2024-2025学年河北省石家庄四十三中九年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄四十三中九年级（上）期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）甲、乙、丙三支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，则身高最整齐的游泳队是
A．甲B．乙C．丙D．无法确定
2．（3分）一元二次方程的两根分别为和，则的值为
A．3B．4C．D．没有实数根
3．（3分）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：
A．B．C．D．
4．（3分）一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为
A．16B．18C．20D．22
5．（3分）将抛物线向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是
A．B．C．D．
6．（3分）如图，点是的内心，若，则等于
A．B．C．D．
7．（3分）若一元二次方程的解为，，在函数上有两点，，则
A．B．C．D．无法确定
8．（3分）如图，四边形内接于．若四边形是菱形，则的度数为
A．B．C．D．
9．（3分）为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．则下列说法中错误的是
A．这一函数的表达式为
B．当气体体积为时，气体的压强值为
C．当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小
D．若注射器内气体的压强不能超过，则其体积不能超过
10．（3分）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是
A．B．
C．D．随直线的变化而变化
11．（3分）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如表：
则如下结论错误的是
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线与轴的交点坐标为
D．当时，随的增大而减小
12．（3分）对于题目“已知及圆外一点，如何过点作出的切线？”甲、乙的作法如图．
下列说法正确的是
A．甲和乙的作法都正确
B．甲和乙的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误
D．乙的作法正确，甲的作法错误
二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分,共12分)
13．（3分） ．
14．（3分）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的边心距为 ．
15．（3分）如图，矩形内接于△（矩形各顶点在三角形边上），，在上，，分别在，上，且于点，交于点．，，设，矩形的面积为，则与之间的函数表达式为 ；当 时，有最大值 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，放置一个等腰△纸片，，边与轴重合，点坐标为，若反比例函数与边交于点，与边交于点．
（1）当点为中点时，则的值为 ；
（2）将如图放置的△纸片的沿过点的直线翻折，当点落到中点时， ；
（3）若双曲线与折线、所围成的区域内（含边界）有2个横纵坐标都是整数的点，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）已知二次函数．
（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）画出此函数的图象（描5个点即可）；
（3）当时，我用图象直接写出的取值范围： ；
（4）当时，利用图象直接写出的取值范围： ．
18．（10分）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用，，，表示，并将测试结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题；
（1）本次抽取的学生共有 人，扇形统计图中所对应扇形的圆心角是 ，并把条形统计图补充完整；
（2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是 分，中位数是 分，平均数是 分；
（3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有 人；
（4）等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
19．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于和两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△面积；
（3）在第一象限内，当一次函数的值大于反比例函数的值时，直接写出自变量的取值范围．
20．（8分）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点和．
（1）求证：点为的中点．
（2）若，，求半径．
21．（8分）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条，”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：与刹车后行驶的时间（单位：之间是二次函数关系；
②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若汽车刹车后，行驶了多长距离；
（3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立即刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
22．（9分）风力发电是风靡全球的自然能源应用绿色设备，在我国应用更加广泛．如图是某风力发电设备示意图，其相同的三个叶片均匀分布，水平地面上的点在旋转中心的正下方．某一时刻，太阳光线恰好与扇叶、在同一平面上，在地上设置高的标杆影长．此时太阳光垂直照射叶片（如图，整个风力发电设备的影子最长达到．已知风力发电杆高为，求扇叶的长和此时点到地面的距离．
23．（10分）如图，一小球从斜坡上的点处抛出，建立如图所示的平面直角坐标系，球的抛出路线是抛物线的一部分，斜坡可以看作直线的一部分．若小球经过点，解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴；
（2）小球在斜坡上的落点为，求点的坐标；
（3）在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
（4）直接写出小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．
24．（10分）已知是的边上一点，，，点是射线上一点，连接，经过点，且与相切于点，与边相交于另一点．
（1）当圆心在射线上时（如图，此时 ，的半径是 ；
（2）当时（如图，求出圆心到直线的距离；
（3）当圆心到直线的距离是1时，直接写出的值；
（4）当与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
2024-2025学年河北省石家庄四十三中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）甲、乙、丙三支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，则身高最整齐的游泳队是
A．甲B．乙C．丙D．无法确定
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．据此解答即可．
【解答】解：，
，
则身高最整齐的游泳队是乙，
故选：．
【点评】本题主要考查了方差的意义，掌握方差的性质是解题的关键．
2．（3分）一元二次方程的两根分别为和，则的值为
A．3B．4C．D．没有实数根
【分析】根据根与系数的关系求解即可．
【解答】解：由题意可得：，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，若，是一元二次方程的两个根，则．
3．（3分）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：
A．B．C．D．
【分析】根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：图中的管道中心线的长为，
故选：．
【点评】本题考查了弧长的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，圆心角为，半径为的弧的长度是．
4．（3分）一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为
A．16B．18C．20D．22
【分析】根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复试验中事件发生的频率等于事件发生的概率求解即可．
【解答】解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.2附近，
估计摸到白球的概率为0.2，
共有小球（个，
估计袋子里黑球的个数为（个．
故选：．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5．（3分）将抛物线向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是
A．B．C．D．
【分析】直接根据函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：抛物线向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
6．（3分）如图，点是的内心，若，则等于
A．B．C．D．
【分析】根据三角形内角和定理得到，根据内心的概念得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：，
，
点是的内心，
，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键．
7．（3分）若一元二次方程的解为，，在函数上有两点，，则
A．B．C．D．无法确定
【分析】把，代入一元二次方程中，得，再把函数转化成顶点式，找出对称轴，最后根据二次函数的对称性即可得到答案．
【解答】解：把，代入一元二次方程中，得，
函数，
函数图象的对称轴为：直线，
，图象开口向上，
到对称轴的距离为：，
到对称轴的距离为：，
，
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，解题的关键是理解题意熟练掌握二次函数图象的对称性．
8．（3分）如图，四边形内接于．若四边形是菱形，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】设的度数，的度数，由题意可得，求出即可解决问题．
【解答】解：设的度数，的度数；
四边形是菱形，
；
，；而，
，
解得：，，，
故选：．
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
9．（3分）为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．则下列说法中错误的是
A．这一函数的表达式为
B．当气体体积为时，气体的压强值为
C．当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小
D．若注射器内气体的压强不能超过，则其体积不能超过
【分析】利用待定系数法解得函数解析式，即可判断选项；
将代入函数解析式并求解，即可判断选项；
由函数图象的增减性，即可判断选项；
求得当时气体体积的值，结合函数图象即可判断选项．
【解答】解：．设，由题意知，
所以，即，故该选项正确，不符合题意；
．当时，，
所以，气球内气体的气压是，故该选项正确，不符合题意；
．由函数图象可知，气体的压强随着气体体积增大而减小，可知该选项正确，不符合题意；
．当时，，
所以，为了安全起见，气体的体积应不小于，故该选项错误，符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
10．（3分）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是
A．B．
C．D．随直线的变化而变化
【分析】设△与相切于点，，，与相切于点，则，，，，，然后三角形的周长公式和等线段代换即可得到结论．
【解答】解：如图，设△与相切于点，，，与相切于点，
，，，，，
三角形纸片的周长是
，
，
，
，
，
，
三角形纸片的周长是，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理．
11．（3分）二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如表：
则如下结论错误的是
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线与轴的交点坐标为
D．当时，随的增大而减小
【分析】由表格中的数据可知抛物线经过点，，，根据待定系数法求出，然后通过二次函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：根据表格中的数据可知：
，解得：，
，
、，，
抛物线的开口向上，原选项正确，不符合题意；
、，
抛物线的对称轴是直线，原选项正确，不符合题意；
、在函数中，当时，，
抛物线与轴的交点坐标为，原选项错误，符合题意；
、由上得抛物线的对称轴是直线，，
抛物线的开口向上，
当时，随的增大而减小，原选项正确，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．（3分）对于题目“已知及圆外一点，如何过点作出的切线？”甲、乙的作法如图．
下列说法正确的是
A．甲和乙的作法都正确
B．甲和乙的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误
D．乙的作法正确，甲的作法错误
【分析】对于甲的作法，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确．
【解答】解：对于甲的作法：
由作法得垂直平分，
，
点为以为直径的圆与的交点，
，
，
为的切线，所以甲的作法正确；
对于乙的作法：
由作法得，，
，
，
，
为的切线，所以乙的作法正确；
故选：．
【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和切线的判定方法．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分,共12分)
13．（3分） ．
【分析】代入特殊角度的三角函数值计算即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是关键．
14．（3分）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的边心距为 ．
【分析】根据正六边形的性质以及勾股定理进行计算即可．
【解答】解：如图，连接，，过点作于点，
由题意可得：，，，
△是等边三角形，
，
，
，
在△中，，，
，
它的边心距为．
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及勾股定理是解题的关键．
15．（3分）如图，矩形内接于△（矩形各顶点在三角形边上），，在上，，分别在，上，且于点，交于点．，，设，矩形的面积为，则与之间的函数表达式为 ；当 时，有最大值 ．
【分析】证明△△，由相似三角形的性质可得，表达出与的关系，进而求出矩形的面积与之间的函数关系式，进而解答．
【解答】解：四边形是矩形，
，
△△，
，
，
，
，
当时，有最大值．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，放置一个等腰△纸片，，边与轴重合，点坐标为，若反比例函数与边交于点，与边交于点．
（1）当点为中点时，则的值为 2 ；
（2）将如图放置的△纸片的沿过点的直线翻折，当点落到中点时， ；
（3）若双曲线与折线、所围成的区域内（含边界）有2个横纵坐标都是整数的点，则的取值范围是 ．
【分析】（1）作于点，求出，得到点的坐标，利用中点坐标公式求出点的坐标即可求解；
（2）求出点的坐标，求出直线的解析式，设，利用勾股定理求出的值，进而可求出的值；
（3）数形结合，找出临界点求出的值即可．
【解答】解：（1）作于点，
点坐标为，，
，
由条件可知，
，
，，
，
，，
，
，
反比例函数的表达式为，
故答案为：；
（2）如图，点落在上中点处，连接．
由（1）可知，，
，
由条件可知，
设直线的解析式为，
把点和点的坐标代入，
解得，
直线的解析式为，
设，
，
，
解得：
，
，
，
故答案为：；
（3）点坐标为，，
若双曲线与折线、所围成的区域内（含边界）有2个横纵坐标都是整数的点，则这两个点一定是点和点，
把代入得，把代入得，
．
故答案为：．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）已知二次函数．
（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）画出此函数的图象（描5个点即可）；
（3）当时，我用图象直接写出的取值范围： ；
（4）当时，利用图象直接写出的取值范围： ．
【分析】（1）由二次函数解析式进行配方化为顶点式，从而求解；
（2）根据列表，描点，连线的方法即可出图象；
（3）根据图象即可求出的取值范围；
（4）根据图象即可求出的取值范围．
【解答】解：（1）由二次函数解析式，
此函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）列表：
函数图象如图，
（3）根据图象可知：的取值范围；
（4）根据图象可知：的取值范围是或，
故答案为：或．
【点评】本题考查求二次函数解析式，画二次函数图象，根据二次函数与不等式的关系结合图象求解，解题的关键是掌握二次函数的性质．
18．（10分）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用，，，表示，并将测试结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题；
（1）本次抽取的学生共有 40 人，扇形统计图中所对应扇形的圆心角是 ，并把条形统计图补充完整；
（2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是 分，中位数是 分，平均数是 分；
（3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有 人；
（4）等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
【分析】（1）由等级人数除以所占百分比可得总人数，即可解决问题；
（2）根据众数、中位数和平均数的定义分别进行解答即可；
（3）用该校的总人数乘以书写能力等级达到优秀的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的有6种情况，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽取的学生人数共有：（人，
扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是，
等级人数为（人，
故答案为：40，36，
补全条形图如下：
（2）分出现的次数最多，出现了16次，
众数是70分；
在这40个数据中，中位数为第20、21个数据的平均数，
则中位数为（分，
平均数为：（分；
故答案为：70，70，66.5；
（3）书写能力等级达到优秀的学生大约有（人，
故答案为：280；
（4）画树状图为：
共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的有6种情况，
被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率为．
【点评】本题考查了树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图等知识，正确画出树状图是解题的关键，解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比．
19．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于和两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△面积；
（3）在第一象限内，当一次函数的值大于反比例函数的值时，直接写出自变量的取值范围．
【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）用△的面积分别减去△和△的面积即可解决问题．
（3）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【解答】解：（1）将点代入得，
，
解得，
所以点的坐标为．
将点坐标代入得，
，
所以反比例函数的表达式为．
（2）两直线与轴和轴的交点分别为和，
将点坐标代入得，
，
所以点坐标为．
将代入得，
，
所以点的坐标为，
同理可得，点的坐标为，
所以，，
所以．
（3）由函数图象可知，
在第一象限内，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
所以自变量的取值范围是．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
20．（8分）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点和．
（1）求证：点为的中点．
（2）若，，求半径．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理即可解答；
（2）利用垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
点为的中点；
（2）解：，
，
在中，，
，
，
，
的半径为10．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键．
21．（8分）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条，”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：与刹车后行驶的时间（单位：之间是二次函数关系；
②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若汽车刹车后，行驶了多长距离；
（3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立即刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出关于的函数解析式；
（2）将代入（1）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离；
（3）求出（1）中函数的最大值，与比较，即可解决问题．
【解答】解：（1）设，将，，代入得：
，
解得，
关于的函数解析式为：，
（2）关于的函数解析式为，
当时，，
答：汽车刹车后，行驶了；
（3）该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车；理由如下：
，
当时，汽车停下，行驶了，
，
该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
22．（9分）风力发电是风靡全球的自然能源应用绿色设备，在我国应用更加广泛．如图是某风力发电设备示意图，其相同的三个叶片均匀分布，水平地面上的点在旋转中心的正下方．某一时刻，太阳光线恰好与扇叶、在同一平面上，在地上设置高的标杆影长．此时太阳光垂直照射叶片（如图，整个风力发电设备的影子最长达到．已知风力发电杆高为，求扇叶的长和此时点到地面的距离．
【分析】过点作，交于点，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，根据同一时刻物高与影长成正比例可得，从而可得，再在中，利用勾股定理求出，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，再证明一线三等角相似，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点作，交于点，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，
由题意得：，，，
高的标杆影长，
，
，
解得：，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
扇叶的长为，此时点到地面的距离为．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（10分）如图，一小球从斜坡上的点处抛出，建立如图所示的平面直角坐标系，球的抛出路线是抛物线的一部分，斜坡可以看作直线的一部分．若小球经过点，解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的对称轴；
（2）小球在斜坡上的落点为，求点的坐标；
（3）在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
（4）直接写出小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．
【分析】（1）把点代入，求出的值，再把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）联立得：即可求解；
（3）把分别代入，和，即可求解；
（4）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）把点代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
，
抛物线的对称轴为直线；
（2）联立得：，
解得：或，
点的坐标为；
（3）小球能飞过这棵树，理由如下：
当时，
对于，，
对于，，，
小球能飞过这棵树；
（4）根据题意得：小球在飞行的过程中离斜坡的距离为，
，
小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为．
【点评】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键．
24．（10分）已知是的边上一点，，，点是射线上一点，连接，经过点，且与相切于点，与边相交于另一点．
（1）当圆心在射线上时（如图，此时 90 ，的半径是 ；
（2）当时（如图，求出圆心到直线的距离；
（3）当圆心到直线的距离是1时，直接写出的值；
（4）当与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）根据圆心在射线上，与相切于点，则，由，设，则，然后由勾股定理即可求解；
（2）当时，连接，作于，作于，由，同（1）理得：，，然后证明△△，再根据相似三角形的性质即可求解；
（3）连接，作于，作于，由，同（1）理得：，，然后证明，再根据相似三角形的性质即可求解；
（4）连接，，交于点，找出临界点，当与线段只有一个公共点时，即与相切，又与相切，可证垂直平分，则，由，同（1）理得，故，从而当与线段只有一个公共点时，．
【解答】解：（1）圆心在射线上，与相切于点，
，
，
，
设，则，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
解得：（负值已舍去），
，
的半径是3，
故答案为：90，3；
（2）如图，当时，连接，作于，作于，
，，
，
由，同（1）理得：，，
，
是的切线，
，
，
，
，
△△，
，即，
，
圆心到直线的距离为；
（3）当圆心到直线的距离是1时，如图，连接，作于，作于，
，，
，
由，同（1）理得：，，
，
是的切线，
，
，
，
，
△△，
，即，
整理得：，
（负值已舍去）；
（4）当与线段只有一个公共点时，如图，连接，，交于点，
与相切，此时与重合，
，
与相切，
，
，
垂直平分，
，
由，同（1）理得：，
，
当线段时，与线段有两个交点，当与线段只有一个公共点时，．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了切线的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/14 15:28:25；用户：姜炜；邮箱：[email protected]；学号：378019910
1
2
3
0
0
甲的作法
连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线．直线即为所求．
乙的作法
连接并延长，交于，两点，分别以，为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点，作直线，直线即为所求．
刹车后行驶的时间
0
1
2
3
刹车后行驶的距离
0
27
48
63
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
B
B
A
A
D
C
B
D
C
C
题号
12
答案
A
0
1
2
3
0
0
甲的作法
连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线．直线即为所求．
乙的作法
连接并延长，交于，两点，分别以，为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点，作直线，直线即为所求．
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4
5
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3
3
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刹车后行驶的时间
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2
3
刹车后行驶的距离
0
27
48
63