2024-2025学年河北省石家庄四十八中七年级（下）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄四十八中七年级（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》，对于①；②，不等关系在生活中广泛存在，如图，直线和相交于点，，下列各式中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为0.0000068米，用科学记数法表示为 米．
A．B．C．D．
2．（3分）对于①；②．从左到右的变形，表述正确的是
A．①②都是因式分解B．①②都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解
3．（3分）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
4．（3分）如图所示，为估计池塘两岸，间的距离，小华在池塘一侧选取一点，测得，，那么，之间的距离不可能是
A．B．C．D．
5．（3分）如图，直线和相交于点，．若，则的大小为
A．B．C．D．
6．（3分）如图，△沿方向平移得到△，已知，，则平移的距离是
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）如图，是△边上的中线，是边上的高，，，
A．3B．4C．5D．6
8．（3分）下列各式中，正确的是
A．B．
C．D．
9．（3分）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为
A．B．C．D．
10．（3分）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为
A．B．C．D．
11．（3分）若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是
A．B．C．D．
12．（3分）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则的取值范围是
A．或B．或C．或D．或
二.填空题（每题3分，4个小题，共12分）
13．（3分）计算： ．
14．（3分）关于，的二元一次方程组的解是，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值是 ．
15．（3分）若，则 ．
16．（3分）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为 ．
三.简答题（共52分）
17．（6分）（1）计算：．
（2）解分式方程：．
18．（4分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
19．（5分）小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：．”
小明的解法
解：
①
②
③
④
小红的解法
解：
①
②
③
④
（1）老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们从哪一步出现错误（填写序号）．
（2）请你写出正确的计算过程．
20．（7分）如图，，，，平分交于点．
（1）求的度数；
（2）试说明：．
21．（7分）“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
（1）请用此方法拆分 ；
（2）请你用上面的方法归纳一般结论，用含为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的；
（3）嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度．
22．（8分）港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过49吨的禁止通行，现有一辆自重6吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个部件和3个部件组成，这种设备必须成套运输．已知2个部件和1个部件的总质量为2吨，4个部件和3个部件的质量相等．
（1）求1个部件和1个部件的质量各为多少吨？
（2）该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？
23．（7分）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式；
解法二：原式．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解；
【应用】（3）已知△的三边，，满足，请通过计算说明△是什么三角形？
24．（8分）【探究验证】
（1）如图1，，点，分别在，上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．
①若，则 ；
②随着点，的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由．
【拓展延伸】
（2）如图2，直线与直线相交于点，夹角为，点在点右侧，点在上方，点在点左侧，点在射线上运动（不与，重合），平分，平分交直线于点，当时，请直接写出的度数．
2024-2025学年河北省石家庄四十八中七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一.选择题（每题3分，12个小题，共36分）
1．（3分）清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为0.0000068米，用科学记数法表示为 米．
A．B．C．D．
【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：0.0000068米米，
故选：．
【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）对于①；②．从左到右的变形，表述正确的是
A．①②都是因式分解B．①②都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：①，等式从左到右的变形属于因式分解；
②．属于整式乘法，不属于因式分解；
故选：．
【点评】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3．（3分）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【解答】解：由题意得，，
，
图中两人的对话体现的数学原理是若，则．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质性质是解答本题的关键．
4．（3分）如图所示，为估计池塘两岸，间的距离，小华在池塘一侧选取一点，测得，，那么，之间的距离不可能是
A．B．C．D．
【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到，即可得到答案．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：，
，
、之间的距离不可能是．
故选：．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
5．（3分）如图，直线和相交于点，．若，则的大小为
A．B．C．D．
【分析】根据垂直的定义得出，再由对顶角相等得出，由进行计算即可．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查垂线，对顶角、邻补角，掌握互相垂直的定义，对顶角相等是正确解答的关键．
6．（3分）如图，△沿方向平移得到△，已知，，则平移的距离是
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离．
【解答】解：点平移后对应点是点．
线段就是平移距离，
已知，，
．
故选：．
【点评】考查图形平移性质，关键找到平移前后的对应点．
7．（3分）如图，是△边上的中线，是边上的高，，，
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据是中△边上的中线，得，根据是边上的高，得，即可得．
【解答】解：是中△边上的中线，，
，
是边上的高，，
，，，
故选：．
【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的面积公式，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
8．（3分）下列各式中，正确的是
A．B．
C．D．
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可．
【解答】解：当，，时，，则不符合题意，
，则不符合题意，
不能进行约分，则不符合题意，
，则符合题意，
故选：．
【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
9．（3分）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为
A．B．C．D．
【分析】根据题意可知：步行的时间牛车用的时间，然后即可列出相应的方程．
【解答】解：学生步行的速度为每小时里，牛车的速度是步行的1.5倍，
牛车的速度是里，
由题意可得：，
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
10．（3分）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】方法一：根据平行线的性质，可以得到，再根据折叠的性质，即可得到，最后根据平角的性质即可得解；
方法二：根据折叠可得，求出，再根据平行线的性质即可得解．
【解答】解：方法一：四边形是长方形纸片，
，，
，
由题意知，
，
；
方法二：由题意知，
，，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质、角的和差，解答本题的关键掌握平行线的性质．
11．（3分）若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是
A．B．C．D．
【分析】由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．
【解答】解：由题意得：，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
12．（3分）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则的取值范围是
A．或B．或C．或D．或
【分析】分当，即时，当，即时，两种情况根据题目所给的新定义建立关于的不等式进行求解即可．
【解答】解：当，即时，
，
，
，
，
；
当，即时，
，
，
，
，
；
综上所述，或，
故选：．
【点评】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
二.填空题（每题3分，4个小题，共12分）
13．（3分）计算： ．
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂计算即可．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键．
14．（3分）关于，的二元一次方程组的解是，其中的值被盖住了，不过仍能求出，则的值是 5 ．
【分析】将分别代入和得，求出值即可．
【解答】解：将分别代入和得，
整理得，解得．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组是关键．
15．（3分）若，则 10． ．
【分析】利用平方差公式分解因式后化简可求解．
【解答】解：，
．
故答案为10．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，将分子分解因式是解题的关键．
16．（3分）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为 ．
【分析】过点作，可得，即得，，根据求出即可．
【解答】解：过点作，
，
，
（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
，
与所成锐角的度数为，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，关键是平行线性质的熟练掌握．
三.简答题（共52分）
17．（6分）（1）计算：．
（2）解分式方程：．
【分析】（1）利用积的乘方法则，同底数幂乘法及除法法则计算后再合并同类项即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
【点评】本题考查整式的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．
18．（4分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
【分析】（1）解不等式即可；
（2）解不等式即可；
（3）把解集表示在数轴上；
（4）结合（3）写出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1），
，
，
故答案为：；
（2），
，
，
，
故答案为：；
（3）把解集表示在数轴上为：
（4）不等式组的解集为：．
故答案为：．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取公共解集的方法．
19．（5分）小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：．”
小明的解法
解：
①
②
③
④
小红的解法
解：
①
②
③
④
（1）老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们从哪一步出现错误（填写序号）．
（2）请你写出正确的计算过程．
【分析】（1）根据两位同学的解题步骤进行判断即可；
（2）将原式通分并计算后再约分即可．
【解答】解：（1）由题干中的解题步骤可得小明第①步出错，小红第②步出错；
（2）原式
．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（7分）如图，，，，平分交于点．
（1）求的度数；
（2）试说明：．
【分析】（1）由可得，进而可得的度数；
（2）由可得，结合平分，可得，再由平行线的判定，即可得出结论．
【解答】（1）解：，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
平分，
，
，
．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
21．（7分）“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
（1）请用此方法拆分 ；
（2）请你用上面的方法归纳一般结论，用含为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的；
（3）嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度．
【分析】（1）依据材料中等式的规律解答即可；
（2）根据依据材料中发现等式的规律写出含的等式证明成立即可．
（3）根据题意画出图形即可．
【解答】解：（1）第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
，
以此类推，可知第2024个等式：．
故答案为：；
（2）由（1）可知含的等式是．
理由：右边，
左边，
左边右边，
成立．
（3）如图所示，即为所求．
【点评】本题主要考查了数字规律型问题，还考查了整式的运算和乘法公式．正确得到等式所反映的规律，是解题的关键．
22．（8分）港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过49吨的禁止通行，现有一辆自重6吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个部件和3个部件组成，这种设备必须成套运输．已知2个部件和1个部件的总质量为2吨，4个部件和3个部件的质量相等．
（1）求1个部件和1个部件的质量各为多少吨？
（2）该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？
【分析】（1）设1个部件的质量为吨，1个部件的质量为吨，根据2个部件和1个部件的总质量为2吨，4个部件和3个部件的质量相等．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该货车一次可运输套这种设备，根据内地货车载重后总质量超过49吨的禁止通行，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设1个部件的质量为吨，1个部件的质量为吨，
由题意得：，
解得：，
答：1个部件的质量为0.6吨，1个部件的质量为0.8吨；
（2）设该货车一次可运输套这种设备，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为14，
答：该货车一次最多可运输14套这种设备．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．（7分）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式；
解法二：原式．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解；
【应用】（3）已知△的三边，，满足，请通过计算说明△是什么三角形？
【分析】（1）运用分组分解法将式子进行因式分解；
（2）运用分组分解法将式子进行因式分解；
（3）运用分组分解法将式子进行因式分解，再根据三角形三边关系，可得，据此可得三角形为等腰三角形．
【解答】解（1）
；
（2）
；
（3）
，
△的三边，，，
，
，
，
三角形为等腰三角形．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用题中示例的分组分解法分解因式．
24．（8分）【探究验证】
（1）如图1，，点，分别在，上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．
①若，则 45 ；
②随着点，的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由．
【拓展延伸】
（2）如图2，直线与直线相交于点，夹角为，点在点右侧，点在上方，点在点左侧，点在射线上运动（不与，重合），平分，平分交直线于点，当时，请直接写出的度数．
【分析】（1）由题意可得，，由平分，平分，可得，，根据，计算求解即可；
（2）同理（1）求解即可；
（3）由平分，平分，可得，，设，，则，，由题意知，分点在上方，点在下方两种情况，利用三角形外角的性质，三角形内角和定理求解作答即可．
【解答】解：（1），，
，，
平分，平分，
，，
，
故答案为：45；
（2），
，
平分，平分，
，，
，
的大小不会变，度数为；
（3）平分，平分，
，，
设，，
则，，
①当点在上方时，如图，
，
即，
解得，
；
②当点在下方时，如图，
由题意知，
，
，
解得，
；
综上所述，的度数或．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质并分情况求解是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/2 9:19:34；用户：林鑫；邮箱：16620973701；学号：50184040题号
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3
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6
7
8
9
10
11
答案
A
C
A
D
B
C
D
D
A
D
A
题号
12
答案
C