河北省石家庄市第四十中学2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试题

这是一份河北省石家庄市第四十中学2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．某天河北省四个城市的气温如下，则当天这四个城市温差最大的是（ ）
A．唐山B．廊坊C．保定D．沧州
2．下列计算的结果中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，数轴上的点表示的无理数可能是（ ）
A．B．C．D．
4．如图是新石器时代人面鱼纹彩陶盆的示意图，它是仰韶彩陶工艺的代表作之一，是第三批禁止出国（境）展览文物．关于人面鱼纹彩陶盆的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同D．主视图、左视图、俯视图都相同
5．对一组数据：，描述正确的是（ ）
A．中位数是B．平均数是5C．众数是6D．方差是7
6．下列图形中，相似多边形是（ ）

A．甲与乙B．乙与丙C．丙与丁D．乙与丁
7．关于x的方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
8．如图，将一个大正方形分成2个矩形和2个正方形，分别标为①，④和②，③，其中③，④两个部分已标注面积，则正方形②的边长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图， 为的直径， C、D是上的两个点， 连接． 若， 则的度数是 （ ）
A．B．C．D．
10．为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为点，已知m，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则支柱的高度是（ ）
A．B．C．D．
11．如图是嘉嘉和淇淇比较与的过程，下列关于两人的思路判断正确的是（ ）
A．嘉嘉对，淇淇错B．嘉嘉错，淇淇对C．两人都对D．两人都错
12．司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点代表八个方位，如图，与交于点，则点位于点的（ ）
A．南偏西方向B．北偏东方向C．南偏西方向D．北偏东方向
二、填空题
13．若，则 ．
14．如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是 ．
15．如图，与位似，点为位似中心．已知，若的面积为，则的面积为 ．
16．如图，平面直角坐标系中，的边在x轴上，对角线交于点M，函数的图象经过点和点M，与交于点N．则点M的坐标为 ，点N的坐标分别为 ．
三、解答题
17．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．
例：．
（1） ；
（2）若，则 ．
18．某校开展了摄影、书法、绘画、表演、手工五类社团活动．为了解学生参与情况，随机抽取了部分学生进行调查（要求每人从五个类别中选且只选一个），并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了___名学生，请将条形统计图补充完整．
(2)扇形统计图中，“摄影”所占的百分比为___，“手工”所对应的圆心角的度数为___．
(3)若该校共有1200名学生，请估计选择“绘画”的学生人数．
(4)学校打算从表演社团中抽取4名同学分为两组参加公演出，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中九年级2名同学在同一组的概率．
19．阅读下面材料，完成相应任务：
任务一：
（1）运用配方法将多项式因式分解；
（2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数．
任务二：
“创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的．
（3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程．
20．如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，．
(1)求的长；
(2)若米，求、两点的距离．
21．如图，某种品牌的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时，电流是电阻的反比例函数，其图象经过，两点．

(1)求I与R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义；
(2)求m的值，并说明m的实际意义；
(3)如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
22．如图1，公园计划将一个矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在矩形中，宽为，高为，点是，的交点，以点为圆心，为半径作，地面与矩形门洞对角线的夹角约为，阴影部分为门洞改造后扩大的部分．
(1)求的半径；
(2)求改造后圆弧形门洞的高度（即弧的中点到地面的距离）；
(3)直接写出阴影部分的面积．（结果保留）
23．【初步感知】
（1）如图1，和相交于点，且，，
①则______（填“＜”“＞”或“＝”）；
②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：；
【变式探究】
（2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．

24．【问题背景】某体育社团开展跳大绳游戏活动，两个摇绳的同学，之间相距，绳子在摇动过程中呈抛物线形状且轨迹保持不变，当手摇绳子到最上方时，绳子的最高点距地面，握绳的手距离地面，当摇绳两端的手更高时，绳子整体也会相应更高．
【模型抽象】以人站立的地面为轴，绳子最高点垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系．
【问题解决】
(1)由题意直接写出点坐标，点坐标，点坐标______；
(2)求抛物线解析式；
(3)若参加跳绳的人身高均为，人与人之间的距离为，最多能有多少人同时参与跳绳（除摇绳人外）?
(4)在（3）的条件下，由于还有1名同学没能同时参与跳绳，若加入这名同学，在不改变摇绳两端的水平距离和绳长的情况下，只需将两端向上移 即可，请直接写出，的值应满足什么条件？
唐山
多云转晴
℃/2℃
廊坊
多云转晴
℃/4℃
保定
多云转晴
℃/2℃
沧州
多云转晴
℃/0℃
配方法因式分解
一般地，我们将形如的多项式叫做完全平方式，有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用．
例如，我们可以用配方法将多项式因式分解：
《河北省石家庄市第四十中学2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试题》参考答案
1．C
【分析】此题考查了有理数减法的应用．用最高气温减去最低气温得到各城市的温差，比较后即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得，四个城市的温差分别为：
，
，
，
，
综上可知，当天这四个城市温差最大的是保定，
故选：C
2．D
【分析】由合并同类项的运算法则判断即可．
【详解】解：A、，故选项A计算结果错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故选项B计算结果错误，不符合题意；
C、，故选项C计算结果错误，不符合题意；
D、，计算结果正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，合并同类项时，把系数相加，字母及字母的指数不变，非同类项不能合并．
3．A
【分析】本题考查数轴上的点表示无理数、无理数估算等知识，根据数轴上的点的位置得到当令点表示的无理数为，则，根据选项中各个无理数，估算其范围即可得到答案．熟练掌握无理数估算方法是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示，令数轴上的点表示的无理数为，则，
A、由可得，则数轴上的点表示的无理数可能是，符合题意；
B、由可得，则，故数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意；
C、由可得，则数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意；
D、由可知数轴上的点表示的无理数不可能是，不符合题意；
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线．根据三视图是分析即可．
【详解】解：由图形可知，主视图与左视图相同，
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数和众数，根据方差，中位数，平均数和众数的定义进行求解判断即可．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为，处在最中间的数为6，
∴中位数为6，故A不符合题意；
∵数字6出现的次数最多，
∴众数是6，故C符合题意；
平均数为，故B不符合题意；
方差为，故D不符合题意；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案.
【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角；
∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等.
∴相似的是丙与丁，
故选C
7．C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况．
【详解】解：对于方程，其判别式为：
由于，则，因此．
故判别式恒为负数，方程无实数根，
故选：C．
8．B
【分析】本题考查的是是算术平方根的含义，单项式除以单项式，根据面积可得正方形③的边长为，求解矩形④的宽为，从而可得答案.
【详解】解：∵正方形③的面积为，
∴正方形③的边长为，
∵矩形④的面积为，而长为，
∴矩形④的宽为，
∴正方形②的边长为，
故选：B
9．C
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
连接，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的对角互补求出，最后直角三角形的两锐角互余，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
四边形为的内接四边形，
，
，
为的直径，
，
，
故选：C．
10．C
【分析】本题考查了中点的性质，直角三角形中三角函数的定义，根据即可求解．
【详解】解：由题意可得，，点为跷跷板中点，
∵，,
即，
．
故选：C．
11．C
【分析】分别根据平方法和三角形三边关系进行求解，比较大小，进而可判断两人思路的正误．
【详解】解：嘉嘉根据平方法比较两个无理数的大小，思路正确；故符合要求；
淇淇通过构造直角三角形，运用勾股定理及三角形三边关系比较两个无理数的大小，思路正确；故符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的大小比较．解题的关键在于熟练掌握无理数大小比较的方法．
12．D
【分析】本题考查方向角、圆周角以及正多边形和圆，掌握正八边形的性质，方向角、圆周角的定义是正确解答的关键．根据正八边形与圆的性质以及圆周角、方向角的定义进行计算即可．
【详解】解：如图，设正八边形的中心为点，连接、、、，
∴正八边形的中心角为，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴点位于点的北偏东．
故选：D．
13．
【分析】本题考查分式的求值，将所求表达式拆分为两个分式的差，利用已知条件代入计算．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
14．/度
【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线为，由勾股定理得，由弧长公式得，即可求解；理解圆锥与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解题的关键．
【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查位似的性质变换和相似三角形的性质，熟练掌握位似的相似变换和相似三角形面积的性质是解题的关键．先利用位似的性质得到，，推出，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质求解即可．
【详解】解：∵与位似，点为位似中心，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】设C（t，0），先把A点坐标代入得k＝12，所以反比例函数解析式为；再根据平行四边形的性质和中点坐标公式得到把M（，2），代入解析式，则×2＝12，解方程求出t得到点M的坐标；设CE=3m，则CN=4m，点，进而即可求解．
【详解】解：设C（t，0），
∵函数的图象经过点A（3，4），
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数解析式为；
∵M点为平行四边形ABCD的对角线的交点，
∴M点为AC的中点，
∵A（3，4），
∴M（，2），
把M（，2）代入得×2＝12，
解得t＝9，
∴点M的坐标为（6，2）；
∴，
∴．
过点N作NE⊥x轴，
∵AO∥BC，
∵，
∴
设CE=3m，则CN=4m，
∴点，
∴，解得（负值舍去）
∴，
故答案是：（6，2）；
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；然后解方程，求出待定系数，也考查了平行四边形的性质．
17． 21 4
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算的法则．
（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可，
（2）根据新定义的运算，把相应的值代入，得出一元一次方程求解即可，
【详解】解：（1）．
故答案为：21；
（2）根据定义，得
，
解得：．
故答案为：4．
18．(1)60；
(2)15%，36°；
(3)估计选择“绘画”的学生人数为300名；
(4)树状图见解析，
【分析】(1）根据书法类的人数和所占的百分比，得出本次调查的学生人数，即可解决问题；根据表演类所占的百分比求出表演类的人数，总人数减去摄影类、书法类、绘画类、表演类得到手工类的人数，据此补充完整条形统计图；
(2）由摄影类的人数除以调查总人数得到摄影所占的百分比，由360°乘以手工类学生人数的百分比得出手工类对应扇形的圆心角的度数；
(3）利用总人数1200乘以“绘画”的学生人数对应的比例即可求得．
【详解】（1）本次共调查学生：18÷30%＝60（名），
表演类的人数为：60×20%＝12（名），
手工类的人数为：60﹣9﹣18﹣15﹣12＝6（名），
故补全条形统计图如下，
（2）扇形统计图中，摄影所占的百分比为：＝15%，
手工所对应的圆心角的度数为：，
故答案为：15%，36°；
（3）（名），
答：估计选择“绘画”的学生人数为300名．
（4）画树状图为：把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，根据题意，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，
∴九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率为
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用，理解题意，掌握配方法的过程是解题的关键．
（1）仿照题意，运用配方法进行因式分解即可；
（2）运用配方法将多项式变形为，再根据非负数的性质即可说明；
（3）设，则原多项式可化为，再利用配方法进行因式分解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴，
即原式的值一定是一个正数；
（3）设，
原式
．
20．(1)米
(2)米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，解题关键是熟练运用勾股定理以及含度角的直角三角形的性质．
（1）过点B作于点E，从而可求得，然后根据，可求得；
（2）过点N作的延长线于点F，然后根据，可求得，最后利用勾股定理求出的长度．
【详解】（1）解：过点作于点，
四边形是矩形，
（米）
（米），
，
（米）．
（2）过点作于点，
，
，
（米），
（米），
（米）．
21．(1)，见解析
(2)3，m的实际意义为：当电阻R为，电流大小为
(3)该电路的可变电阻控制在不低于
【分析】（1）根据题意设，然后将代入求解记录；
（2）将代入求解即可；
（3）将代入求出R的值，然后结合图象求解即可．
【详解】（1）由于电流是电阻的反比例函数，
设，
∵图象过点，
∴，
∴I与R的函数表达式为；
（2）将代入得，，
∴解得，
∴m的实际意义为：当电阻R为，电流大小为；
（3）∵，
∴当时，，
∴当时，．
∴该电路的限制电流不能超过，那么该电路的可变电阻控制在不低于．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出函数表达式．
22．(1)
(2)圆弧形门洞的拱高为
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质，勾股定理求得矩形鄂的对角线长即可．
（2）设弧的中点为，作于，利用垂径定理，三角形中位线定理，结合所求解答即可．
（3）根据阴影部分的面积，依据面积计算公式解答即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
．
．
的半径为．
（2）解：如图，设弧的中点为，作于，
由对称性可知，过圆心，
则，
，
．
圆弧形门洞的拱高为．
（3）解：．理由如下：
的面积，
．
，
，
．
．
阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，圆的性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
23．（1）①；②见解析；（2），证明见解析；（3）10
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）①证明平行线的性质以及等腰三角形的性质与判定，得出，即可求解．
②由①可知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解；
（2）证明，根据相似三角形的性质，即可求解；
（3）连接，在的上方取点，证明，进而证明，根据相似三角形的性质得出，进而求得，即可求解．
【详解】解：（1）①∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∴，即
故答案为：；
②证明：由①可知，，，
，即，
又，
，
；
（2）；理由如下：
，
，
又，
，
；
（3）如图，连接，在的上方取点，

使，
．
，
在中，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
当时，，两点间的距离最大，
，两点间的最大距离为10．
24．(1)，，
(2)
(3)9个
(4)的值应超过
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确求得抛物线解析式是解题关键．
（1）根据题意结合坐标系，直接写出点的坐标，即可求解；
（2）由已知确定顶点，，设抛物线解析式为，利用待定系数法求解即可；
（3）令，解方程即可求出x的值，进而即可得到答案；
（4）设平移后的解析式为，然后求出绳高不低于的水平距离大于等于，求出t的取值范围．
【详解】（1）依题意，，，
故答案为：，，．
（2）解：由题意可设抛物线解析式为，且抛物线过点和点，
则有：，
解得；，
∴抛物线解析式为
（3）解：当时有，解得：，
∴
当时，则有一个同学在原点处，其两侧均有4个同学，与最远端同学相距，
∴此时可有9个同学同时参加跳绳．
（4）解：设平移后的解析式为，
由（3）可知，再增加1个同学即有10个同学，此时没有人能站在原点处，
故原点两侧的同学距原点，所以最远端到原点距离为，
∴解得
即t的值应超过0.0416m即可
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
C
C
C
B
C
C
题号
11
12








答案
C
D