广东省广州市番禺区2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份广东省广州市番禺区2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，四象限角D. 第一，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，解得，故.
故选：C.
2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A，在单调递增，故A错误，
对于B，在上单调递减，B正确，
对于C，在单调递增，故C错误，
对于D，在单调递增，在单调递减，故D错误.
故选：B.
3. 已知，那么是（ ）
A. 第一、二象限角B. 第二、三象限角
C. 第三、四象限角D. 第一、四象限角
【答案】A
【解析】由可知同号，即，
从而第一、二象限角.
故选：A
4. 已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数在R上单调递增，又，
故的零点，
令，解得，即；
由在上单调递增，得，，
因此的零点，则.
故选：D．
5. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于，故，
由于，故，
由于，故，
因此.
故选：D.
6. 若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题，
故，则.
故选：A.
7. 时，函数与的图象交点个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象，
根据图象可知：与的图象在有4个交点.
故选：B.
8. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ）
A. 8100B. 900C. 81D. 9
【答案】C
【解析】当鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量：，解得；
当鲑鱼游静止时的耗氧量：，解得；
所以.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列化简中，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】对于A，，A正确，
对于B，，故B错误，
对于C，，C正确，
对于D，
，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由题意不妨设，因为函数增函数，所以，即，故A正确，B错误，
因为，即，
根据函数是增函数，所以，故C正确；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数，给出下列四个结论，正确的是（ ）
A. 存在无数个零点B. 在上有最大值
C. 在区间上是单调递减函数D. 的图象是轴对称图形
【答案】ABD
【解析】对于A，令，即，则，得且且，
故存在无数个零点，故A正确，
对于B，当时，，且在上单调递增，
假设在上有最大值点，则满足，
令，则，故，
对任意，且，则，
所以，
则，
若在上有最大值点，则，由于在上是连续函数，
故在有最大值，进而在上有最大值，B正确，
对于C，，由于，
故，所以，故C错误，
对于D，，故关于直线对称，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为________.
【答案】
【解析】函数的定义域满足：，解得，
所以函数的定义域为.
13. 若，则_______.
【答案】5
【解析】由，
可得
，
故.
14. 已知且，则______．
【答案】64
【解析】由题，整理得
或，又，
所以，故.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（1）求值；
（2）函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？
解：（1）由题意可知：，
结合在单调递增，故，解得，
所以，得，
由于，故.
（2）由（1）得，
所以的图象可由的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的得到.
16. 已知函数
（1）求的值；
（2）用定义证明函数在区间上是增函数；
（3）求不等式的解集．
解：（1）
当时，，则，
当时，，则.
（2）任取，
故，
由于，所以，
因此，故，
因此函数在区间上是增函数.
（3）当时，由时，，解得或，
当时，由时，，解得，
综上可得不等式的解集为．
17. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.
（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
解：（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，
所以，所以，所以.
所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.
（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，
则.
因为，所以.
又因为，所以.
因此，即.
所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.
18. 已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
（1）求；
（2）求的值；
（3）若角是三角形内角，且，求的值．
解：（1）因为角终边过点，
所以点P到原点的距离为，
所以.
（2）由（1）知：，
所以.
（3）因为是三角形内角，且，所以，
由（1）知：，
所以，
当时，
；
当时，
.
19. 函数与函数分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数，它们在悬链线问题，相对论，复数分析，电路分析，热传导与波动方程中有广泛的应用．
（1）判断函数与函数的奇偶性，并加以证明；
（2）我们知道三角函数有非常多的恒等式，类似的，双曲函数也有很多恒等式，如
……
①请你用与表示和（不要求证明）．
②若，求证：．
③定义，求的值．
解：（1）由于，定义域为，且，
因此为奇函数，
，定义域为，且，因此为偶函数.
（2）①由于，
由于
，
故，
，
故.
②由于，
故.
③由于，
取，则，
则，
因此若则，
故，
故.