2024-2025学年河北省石家庄四十一中教育集团九年级（上）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄四十一中教育集团九年级（上）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各组中的四条线段成比例的是
A．1、2、3、4B．2、3、4、6C．3、4、6、9D．2、3、4、5
2．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择
A．甲B．乙C．丙D．丁
3．（3分）将一元二次方程配方后所得的方程是
A．B．C．D．
4．（3分）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是
A．B．C．D．
5．（3分）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为
A．B．C．4D．16
6．（3分）电路上在电压保持不变的条件下，电流（A）与电阻成反比例关系，与的函数图象如图，关于函数解析式是
A．B．C．D．
7．（3分）如果，则
A．B．C．D．
8．（3分）如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则
A．B．C．D．
9．（3分）淇淇在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式：．关于这组数据，下列说法正确的是
①平均数是4；
②中位数是4；
③众数是5；
④样本容量是3．
A．①②B．③④C．①③D．②④
10．（3分）如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为 米．
A．B．C．D．
11．（2分）对于反比例函数，下列说法正确的是
A．图象经过点B．图象位于第一、三象限
C．随的增大而增大D．当时，
12．（2分）如图，已知△，，，．将△沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与△不相似的是
A． B． C． D．
13．（2分）在平面直角坐标系中，，，现以原点为位似中心画出，使与相似比为，则的对应点的坐标为
A． B． C．或D．或
14．（2分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面
A．B．C．D．
15．（2分）如图，平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，若△的面积为4，则的值为
A．8B．C．4D．
16．（2分）如图，在△中，，于，，下列说法正确的个数是
①；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共3小题，17，18每小题3分，19小题每空2分，共10分）
17．（3分）已知为锐角．若，则 ．
18．（3分）如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ．
19．（4分）如图，是△的中线．
①若为的中点，射线交于点，则的值为 ；
②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共68分.）
20．（12分）（1）解方程；
（2）解方程；
（3）计算；
（4）计算．
21．（8分）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数情况，绘制成条形图（图和不完整的扇形图（图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分．
（1）条形图中被遮盖的数是 ，册数的中位数是 ；
（2）如果全校一共有2400人，估计全校读书人数超过5册的一共有多少人；
（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了 人．
22．（8分）如图，在△中，是边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，△的面积为9，求△的面积．
23．（8分）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
（1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
24．（8分）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔100海里的处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔的北偏东方向上的避风港处．
（1）问避风港处距离灯塔有多远？（结果保留根号）
（2）如果轮船的航速是每小时20海里，通过计算说明轮船能否在台风到来前赶到避风港处．（参考数据：
25．（11分）如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接，，求△的面积；
（3）当时，直接写出的取值范围．
26．（13分）如图，在△中，，，，点从点出发，沿折线向点以每秒1个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒．
（1） ， ；
（2）当点在上时，若，求的正弦值；
（3）当点到直线的距离是4时，求的值；
（4）过点作，交于点．当时，请直接写出的长度．
2024-2025学年河北省石家庄四十一中教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各组中的四条线段成比例的是
A．1、2、3、4B．2、3、4、6C．3、4、6、9D．2、3、4、5
【分析】根据内项积等于外项积，则有四条线段中，两条线段长度的乘积等于另外两条线段长度的乘积．
【解答】解：选项：不存在两条线段的长度乘积等于另外两条线段长度的乘积，故选项错误，不符合题意；
选项：，故选项正确，符合题意；
选项：不存在两条线段的长度乘积等于另外两条线段长度的乘积，故选项错误，不符合题意；
选项：不存在两条线段的长度乘积等于另外两条线段长度的乘积，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了成比例线段，若四条线段成比例，解决本题的关键是根据四条线段中是否存在其中两条线段的长度的乘积等于另外两条线段长度的乘积进行判断．
2．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：首先比较平均数：甲丙乙丁，
从甲和丙中选择一人参加比赛，
再比较方差：丙甲，
选择甲参赛，
故选：．
【点评】本题考查的是方差，熟练掌握方差的性质是解题的关键．
3．（3分）将一元二次方程配方后所得的方程是
A．B．C．D．
【分析】利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
4．（3分）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是
A．B．C．D．
【分析】把点坐标代入函数解析式可求得，再把选项中所给点的坐标代入进行判断即可
【解答】解：点在的图象上，
，
，故选项不符合题意，
，故选项不符合题意，
，故选项不符合题意，
，故选项符合题意，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
5．（3分）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为
A．B．C．4D．16
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
所以△，
解得．
故选：．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
6．（3分）电路上在电压保持不变的条件下，电流（A）与电阻成反比例关系，与的函数图象如图，关于函数解析式是
A．B．C．D．
【分析】根据电压电流电阻得到稳定电压的值，让即可．
【解答】解：当，时，
电压，
．
故选：．
【点评】考查列反比例函数关系式，关键是根据题中所给的值确定常量电压的值．
7．（3分）如果，则
A．B．C．D．
【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】此题考查了比例的基本性质．此题比较简单，注意熟记比例变形．
8．（3分）如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则
A．B．C．D．
【分析】如图，取格点，连接．构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可．
【解答】解：如图，取格点，连接．
由题意：，，，
，
故选：．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．（3分）淇淇在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式：．关于这组数据，下列说法正确的是
①平均数是4；
②中位数是4；
③众数是5；
④样本容量是3．
A．①②B．③④C．①③D．②④
【分析】根据已知的方差计算公式得出这组数据为2、4、5、5，再根据中位数，众数，平均数的概念求解即可．
【解答】解：由题意可知这组数据为2、4、5、5，
平均数为，故①正确；
中位数为，故②错误；
出现的次数最多，
众数为5，故③正确；
共有4个数，样本容量是4，故④错误；
故选：．
【点评】本题主要考查方差，中位数，众数，平均数的定义以及总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是根据数据的信息进行解答．
10．（3分）如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为 米．
A．B．C．D．
【分析】根据正弦的定义进行解答即可．
【解答】解：，
，
故选：．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
11．（2分）对于反比例函数，下列说法正确的是
A．图象经过点B．图象位于第一、三象限
C．随的增大而增大D．当时，
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：、当时，，图象不经过点点，故选项不符合题意；
、，故该函数图象位于第二、四象限，故选项不符合题意；
、在每个象限内，随的增大而增大，故选项不符合题意；
、当时，，时，
当时，，故选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．（2分）如图，已知△，，，．将△沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与△不相似的是
A．B．
C．D．
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【解答】解：、，，
△△，
故不符合题意；
、，，
△△，
故不符合题意；
、由图形可知，，
，
，，
，
又，
△△，
故不符合题意；
、由已知条件无法证明△与△相似，
故符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
13．（2分）在平面直角坐标系中，，，现以原点为位似中心画出，使与相似比为，则的对应点的坐标为
A．B．
C．或D．或
【分析】利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的的横纵坐标都乘以或得到的对应点的坐标．
【解答】解：以原点为位似中心画出，使与相似比为，
而，
的对应点的坐标为，或，，
即或．
故选：．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
14．（2分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面
A．B．C．D．
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解答】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为，
，
，即相似比为，
，
，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
15．（2分）如图，平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，若△的面积为4，则的值为
A．8B．C．4D．
【分析】设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，根据三角形的面积公式得到，即可求出．
【解答】解：轴，
，两点纵坐标相同，
设，，则，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．
16．（2分）如图，在△中，，于，，下列说法正确的个数是
①；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】结合直角三角形的性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出△△，根据相似三角形的性质求出，即可判断①；再根据勾股定理求出，，即可判断②；再根据锐角三角函数定义判断③④．
【解答】解：，
，
，
，
，
△△，
，
即，
故①正确，符合题意；
设，则，
，
（负值已舍），
，，
，
故②正确，符合题意；
，，
，
故③正确，符合题意；
，
（负值已舍），
，
故④错误，不符合题意；
故选：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共3小题，17，18每小题3分，19小题每空2分，共10分）
17．（3分）已知为锐角．若，则 60 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：，
．
故答案为：60．
【点评】本题考查特殊角三角函数值，熟记各特殊角三角函数值是解题的关键．
18．（3分）如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 1.6 ．
【分析】根据题意，相似比为，则，即可．
【解答】解：五边形与五边形相似，且相似比为，，
，
，
故答案为：1.6．
【点评】本题考查相似多边形的知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质．
19．（4分）如图，是△的中线．
①若为的中点，射线交于点，则的值为 ；
②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为 ．
【分析】①过点作于点，根据平行线分线段成比例可得，，再由是△的中线，为的中点，可得，，即可求解；
②根据，可得，再由，可得，即可求解．
【解答】解：①过点作于点，
，，
是△的中线，
，
，即，
为的中点，
，
，即，
，
，
；
故答案为：；
②，，
，即，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共68分.）
20．（12分）（1）解方程；
（2）解方程；
（3）计算；
（4）计算．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）将特殊锐角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则依次计算即可；
（4）将特殊锐角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则依次计算即可．
【解答】解：（1），
，
或，
，；
（2），
，
或，
，；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点评】本题主要考查实数的运算和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法，并熟记特殊锐角的三角函数值是解题的关键．
21．（8分）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数情况，绘制成条形图（图和不完整的扇形图（图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分．
（1）条形图中被遮盖的数是 9 ，册数的中位数是 ；
（2）如果全校一共有2400人，估计全校读书人数超过5册的一共有多少人；
（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了 人．
【分析】（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数；根据中位数的定义求解即可；
（2）利用样本估计总体即可；
（3）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数．
【解答】解：（1）抽查的学生总数为（人，
读书为5册的学生数为（人，
所以条形图中被遮盖的数为9，
被抽查的学生读书册数的中位数是第12、13个数据的平均数，而第12、13个数据均为5册，
被抽查的学生读书册数的中位数为5册；
故答案为：9，5册；
（2）（人，
估计全校读书人数超过5册的一共有1000人；
（3）因为4册和5册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了3人．
故答案为：3．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（8分）如图，在△中，是边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，△的面积为9，求△的面积．
【分析】（1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可证明△△，即得出；（2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解．
【解答】（1）证明：，，
△△，
；
（2）解：，，△的面积为9，
，
．
，
△的面积．
【点评】本题考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
23．（8分）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元．
（1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【分析】（1）设这个降价率为，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设每千克应涨价元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设这个降价率为，
依题意，得：，
解得：，（舍去）．
答：这个降价率为．
（2）设每千克应涨价元，则每天可售出千克，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
要使顾客得到实惠，
．
答：每千克应涨价5元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（8分）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔100海里的处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔的北偏东方向上的避风港处．
（1）问避风港处距离灯塔有多远？（结果保留根号）
（2）如果轮船的航速是每小时20海里，通过计算说明轮船能否在台风到来前赶到避风港处．（参考数据：
【分析】（1）作，根据正弦的定义求出，根据直角三角形的性质求出；
（2）根据路程速度时间与7比较即可得到结论．
【解答】解：过点作于，
在△中，，
（海里），
在△中，，
（海里），
答：处距离灯塔有海里；
（2）海里，
（海里），
海里，，
，
海里，
轮船的航速是每小时20海里，
，
轮船能在台风到来前赶到避风港处．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系得出线段的长是解题关键．
25．（11分）如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接，，求△的面积；
（3）当时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）先利用一次函数求出，得到点坐标为，然后把点坐标代入求出，从而得到反比例函数解析式；
（2）联立方程求得点的坐标，根据求得即可；
（3）根据、的坐标结合图象即可求出答案．
【解答】解：（1）把代入得，
所以点坐标为，
把代入为常数且得，
所以反比例函数解析式为；
（2）解得或，
；
在中，令，则，
，
，
；
（3）两函数的交点的坐标是，的坐标是，
当时，自变量的取值范围是或．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了三角形的面积．
26．（13分）如图，在△中，，，，点从点出发，沿折线向点以每秒1个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒．
（1） 8 ， ；
（2）当点在上时，若，求的正弦值；
（3）当点到直线的距离是4时，求的值；
（4）过点作，交于点．当时，请直接写出的长度．
【分析】（1）根据三角函数求解即可；
（2）过点作于点，求出和的长度，即可求出的正弦值；
（3）分点在上时和点在上时两种情况进行讨论即可；
（4）分点在上时和点在上时两种情况进行讨论即可．
【解答】解：（1），，，
，
，
，
故答案为：8；10；
（2）过点作于点，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
；
（3）①当点在上时，，
，
，
，
；
②当点在上时，，
，
，
，
，
；
综上所述：当点到直线的距离是4时，的值为5或；
（4）①当点在上时，，
，
，
，
；
②当点在上时，过点作于点，
，，
，，
，，
，
设，则，
，
△△，
，
，
，
；
综上所述：或．
甲
乙
丙
丁
平均数
190
180
190
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
B
D
C
A
C
C
C
D
D
题号
12
13
14
15
16
答案
D
C
C
A
C
甲
乙
丙
丁
平均数
190
180
190
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1