
（3）【拓展延伸】
点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值．
【分析】（1）依题意画出图形，证四边形是矩形即可求解；
（2）过作于点，证矩形是正方形，得出，再证△△，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可证明；
（3）分在线段上和的延长线上讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【解答】（1）解：如图，即为所求．
，，，
四边形是矩形，
，
故答案为：90．
（2）证明：如图，过作于点．
由（1）知四边形是矩形，
点在的平分线上，，，
，
矩形是正方形，
，，
，
，
又，，
△△，
，
，
．
（3）①当在线段上时，如图，延长、交于点．
由（2）知，
设，则，．
，
，，
△△，
，
，
△△，
，
，
；
②当在的延长线上时，如图，过作于，并延长交于．
由（2）知，四边形是正方形，
，，，
，
，
又，，
△△，
，
，
，
，，
，
△△，
，即，
，
，
△△，
，
，
；
综上，的值为或．
【点评】本题考查了四边形综合，同时考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/14 15:25:31；用户：姜炜；邮箱：[email protected]；学号：37801991难度系数
裁判
3.5
打分
7.5
8.5
4.0
9.0
8.0
8.5
7.0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
B
B
B
A
C
D
C
D
A
D
题号
12
答案
C
难度系数
裁判
3.5
打分
7.5
8.5
4.0
9.0
8.0
8.5
7.0