2024-2025学年河北省石家庄市裕华区八年级（下）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省石家庄市裕华区八年级（下）期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）计算：
A．B．C．6D．36
2．（3分）现有长度分别为和的两根小棒，在下列长度的小棒中，能与这两根小棒搭成直角三角形的是
A．B．C．D．
3．（3分）下列选项中，与计算结果相同的是
A．B．C．D．
4．（3分）如图，在中，下列性质一定正确的是
A．B．
C．D．
5．（3分）在数学活动课上，李明要用铁丝围一个长为，宽为的矩形框，不考虑拼接处，则需铁丝的长度至少为
A．B．C．D．
6．（3分）如图，在四边形中，对角线，交于点，．添加下列条件中的一个后，可使四边形是平行四边形的有
①；②；③．
A．3个B．2个C．1个D．0个
7．（3分）下列命题中，其逆命题是假命题的是
A．若，则
B．若，则
C．全等三角形的面积相等
D．等边三角形的三条边都是相等
8．（3分）已知一个四边形的四条边相等，为使该四边形是正方形，甲、乙二人分别添加了一个条件，下列判断正确的是
甲：四边形的四个角均相等；乙：四边形的对角线相等．
A．只有甲对B．只有乙对C．甲和乙都对D．甲和乙都不对
9．（3分）如图，在中，，分别在边，上，．求证：四边形是平行四边形．下面是打乱顺序的证明过程，则正确的步骤排序应为
A．④①③⑤②B．②④⑤①③C．⑤④①②③D．⑤④②①③
10．（3分）如图，以△的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，若阴影部分的面积之和为16，则的长为
A．4B．5C．D．
11．（3分）如图，已知，是线段的中点，将线段绕点转动后得到线段，点，的对应点分别是，，依次连接，，，，下列结论不正确的是
A．四边形始终为矩形
B．当时，
C．当时，四边形是正方形
D．当时，四边形的周长为
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上移动，点，之间的距离为4，连接．下列关于结论①、②的判断正确的是
①的度数为；②线段长度的最大值为．
A．①、②都对B．①错②对C．①对②错D．①、②都错
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）如图，为测量假山两端，之间的距离，小明在地面上取一点均可直接到达点，，，分别是和的中点，测得米，则假山两端，之间的距离为 米．
14．（3分）若，则 ．
15．（3分）如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断地面），其树顶端恰好落在树乙（乙地面）的根部处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米．
16．（3分）如图，在矩形中，，，是边的中点，是折线上任意一点．将矩形沿直线向上折叠，使点落在点处．若点在边上，则的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算下列各小题．
（1）；
（2）．
18．（8分）已知式子在实数范围内有意义．
（1）求的取值范围；
（2）若式子是最简二次根式，且可与合并，求的值，并计算的值．
19．（8分）如图，在△中，，点在边上，且，连接．，分别是线段，的中点，连接，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求四边形的周长．
20．（8分）如图1，将面积为48平方厘米的正方形纸板的四个角各剪掉一个边长为厘米的小正方形，得到如图2所示的图形，再沿虚线折起，可得到一个有底无盖的长方体纸箱．
（1）求该长方体纸箱的体积；
（2）若在该长方体纸箱的侧面（外部）贴上印花纸，求至少需要的印花纸面积．
21．（9分）如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米．
（1）求的度数；
（2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离的长）．
22．（9分）如图，在△中，是边的中点，点，分别在线段及其延长线上，，连接，，，．
（1）若，求证：四边形是矩形；
（2）已知，．
①当的长为多少时，四边形是菱形？并加以证明；
②请直接写出当的长为多少时，四边形是正方形．
23．（11分）如图1，在△中，，，，．动点从点出发，沿边以每秒2个单位长的速度运动到点，动点同时从点出发，沿边以每秒1个单位长的速度运动到点．设点，的运动时间为．
（1）求的度数；
（2）当△是等边三角形时，求的值；
（3）在点，的运动过程中，求当△是直角三角形时的值；
（4）如图2，若是边的中点，连接，，请直接写出的最小值．
24．（12分）如图1，在矩形胶片中，，连接，，沿对角线剪开，将△沿射线方向平移得到△（如图，直线与交于点，直线与交于点．设．
（1）在图1中，的度数为 ；边的长为 ；
（2）若点在线段上，四边形的形状是 ；
（3）若点在射线上，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是正方形？
（4）已知存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出的值．
2024-2025学年河北省石家庄市裕华区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算：
A．B．C．6D．36
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（3分）现有长度分别为和的两根小棒，在下列长度的小棒中，能与这两根小棒搭成直角三角形的是
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形．
【解答】解：、，不能构成三角形，故选项不符合题意；
、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
、，能构成直角三角形，故选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
3．（3分）下列选项中，与计算结果相同的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式乘除运算法则计算即可．
【解答】解：
，
选项符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式乘除法运算法则是关键．
4．（3分）如图，在中，下列性质一定正确的是
A．B．
C．D．
【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质判断即可．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
5．（3分）在数学活动课上，李明要用铁丝围一个长为，宽为的矩形框，不考虑拼接处，则需铁丝的长度至少为
A．B．C．D．
【分析】根据矩形周长公式，即可解答．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的加法运算法则是关键．
6．（3分）如图，在四边形中，对角线，交于点，．添加下列条件中的一个后，可使四边形是平行四边形的有
①；②；③．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：添加①，
，
四边形是平行四边形；
添加③，
，
，，
△△，
，
，
四边形是平行四边形；
添加，无法判断四边形是平行四边形．
故选：．
【点评】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（3分）下列命题中，其逆命题是假命题的是
A．若，则
B．若，则
C．全等三角形的面积相等
D．等边三角形的三条边都是相等
【分析】选项根据等式的性质以及有理数的乘方的定义判断即可；选项根据不等式的性质判断即可；选项根据全等三角形的判定判断即可；选项根据等边三角形的判定判断即可．
【解答】解：若，则，它的逆命题为若，则，是真命题，故选项不符合题意；
若，则，它的逆命题为若，，真命题，故选项不符合题意；
全等三角形的面积相等，它的逆命题为面积相等的两个三角形全等，是假命题，故选项符合题意；
等边三角形的三条边都是相等，它的逆命题为三条边都相等的三角形是等边三角形，真命题，故选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理，不等式的性质，全等三角形的性质以及等边三角形的性质，掌握全等三角形的定义以及等边三角形的判定是解答本题的关键．
8．（3分）已知一个四边形的四条边相等，为使该四边形是正方形，甲、乙二人分别添加了一个条件，下列判断正确的是
甲：四边形的四个角均相等；乙：四边形的对角线相等．
A．只有甲对B．只有乙对C．甲和乙都对D．甲和乙都不对
【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：添加四边形的四个角均相等，
理由：四边形的四条边相等，
四边形是菱形，
四边形的四个角均相等，
每一个角为直角，
四边形是正方形，
添加四边形的对角线相等，
理由：四边形的四条边相等，
四边形是菱形，
四边形的对角线相等，
四边形是正方形，
故选：．
【点评】本题考查了正方形的判断，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
9．（3分）如图，在中，，分别在边，上，．求证：四边形是平行四边形．下面是打乱顺序的证明过程，则正确的步骤排序应为
A．④①③⑤②B．②④⑤①③C．⑤④①②③D．⑤④②①③
【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：⑤四边形是平行四边形；
④，；
②，
，即；
①又；
③四边形是平行四边形；
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
10．（3分）如图，以△的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，若阴影部分的面积之和为16，则的长为
A．4B．5C．D．
【分析】由勾股定理得，再求出，则，即可得出结论．
【解答】解：在△中，由勾股定理得：，
由题意可知，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．（3分）如图，已知，是线段的中点，将线段绕点转动后得到线段，点，的对应点分别是，，依次连接，，，，下列结论不正确的是
A．四边形始终为矩形
B．当时，
C．当时，四边形是正方形
D．当时，四边形的周长为
【分析】根据四边形对角线互相平分且相等，可判断正确，由知△是等边三角形，判断正确，由知四边形对角线互相垂直，判断正确，当时，，可得△是等边三角形，四边形的周长为，判断不正确．
【解答】解：根据题意知，，
四边形对角线互相平分且相等，
四边形始终为矩形，故正确，不符合题意；
当时，，
又，
△是等边三角形，
，故正确，不符合题意；
当时，四边形对角线互相垂直，
又四边形为矩形，
四边形为正方形，故正确，不符合题意；
当时，，如图：
，
△是等边三角形，
，
，
四边形的周长为，故不正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查旋转的性质，涉及矩形，正方形的判定及含的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握旋转的性质．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上移动，点，之间的距离为4，连接．下列关于结论①、②的判断正确的是
①的度数为；②线段长度的最大值为．
A．①、②都对B．①错②对C．①对②错D．①、②都错
【分析】取的中点，连接，，，先证明△和△是等边三角形，即可求出的度数和的长，再在△中利用斜边中线性质求出，最后根据确定当、、三点共线时最大，最大值为，据此求解即可．
【解答】解：连接，由题意得，
△和△是等边三角形，
，
；故①错．
如图，取的中点，连接，，
边长为4的菱形，的中点，
，
，
在△中，，
，
当、、三点共线时最大，最大值为．故②对．
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质，直角三角形斜边中线．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）如图，为测量假山两端，之间的距离，小明在地面上取一点均可直接到达点，，，分别是和的中点，测得米，则假山两端，之间的距离为 30 米．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：点、分别是，的中点，
是△的中位线，
，
米，
米，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
14．（3分）若，则 4 ．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可得出、的值，从而计算即可．
【解答】解：，
又，
，，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15．（3分）如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断地面），其树顶端恰好落在树乙（乙地面）的根部处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 19 米．
【分析】如图所示，过点作交延长线于，则根据题意可以得到米，根据勾股定理即可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到的长．
【解答】解：如图所示：延长，过点作延长线于点，
由题意可得：米，米，米，
在△中，米，
即米，
在△中，（米，
故（米．
答：这棵树原来的高度是19米．
故答案为：19．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
16．（3分）如图，在矩形中，，，是边的中点，是折线上任意一点．将矩形沿直线向上折叠，使点落在点处．若点在边上，则的长为 16或4 ．
【分析】分两种情况讨论，一是点在上，作于点，则，由四边形是矩形，，，是边的中点，得，，，由折叠得，可证明，，求得，则；二是点在上，设点的对应点为点，由折叠得，，，可证明，求得，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图1，点在上，点在上，
作于点，则，
四边形是矩形，，，是边的中点，
，，，
由折叠得，
，
四边形是矩形，
，，
，
；
如图2，点与点都在上，设点的对应点为点，
，
，
由折叠得，，，，，
，
，
，
，
综上所述，的长为16或4，
故答案为：16或4．
【点评】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算下列各小题．
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则计算即可；
（2）根据多项式乘多项式法则和完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（8分）已知式子在实数范围内有意义．
（1）求的取值范围；
（2）若式子是最简二次根式，且可与合并，求的值，并计算的值．
【分析】（1）根据二次根式的非负性质求解即可；
（2）依据同类二次根式的概念可得，据此可得的值，再代入计算即可．
【解答】解：（1）由题意知，
解得；
（2），
，
则，
原式
．
【点评】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念及有意义的条件．
19．（8分）如图，在△中，，点在边上，且，连接．，分别是线段，的中点，连接，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求四边形的周长．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，求得，根据平行四边形的判定定理得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，，根据勾股定理得到，由是的中点，得到，于是得到结论．
【解答】（1）证明：，分别是线段，的中点，
是△的中位线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
是的中点，
，
四边形的周长．
【点评】本题考查了平行四边形 的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
20．（8分）如图1，将面积为48平方厘米的正方形纸板的四个角各剪掉一个边长为厘米的小正方形，得到如图2所示的图形，再沿虚线折起，可得到一个有底无盖的长方体纸箱．
（1）求该长方体纸箱的体积；
（2）若在该长方体纸箱的侧面（外部）贴上印花纸，求至少需要的印花纸面积．
【分析】（1）根据长方体的体积公式计算即可；
（2）根据正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）正方形纸板的面积为48平方厘米，
正方形纸板的边长为厘米，
该长方体纸箱的体积（立方厘米）；
（2）（平方厘米），
答：至少需要的印花纸面积为36平方厘米．
【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形，结合二次根式的乘法法则求解．
21．（9分）如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米．
（1）求的度数；
（2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离的长）．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可解答；
（2）在△中，根据勾股定理即可解答．
【解答】解：（1），，
，
△是直角三角形，；
（2）设米，若点恰好在边的垂直平分线上，则米，米，
在△中，，
，
解得．
答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
22．（9分）如图，在△中，是边的中点，点，分别在线段及其延长线上，，连接，，，．
（1）若，求证：四边形是矩形；
（2）已知，．
①当的长为多少时，四边形是菱形？并加以证明；
②请直接写出当的长为多少时，四边形是正方形．
【分析】（1）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由对角线相等的平行四边形是矩形可得结论；
（2）①根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论；
②由正方形的性质可得，由勾股定理得，即可解答．
【解答】（1）证明：是边的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：①当时，四边形是菱形，证明如下：
，是的中点，
，
，
由（1）知：四边形是平行四边形，
四边形是菱形；
②若四边形是正方形时，，，
是的中点，
，
，
．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，矩形的判定，正方形的性质，勾股定理等知识，掌握菱形和矩形的判定是解本题的关键．
23．（11分）如图1，在△中，，，，．动点从点出发，沿边以每秒2个单位长的速度运动到点，动点同时从点出发，沿边以每秒1个单位长的速度运动到点．设点，的运动时间为．
（1）求的度数；
（2）当△是等边三角形时，求的值；
（3）在点，的运动过程中，求当△是直角三角形时的值；
（4）如图2，若是边的中点，连接，，请直接写出的最小值．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得△是直角三角形，从而可得的度数；
（2）依题意得，，，再根据得当时，△是等边三角形，则，由此解出即可得出答案；
（3）当△是直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，进而得，则，由此解得；②当时，则，进而得，则，由此解得，综上所述即可得出答案；
（4）过点作于点，在的延长线上取一点，使，连接，，，则，，进而得△是等腰三角形，，证明得是等边三角形，再由勾股定理求出，继而根据“两点之间线段最短”得，则的最小值为15，由此即可得出的最小值．
【解答】解：（1），，
，
△是直角三角形，
；
（2）依题意得：，，
，
，
当时，△是等边三角形，
，
解得：，
当△是等边三角形时，的值为；
（3）当△是直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1所示：
，
，
在△中，，
，
解得：；
②当时，如图2所示：
，
，
，
，
解得：，
综上所述：当△是直角三角形时，的值为5或8；
（4）过点作于点，在的延长线上取一点，使，连接，，，如图3所示：
是线段的垂直平分线，
，，
△是等腰三角形，，
，
由（1）可知：，
又，
，
，
等腰三角形是等边三角形，
，
点是的中点，
，，
在△中，由勾股定理得：，
根据“两点之间线段最短”得：，
，
的最小值为15，
，
的最小值为15．
【点评】此题主要考查了含有角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，线段的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，理解两点之间线段最短是解决问题的关键．
24．（12分）如图1，在矩形胶片中，，连接，，沿对角线剪开，将△沿射线方向平移得到△（如图，直线与交于点，直线与交于点．设．
（1）在图1中，的度数为 ；边的长为 ；
（2）若点在线段上，四边形的形状是 ；
（3）若点在射线上，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是正方形？
（4）已知存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出的值．
【分析】（1）利用矩形的性质可求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求得边的长；
（2）由平移的性质得，推出，得到四边形是平行四边形，由，得到四边形是矩形；
（3）分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用，列式计算即可求解；
（4）分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得和的长，再利用，列式计算即可求解．
【解答】解：（1）矩形，
，
，
，
矩形，，
，，
，
，
故答案为：，；
（2）由平移的性质得，
矩形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
故答案为：矩形；
（3）当点在线段上时，
，
，
四边形是正方形，
，即，
；
当点在线段的延长线上时，
，
，
四边形是正方形，
，即，
；
综上，当为或时，以，，，为顶点的四边形是正方形；
（4）存在，理由如下：
当点在线段上时，
，
，
由平移的性质知，
，，
，，
，
四边形是菱形，
，即，
；
当点在线段的延长线上时，
，
，由平移的性质知，
，，
，，
，
四边形是菱形，
，即，
；
综上，当为或时，以，，，为顶点的四边形是菱形．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了平移的性质，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，二次根式的混合运算．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/2 8:39:56；用户：林鑫；邮箱：16620973701；学号：50184040①又；
②，，即；
③四边形是平行四边形；
④，；
⑤四边形是平行四边形；
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
C
D
A
B
C
C
D
A
D
题号
12
答案
B
①又；
②，，即；
③四边形是平行四边形；
④，；
⑤四边形是平行四边形；