2024-2025学年河北省石家庄四十中九年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄四十中九年级（上）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了单选题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，主视图和左视图一样的是
A．B．C．D．
2．（3分）下列方程中是一元二次方程的是
A．B．C．D．
3．（3分）如图，，若，，，则的长度是
A．B．C．3D．2
4．（3分）对于反比例函数，下列说法正确的是
A．图象经过点B．图象位于第二、四象限
C．图象是中心对称图形D．当时，随的增大而增大
5．（3分）某校九年级，，三个班的一次数学测试成绩的统计量如上表：已知，，三个班人数相同，请根据如表数据，判断哪个班的成绩较好且更稳定
A．班B．班C．班D．无法判断
6．（3分）如图，四边形内接于，若，则
A．B．C．D．
7．（3分）若二次函数的部分图象如图所示，则方程的解是
A．B．或C．，D．，
8．（3分）如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是
A．B．C．D．
9．（3分）如图所示，在的网格中，，，，，均在格点上，则点是
A．的外心B．的内心C．的内心D．的外心
10．（3分）如图是一个二次函数的图象，下列说法正确的个数是
（1）它的开口向上；
（2）若点，均在该二次函数图象上，则；
（3）当时，的值随值的增大而减小；
（4）函数有最大值8；
（5）与轴的两个交点坐标分别是，；
（6）函数图象不过第二、三象限．
A．2个B．3个C．4个D．5个
11．（3分）从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度（单位：与小球运动时间（单位：之间的函数关系式为，若后抛出的小球经过比先抛出的小球高，则抛出两个小球的间隔时间是 ．
A．1B．1.5C．2D．2.5
12．（3分）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①；②垂直平分线段；③；④若，则．其中正确的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，13-15每题3分，16题4分，共13分）
13．（3分）已知2是方程的一个根，则另一个根为 ．
14．（3分）如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系的第二象限内，两个“”字是位似图形，位似中心点，①号“”与②号“”的相似比为，点与为一组对应点，若点坐标为，则点的坐标为 ．
15．（3分）图中扇形纸片的圆心角为，半径为．圆锥母线长为，底面半径为．小赵同学将扇形纸片贴合在圆锥侧面上，发现有一部分空缺（图中阴影部分），要填补缺口，还需要剪出一张半径为，圆心角为 扇形纸片．
16．（4分）如图，正六边形的面积为6，以顶点为旋转中心，将正六边形按顺时针方向旋转，使得的对应点落在直线上，则正六边形至少旋转 度，此时，两个正六边形重合部分面积为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共71分）
17．（8分）已知在数轴上点，，对应的数分别为，，．
（1）如图1是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，其相对面上的两个数互为相反数，并且图2中，点为线段的中点，则 ， ， ；
（2）在（1）的条件下，若点，沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为2个单位长度秒，点速度为1个单位长度秒．设运动时间为秒，运动过程中，当为的中点时，求的值．
18．（9分）某校开展了摄影、书法、绘画、表演、手工五类社团活动．为了解学生参与情况，随机抽取了部分学生进行调查（要求每人从五个类别中选且只选一个），并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，请将条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中，“摄影”所占的百分比为 ，“手工”所对应的圆心角的度数为 ．
（3）若该校共有1200名学生，请估计选择“绘画”的学生人数．
（4）学校打算从表演社团中抽取4名同学分为2组参加公演，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中九年级2名同学在同一组的概率．
19．（9分）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 ；
（2）小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
20．（9分）一次函数与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，图象与直线在第三象限相交于点，连接、．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点的横坐标为，
①求△的面积；
②请结合函数图象，直接写出不等式的解集；
21．（9分）如图，甲、乙两位旅游爱好者都从点出发，走不同路线探险，并约定在点处会合．甲从点出发先沿着正东方向行走到达点处，再沿着正北方向行走到达点；乙亦从点出发，沿着东北方向行走到点处，再由点处沿着南偏东方向行走到达点，与甲会合．
（1）求点到的距离；
（2）为方便联系，甲、乙两人各携带一部对讲机，对讲机信号覆盖半径是1200米，当甲在点处，乙恰好在点处，此时乙能否收到甲的对讲机信号？请说明理由．
22．（9分）筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示2，筒车按逆时针方向转动，每绕一圈需要，筒车与水面分别交于、，且，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
（1）求筒车的半径；
（2）盛水桶从刚浮出水面绕到离水面最高点时，求它走过的路径长；
（3）拟修建接水槽，盛水桶绕至接水槽后自然翻落，水沿着接水槽流入农田．所在直线与相切，当盛水桶从浮出水面至绕到上用时时，求接水槽的长．
23．（9分）综合与实践
问题情境
在综合实践课上，同学们以“矩形的旋转”为主题开展学习探究活动．如图1，在矩形中，，，在矩形中，，，点在上．
（1）探究发现
连接、，如图2，猜想与之间的位置关系，并说明理由；
（2）将矩形绕点顺时针旋转到如图3的位置，连接、，请求出的值；
（3）解决问题
将矩形绕点旋转，当点在落在直线上时，直接写出线段的长 ．
24．（9分）如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标．
（3）如图（2），将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点．
①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标；
②在点的运动过程中，求线段的最大值．
2024-2025学年河北省石家庄四十中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、单选题（本大题共12个小题，每题3分，共36分）
1．（3分）下列图形中，主视图和左视图一样的是
A．B．C．D．
【分析】根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可．
【解答】解：．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
．主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
．主视图和左视图相同，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的关键．
2．（3分）下列方程中是一元二次方程的是
A．B．C．D．
【分析】根据一元二次方程的定义，对选项逐个分析即可．
【解答】解：、是一元一次方程，选项错误，不符合题意；
、是二元一次方程，选项错误，不符合题意；
、是一元二次方程，选项正确，符合题意；
、是分式方程，选项错误，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3．（3分）如图，，若，，，则的长度是
A．B．C．3D．2
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：，
，
，，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．（3分）对于反比例函数，下列说法正确的是
A．图象经过点B．图象位于第二、四象限
C．图象是中心对称图形D．当时，随的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：、，点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
、，反比例函数的图象在一、三象限，故本选项错误；
、函数是反比例函数，此函数的图象是中心对称图形，故本选项正确；
、，此函数在每一象限内随的增大而减小，故本选项错误．
故选：．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键，即反比例函数的性质：
（1）反比例函数的图象是双曲线；
（2）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；
（3）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
5．（3分）某校九年级，，三个班的一次数学测试成绩的统计量如上表：已知，，三个班人数相同，请根据如表数据，判断哪个班的成绩较好且更稳定
A．班B．班C．班D．无法判断
【分析】根据平均数、方差的意义进行判断即可．
【解答】解：由于班平均数为92.95，较班高，而方差为38.89，较班小，稳定，
所以成绩好且稳定的是班，
故选：．
【点评】本题考查平均数、方差，理解平均数、方差的意义是正确判断的前提．
6．（3分）如图，四边形内接于，若，则
A．B．C．D．
【分析】先由圆内接四边形对角互补求出的度数，再由圆周角定理可得．
【解答】解：四边形内接于，
则，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，关键是圆内接四边形性质的应用．
7．（3分）若二次函数的部分图象如图所示，则方程的解是
A．B．或C．，D．，
【分析】由二次函数的图象得到抛物线与轴的交点坐标和对称轴，可以求出另一交点坐标，而所求的方程其实质上是二次函数解析式中的得出的方程，此时方程的解即为二次函数图象与轴交点的横坐标，进而得到方程的解．
【解答】解：由二次函数的图象可知：
抛物线与轴的交点坐标为，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一交点坐标为，
一元二次方程的解是，．
故选：．
【点评】此题考查了抛物线与轴的交点，利用了数形结合的数学思想，其中抛物线与轴的交点的横坐标即为抛物线解析式中得到关于的一元二次方程的解，熟练掌握此性质是解本题的关键．
8．（3分）如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是
A．B．C．D．
【分析】根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可．
【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即．
故选：．
【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．
9．（3分）如图所示，在的网格中，，，，，均在格点上，则点是
A．的外心B．的内心C．的内心D．的外心
【分析】根据网格利用勾股定理得出，进而判断即可．
【解答】解：由勾股定理可知：
，
所以点是的外心，
故选：．
【点评】此题考查三角形的外接圆与外心问题，关键是根据勾股定理得出．
10．（3分）如图是一个二次函数的图象，下列说法正确的个数是
（1）它的开口向上；
（2）若点，均在该二次函数图象上，则；
（3）当时，的值随值的增大而减小；
（4）函数有最大值8；
（5）与轴的两个交点坐标分别是，；
（6）函数图象不过第二、三象限．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据所给函数图象，可知抛物线的开口方向、顶点坐标、与轴的交点坐标，据此可解决问题．
【解答】解：观察函数图象可知，
抛物线的开口向下，
故（1）错误．
观察函数图象可知，
因为，
所以点，关于直线对称，
又因为抛物线的对称轴为直线，
所以．
故（2）正确．
由函数图象可知，
当时，函数图象是下降的，
即的值随的值的增大而减小．
故（3）正确．
因为抛物线的开口向下，且顶点坐标为，
所以函数有最大值8．
故（4）正确．
由函数图象可知，
抛物线与轴的交点坐标为和．
故（5）错误．
因为抛物线是左下方和右下方无限延伸的，
所以抛物线经过第一、三、四象限．
故（6）错误．
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象与轴交点及二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
11．（3分）从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度（单位：与小球运动时间（单位：之间的函数关系式为，若后抛出的小球经过比先抛出的小球高，则抛出两个小球的间隔时间是 ．
A．1B．1.5C．2D．2.5
【分析】把代入，求得，当时，解方程即可得到结论．
【解答】解：把代入，得，，
当时，即，
解得：或（不合题意舍去），
抛出两个小球的间隔时间是，
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题关键．
12．（3分）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①；②垂直平分线段；③；④若，则．其中正确的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质结合①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断③的错误；利用相似三角形的判定与性质可以判断④的正确．
【解答】解：由题意得：，为的平分线，
，，
，
为等边三角形，
为的垂直平分线，
，故①的结论正确；
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
垂直平分线段，故②的结论正确；
，，
，
．
，
，
，故③的结论错误；
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，故④的结论错误，
综上所述，结论正确的有①②，
故选：．
【点评】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，角平分线，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，13-15每题3分，16题4分，共13分）
13．（3分）已知2是方程的一个根，则另一个根为 3 ．
【分析】设另一个根为，根据两根之积得出，即可求出另一个根．
【解答】解：设另一个根为，
由根与系数的关系得，，
解得，
即另一个根为3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，设，是一元二次方程的两个根，则，．
14．（3分）如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系的第二象限内，两个“”字是位似图形，位似中心点，①号“”与②号“”的相似比为，点与为一组对应点，若点坐标为，则点的坐标为 ．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：两个“”字是位似图形，位似中心点，①号“”与②号“”的相似比为，点坐标为，
点的坐标为，即，
故答案为：．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
15．（3分）图中扇形纸片的圆心角为，半径为．圆锥母线长为，底面半径为．小赵同学将扇形纸片贴合在圆锥侧面上，发现有一部分空缺（图中阴影部分），要填补缺口，还需要剪出一张半径为，圆心角为 扇形纸片．
【分析】设圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，解得，然后计算即可．
【解答】解：设圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为，
根据题意得，
解得，
即圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为，
因为，
所以需要剪出一张半径为，圆心角为的扇形纸片．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．（4分）如图，正六边形的面积为6，以顶点为旋转中心，将正六边形按顺时针方向旋转，使得的对应点落在直线上，则正六边形至少旋转 60 度，此时，两个正六边形重合部分面积为 ．
【分析】根据正六边形的性质求出其外角的度数即可，再根据旋转后重合部分与正六边形之间的关系得出答案即可．
【解答】解：如图，将正六边形绕着点顺时针方向旋转时，点的对应点落在直线上，
，
，
即正六边形至少旋转点的对应点落在直线上，
旋转后，由正六边形的性质可知，点是正六边形的中心，
连接，，，，
两个正六边形重合部分的面积占正六边形面积的，
即，
故答案为：60；2．
【点评】本题考查正多边形和圆，旋转的性质，掌握正六边形的性质以及旋转的性质是正确解答的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共71分）
17．（8分）已知在数轴上点，，对应的数分别为，，．
（1）如图1是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，其相对面上的两个数互为相反数，并且图2中，点为线段的中点，则 ， ， ；
（2）在（1）的条件下，若点，沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为2个单位长度秒，点速度为1个单位长度秒．设运动时间为秒，运动过程中，当为的中点时，求的值．
【分析】（1）根据正方体展开图相对面“同行、同列间隔一个正方形或字型的首尾端为相对面”的特点进行分析即可求解，的值，根据数轴上中点的计算方法即可求解的值；
（2）用含的式子表示运动秒后点，表示的数，运用中点的计算方法列一元一次求解即可．
【解答】解：（1）如图1是一个正方体的表面展开图，且正方体的每一个面都有一个有理数，其相对面上的两个数互为相反数，
与7，6与，与是相对面，
，；
数轴上点，，对应的数分别为，，，点为线段的中点，
，
．
故答案为：，3，；
（2）当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，
根据题意得：，
解得：．
答：当为的中点时，的值为5．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、相反数以及正方体相对两个面上的文字，（1）找出图1中的相对面；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
18．（9分）某校开展了摄影、书法、绘画、表演、手工五类社团活动．为了解学生参与情况，随机抽取了部分学生进行调查（要求每人从五个类别中选且只选一个），并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 60 名学生，请将条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中，“摄影”所占的百分比为 ，“手工”所对应的圆心角的度数为 ．
（3）若该校共有1200名学生，请估计选择“绘画”的学生人数．
（4）学校打算从表演社团中抽取4名同学分为2组参加公演，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中九年级2名同学在同一组的概率．
【分析】（1）根据绘画类的人数和所占的百分比，得出本次调查的学生人数，即可解决问题；根据手工类所占的百分比求出手工类的人数，总人数减去摄影类、书法类、绘画类、手工类得到表演类的人数，据此补充完整条形统计图；
（2）由摄影类的人数除以调查总人数得到摄影所占的百分比，由乘以手工类学生人数的百分比得出手工类类对应扇形的圆心角的度数；
（3）利用总人数1200乘以“绘画”的学生人数对应的比例即可求得；
（4）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次共调查学生：（名，
手工类的人数为：（名，
表演类的人数为：（名，
故补全条形统计图如下，
故答案为：60；
（2）扇形统计图中，摄影类所占的百分比为：，
手工所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：，；
（3）（名，
答：估计选择“绘画”的学生人数为360名；
（4）画树状图为：把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，根据题意，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有2种，
九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件是解题的关键．
19．（9分）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 2022 ；
（2）小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得结果相加即可得解；
（2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）
．
故八进制数字3746换算成十进制是2022．
故答案为：2022；
（2）依题意有：，
解得，（舍去）．
故的值是9．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．
20．（9分）一次函数与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，图象与直线在第三象限相交于点，连接、．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点的横坐标为，
①求△的面积；
②请结合函数图象，直接写出不等式的解集；
【分析】（1）将代入一次函数可得的值为3，将代入反比例函数可得的值，从而可得答案；
（2）①先求解，再结合三角形的面积公式计算即可；
②根据函数图象可得答案．
【解答】解：（1）将代入一次函数中，得，
，
，
将代入反比例函数得，
，
反比例函数解析式为；
（2）①在中，当时，，
，
，
；
②，
，
由图象可得不等式的解集为或．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，正确地理解题意是解题的关键．
21．（9分）如图，甲、乙两位旅游爱好者都从点出发，走不同路线探险，并约定在点处会合．甲从点出发先沿着正东方向行走到达点处，再沿着正北方向行走到达点；乙亦从点出发，沿着东北方向行走到点处，再由点处沿着南偏东方向行走到达点，与甲会合．
（1）求点到的距离；
（2）为方便联系，甲、乙两人各携带一部对讲机，对讲机信号覆盖半径是1200米，当甲在点处，乙恰好在点处，此时乙能否收到甲的对讲机信号？请说明理由．
【分析】（1）过点作，垂足为点，在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）过点作，垂足为点，连接，根据题意可得：，从而可得，然后在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而在△中，利用勾股定理求出的长，即可解答．
【解答】解：（1）过点作，垂足为点，
在△中，，，
，
点到的距离为；
（2）此时乙能收到甲的对讲机信号，
理由：过点作，垂足为点，连接，
由题意得：，
，
，
在△中，，
，
在△中，，
，
此时乙能收到甲的对讲机信号．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（9分）筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示2，筒车按逆时针方向转动，每绕一圈需要，筒车与水面分别交于、，且，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
（1）求筒车的半径；
（2）盛水桶从刚浮出水面绕到离水面最高点时，求它走过的路径长；
（3）拟修建接水槽，盛水桶绕至接水槽后自然翻落，水沿着接水槽流入农田．所在直线与相切，当盛水桶从浮出水面至绕到上用时时，求接水槽的长．
【分析】（1）连接，根据“垂径定理”求出的长，在△中利用勾股定理求出的长即可；
（2）延长，交于点，在△中利用三角函数求出的度数，从而求出的度数，根据弧长公式求出即可；
（3）过点作于点、于点，连接．所在直线与相切，切点为点，故；根据已知条件，求出筒车的转速，从而求出的度数，进而求出的度数和的度数，再根据四边形内角和为求出的度数；在△中利用三角函数求出的长度，从而求出的长度，进而在△中利用三角函数求出的长度．
【解答】解：（1）如图，连接．
，
，
，，
，
，
筒车的半径是．
（2）如图，延长，交于点．
，，
，
，
，
，
它走过的路径长是．
（3）如图，过点作于点、于点，连接．
所在直线与相切，切点为点，
，
．
筒车按逆时针方向每秒转过的角度为，则转过的角度为，
，
，
，
．
，
，
，
接水槽的长为．
【点评】本题考查圆的综合计算，熟练掌握垂径定理及圆的性质、三角函数和勾股定理等是解题的关键．
23．（9分）综合与实践
问题情境
在综合实践课上，同学们以“矩形的旋转”为主题开展学习探究活动．如图1，在矩形中，，，在矩形中，，，点在上．
（1）探究发现
连接、，如图2，猜想与之间的位置关系，并说明理由；
（2）将矩形绕点顺时针旋转到如图3的位置，连接、，请求出的值；
（3）解决问题
将矩形绕点旋转，当点在落在直线上时，直接写出线段的长 ．
【分析】（1）通过证明△△，可得，由余角的性质可得，可得结论；
（2）通过证明△△，可求解；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1），理由如下：
四边形和四边形是矩形，
，，，，，
，
△△，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
，，
，
，，
，
，
，
，
△△，
；
（3）如图4，当点在线段上时，
，
，
，
如图5，当点在线段上时，
，
，
，
综上所述：的长为，
故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
24．（9分）如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标．
（3）如图（2），将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点．
①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标；
②在点的运动过程中，求线段的最大值．
【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线即可求得，由抛物线与轴交于点，可得，即可求得答案；
（2）联立直线与抛物线的解析式可求得，，连接，由平移可知四边形是平行四边形，得出，运用待定系数法可得直线的解析式为，再联立方程组即可求得答案；
（3）①设直线分别交轴、轴于点、，交轴于点，过点作轴于点，则，，可证得△是等腰直角三角形，则，再根据菱形的性质求得点的坐标，进而推出△是等腰直角三角形，求得点的坐标，运用待定系数法求得直线的解析式，再联立方程组求解即可．
②设直线交轴于点，过点作轴交于，设，则，可得，再证得△是等腰直角三角形，表示出的关系式，运用二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，
，
解得：，
又抛物线与轴交于点，
，
抛物线的解析式为．
（2）联立得，
解得：，，
，，
如图1，连接，
平移线段，且点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，
四边形是平行四边形，
，
设直线的解析式为，将代入得，
直线的解析式为，
联立得，
解得：（舍去），，
．
（3）①如图2，设直线分别交轴、轴于点、，交轴于点，过点作轴于点，
则，，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
四边形是菱形，
，，
，，
轴，
，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
联立得，
解得：（舍去），，
点的坐标为，；
②如图3，设直线交轴于点，过点作轴交于，
设，则，
，
由①知，
轴，
，
、关于直线对称，
，即，，
△是等腰直角三角形，
，
，
，
当时，线段的最大值为．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移、翻折变换的性质等，熟练掌握二次函数的图象和性质等相关知识是解题关键．
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平均数
方差
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92.95
38.89
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92.95
47.52
班
92.15
39.96
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
D
C
A
B
C
B
A
B
B
题号
12
答案
B
统计量班级
平均数
方差
班
92.95
38.89
班
92.95
47.52
班
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