广东省广州市艺术中学高一上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省广州市艺术中学高一上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4，共11页。试卷主要包含了本次考试不允许使用函数计算器等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19道小题，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号（7位学号）、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．本次考试不允许使用函数计算器．
第一部分 选择题（共58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可求出结果.
【详解】因为.
故选：A.
2. 函数在下列哪个区间必有零点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断.
【详解】因为函数在定义域R内单调递增，且f(0)=−10，
所以函数有唯一零点，且零点在区间内.
故选：B.
3. 要得到的图象，需要将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换可得出结论.
【详解】因为，
为了得到的图象，需要将函数的图象向右平移个单位.
故选：D.
4. 已知幂函数的图像经过点，则（ ）
A. 16B. 32C. 64D. 128
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂函数的定义可设，再利用待定系数法即可求值.
【详解】由是幂函数，可设，
再由其图像经过点，则，解得，
所以，即，
故选：C.
5. 已知函数，与互为反函数，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数互为反函数求解即可.
【详解】因为与互为反函数，
所以，
所以
故选：B.
6. 函数的图像大致为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据函数定义域排除B，D，再应用排除A即可判断选项.
【详解】函数的定义域为，所以排除B，D；
又因为，排除A，
故选：C.
7. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用，结合诱导公式即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
8. 已知函数的部分图象如图所示，的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图象确定A的值，根据周期求出，利用特殊值求出，即得答案.
【详解】由函数图象可知，，即，
由，得，
故，由于，故，
则，
故选：B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知角的终边过点，下列说法正确的是（ ）
A. 角的值可能为B.
C. 角值可能为D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据角终边所在的点，可求其三角函数值，进而可得角.
【详解】由题意，，，
故，，当时，
故A错误，BCD正确，
故选：BCD
10. 已知，且，则下列不等式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据指数函数，幂函数，对数函数的单调性，即可判断选.
【详解】对于A，由，函数在上单调递减， ，所以，故A正确；
对于B，由A可知，，则，即，故B错误；
对于C，幂函数在上单调递增，，则，故C错误；
对于D，指数函数在上单调递减，，则，故D错误.
故选：BCD
11. 设函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的值域为RB. 的图像关于直线对称
C. 的一个零点为D. fx在内单调递减
E.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：根据余弦函数的值域即可得结果；对于B：根据对称轴与最值之间的关系分析判断；对于C：代入检验即可；对于D：根据函数周期性分析判断即可.
【详解】因为
对于选项A：由余弦函数值域可知：函数的值域为，故A错误；
对于选项B：因为为最小值，
所以的图像关于直线对称，故B正确，
对于选项C：因为，
所以的一个零点为，故C正确，
对于选项D：因为，则，
因为在内单调递减，所以fx在内单调递减，故D正确，
故选：BCD．
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知，则__________.
【答案】-3
【解析】
【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.
【详解】∵，∴，
故答案为：-3.
13. 函数恒过定点_________.
【答案】
【解析】
【详解】解：因为函数中，无论底数a取何值，都满足令x=2,f(x)=4,故函数必定过点
14. 函数=的单调递增区间是______
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，然后结合对数函数的单调性和二次函数的单调性，根据复合函数的法则求解即可.
【详解】由，可得，故函数的定义域为0,1．
令=，则原函数可化为，是关于t的减函数．
又=在上是增函数，在上是减函数，
由复合函数的单调性可知，函数=的单调递增区间是．
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 计算下列各式：
（1）
（2）
（3）已知，求的值
【答案】（1）
（2）4 （3）14
【解析】
【分析】（1）利用分数指数幂的性质即可得到答案.
（2）利用对数的运算性质求解即可.
（3）利用指数幂的运算性质求解即可.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
因为，所以，即.
16. 已知，且．
（1）求，的值；
（2）求的值；
（3）已知，且，求的值．
【答案】（1）
（2）;
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用同角平方公式及象限角确定符号来求值；
（2）利用诱导公式化简，即可求值；
（3）利用变单角为双角差，再用两角差余弦公式求值即可.
【小问1详解】
因为，且，所以，
即；
【小问2详解】
由；
【小问3详解】
因为，，所以，
又因为，所以，
则.
17. 已知函数是指数函数.
（1）该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；
（2）解关于的不等式：；
【答案】（1）
（2）当时，；当时，
【解析】
【分析】(1)由指数函数定义和所过点列方程组求出表达式.
(2)分别讨论和，结合指数函数的单调性求解.
【小问1详解】
因为函数是指数函数，且图象经过点，
所以，即，
函数的解析式为；
小问2详解】
，
当时，为减函数，
则，解得，解集为
当时，为增函数，
则，解得，解集为
18. 设函数且）．
（1）若，求的值及的定义域
（2）判断的奇偶性，并给出证明；
（3）求在上的值域．
【答案】（1）；定义域为；（2）为偶函数；证明见解析；（3）具体见解析．
【解析】
【分析】（1）由对数函数的定义，可求出定义域，代入，可求出结果.
（2）由偶函数的定义，即可证明.
（3）分别讨论和，由对数函数的单调性即可求出值域.
【详解】（1）因为，
由题意得，故．
由，可得，
故函数的定义域为．
（2）为偶函数．证明如下：
函数的定义域为
，
所以函数为偶函数．
（3）因为，所以．
当时，值域为；
当时，的值域为．
19. 已知的最小正周期为π.
（1）求ω的值；
（2）求的单调递增区间；
（3）求在区间上的最大值.
【答案】（1）
（2）单调递增区间，
（3）2
【解析】
【分析】（1）由周期公式，即可求参数值；
（2）应用整体法，根据正弦函数的单调性求增区间；
（3）首先求得，再由正弦函数性质求值域，即可得最大值.
【小问1详解】
由，可得.
【小问2详解】
由（1）知：，
令，，则，，
所以的单调递增区间，.
【小问3详解】
由题设，，故，
所以，故最大值为2.