北师大版八年级下学期数学第一章三角形的证明及其应用第五节角平分线知识点+练习题以及答案

这是一份北师大版八年级下学期数学第一章三角形的证明及其应用第5节角平分线知识点+练习题以及答案，共17页。
三角形的证明及其应用第5节角平分线 知识点 （1） 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 。 （2） 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上 。 （3） 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 。 练习题 第1 课时　角平分线的性质与判定 1.如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB于D,PD=2,则点P到OA的距离是 ( ) A.4　　    B.3　　    C.2　　    D.1 2.把两个同样大小的含30°角的直角三角尺(记作△ABC,△BCD)按如图所示的方式进行摆放,其中M是AB与CD的交点,则可以得到结论:MA的长度等于点M到BC的距离.请用一个你学过的数学定理解释这个结论:______________________. 3.如图,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,求证:PM=PN. 4.将两个完全一样的三角尺按如图所示的方式摆放,使三角尺的一条直角边分别落在△ABC的边AB,AC上,它们的一个顶点重合于点M,则点M一定在( ) A.∠A的平分线上 B.AC边的高上 C.BC边的垂直平分线上 D.AB边的中线上 5.如图,OC是∠AOB内部的一条射线,P是射线OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,有下列条件:①∠AOC=∠BOC,②PD=PE,③OD=OE,④∠DPO=∠EPO.其中,能判定OC是∠AOB的平分线的有 ( )   A.1个　　    B.2个　　    C.3个　　    D.4个 6.如图,在△ABC中,∠A=73°,∠C=47°,点D是AC上一点,连接BD,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,若DE=DF,则∠DBF的度数是___________. 7.如图,BE,CE分别为△ABC的外角的平分线,EP⊥AM于点P,EQ⊥AN于点Q,ED⊥BC于点D,求证:点E在∠NAM的平分线上. 8.如图,在△ABC中,AB=5,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E,△ABD的面积为5,则DE的长为 ( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.5 9.如图,△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线相交于点M,点M到BE的距离为4.若AB=7,BC=9,则四边形ABCM的面积为__________. 10.如图,△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=6 cm,动点P从点C出发,以每秒2 cm的速度向点A运动,设运动时间为t秒.当t=_________时,BP恰好平分∠ABC. 11.如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点G. (1)求证:AD垂直平分EF. (2)若∠BAC=60°,猜想DG与AG有何数量关系,并说明理由. 12.我们定义:如图1,在四边形ABCD中,如果∠A=α,∠C=180°-α,对角线BD平分∠ABC,那么我们称这种四边形为“分角对补四边形”. (1)特例感知:如图1,在“分角对补四边形”ABCD中,当α=90°时,根据教材中一个重要知识直接可得DA=DC,这个知识是__________(填序号). ①垂线段最短;②垂直平分线的性质;③角平分线的性质;④三角形内角和定理. (2)猜想论证:如图2,当α为任意角时,猜想DA与DC的数量关系,并给出证明. (3)探究应用:如图3,在等腰△ABC中,∠A=100°,BD平分∠ABC,求证:BD+AD=BC. 第2 课时　三角形三条内角的平分线 1.如图,为了促进黄浦区的旅游发展,某村要在三条公路围成的一块三角形平地(记作△ABC)上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,则度假村应建在△ABC的 ( ) A.三条中线的交点处 B.三条角平分线的交点处 C.三条高线的交点处 D.以上都不对 2.如图,在△ABC中,∠A=100°,P是△ABC内一点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,若PD=PE=PF,则∠BPC的度数为 ( )   A.110°　　    B.120°　　    C.130°　　    D.140° 3.如图所示,点O是△ABC的角平分线AO和BO的交点,AB=15,BC=14,AC=13,OD⊥BC,OD=4,求△ABC的面积. 4.如图,O是△ABC的三条角平分线的交点,连接OA,OB,OC,若△OAB,△OAC,△OBC的面积分别为S1,S2,S3,则下列关系正确的是 ( ) A.S1+S2=S3　　　    B.S1+S2>S3 C.S1+S2EF. 答案 第1 课时　角平分线的性质与判定 1.C 2.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 3.证明　∵BD为∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠CBD,在△ABD和△CBD中, AB=BC∠ABD=∠CBDBD=BD ∴△ABD≌△CBD(SAS), ∴∠ADB=∠CDB, ∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD, ∴PM=PN. 4.A 5.D 6.30° 7.∵BE,CE分别为△ABC的两个外角∠CBM,∠BCN的平分线,EP⊥AM,ED⊥BC,EQ⊥AN, ∴EP=ED,EQ=ED, ∴EP=EQ, 又∵EP⊥AM,EQ⊥AN, ∴点E在∠NAM的平分线上. 8.B 9.32 10.2.5 11.证明    (1)证明:∵AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°, ∴∠DEF=∠DFE,点D在EF的垂直平分线上, ∴∠AEF=∠AFE, ∴AE=AF, ∴点A在EF的垂直平分线上, ∴AD垂直平分EF. (2)AG=3DG.理由:∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC, ∴∠EAD=30°, ∴AD=2DE,∠EDA=60°, ∵AD⊥EF, ∴∠EGD=90°, ∴∠DEG=30°, ∴DE=2DG, ∴AD=4DG, ∴AG=3DG. 12.解析    (1)∵BD平分∠ABC,∠BAD=90°,∠BCD=180°-90°=90°, ∴DA=DC.运用的数学知识是角平分线的性质.故答案为③. （2）DA=DC.证明:如图1,过D作DE⊥BA交BA的延长线于点E,DF⊥BC于点F, ∵BD平分∠EBF,DE⊥BE,DF⊥BF, ∴DE=DF,∠E=∠DFC=90°, ∵∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠EAD=180°, ∴∠EAD=∠C, ∴△DEA≌△DFC(AAS), ∴DA=DC. (3)证明:如图2,在BC上截取BG=BD,连接DG,由题意知AB=AC,∠A=100°, ∴∠ABC=∠C=40°. ∵BD平分∠ABC, ∴∠DBG=12∠ABC=20°. ∵BD=BG, ∴∠BGD=∠BDG=12×(180°-20°)=80°, ∴∠A+∠BGD=180°, 由(2)的结论得AD=DG, ∵∠BGD=∠C+∠GDC, ∴∠GDC=40°=∠C, ∴DG=CG, ∴AD=DG=CG, ∴BD+AD=BG+CG=BC. 第2 课时　三角形三条内角的平分线 1.B 2.D 3.如图,连接OC,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F, ∵点O是△ABC的角平分线AO和BO的交点,OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC, ∴OD=OE=OF, ∵OD=4, ∴OE=OF=4, ∵AB=15,BC=14,AC=13, ∴S△ABC=12×15×4+12×14×4+12×13×4=84. 4.B 5. (1)证明:∵BO平分∠ABC, ∴∠OBC=∠OBE, ∵EF∥BC, ∴∠EOB=∠OBC, ∴∠EOB=∠OBE, ∴△BEO是等腰三角形. ∵∠EOB=∠OBE, ∴BE=OE,同理,CF=OF, ∴△AEF的周长=AE+OE+AF+OF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=5+4=9. (3)如图,过O作OM⊥AB于M,ON⊥AC于N, ∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,OG⊥BC, ∴OM=OG,ON=OG, ∴OM=ON, ∵OM⊥AB,ON⊥AC, ∴AO平分∠BAC, ∴∠OAB=12∠BAC=12×60°=30°. 6.证明　如图,连接AD, ∵AB=AC,点D是BC的中点, ∴AD⊥BC,∠BAC=2∠BAD, ∴∠ADE+∠BDE=90°, ∵DE⊥AB, ∴∠BAD+∠ADE=90°, ∴∠BDE=∠BAD, ∵∠BAC=2∠BAD, ∴∠BAC=2∠BDE. 7.证明　如图,连接AD. ∵AB=AC,点D是BC的中点, ∴AD⊥BC, ∵EF∥BC, ∴AD⊥EF, ∴∠DAE=∠DAF=90°, 又AE=AF,AD=AD, ∴△ADE≌△ADF, ∴DE=DF. 8.证明　在△ABC中,AB=AC, ∴∠B=∠ACB, ∵AD是BC边上的中线, ∴AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∴∠CAD+∠ACD=90°, ∵CE⊥AB, ∴∠BEC=90°, ∴∠ECB+∠B=90°, ∴∠CAD=∠BCE. 9.AF⊥DE. 理由:∵AB=AC,AG是中线, ∴AG平分∠BAC,即∠BAG=∠CAG, 又∵∠EAF=∠CAG,∠DAF=∠BAG, ∴∠EAF=∠DAF,即AF平分∠EAD, 又∵AE=AD, ∴AF⊥DE. 10.证明　如图,过点A作AM⊥BC于点M,   ∵AB=AC, ∴∠BAC=2∠BAM, ∵AD=AE, ∴∠D=∠AED, ∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D, ∴∠BAM=∠D, ∴DE∥AM, ∵AM⊥BC, ∴DE⊥BC. 11.如图,延长CD交BA的延长线于点T.   易知∠ABF+∠FBC+∠FCB=∠FBC+∠FCB+∠FCD=90°,∴ ∠ABF=∠FCD, 在△BAF和△CAT中,∠ABF=∠ACT,BA=CA,∠BAF=∠CAT=90°, ∴△BAF≌△CAT(ASA), ∴BF=CT, ∵BD平分∠CBT, ∴∠CBD=∠TBD,易知∠CBD+∠BCD=90°,∠TBD+∠T=90°, ∴∠BCT=∠T, ∴BC=BT, ∴DC=DT, ∴BF=CT=2CD. 12.证明　如图,在AB边上截取AE,使AE=AC,连接DE. ∵AD平分∠BAC, ∴∠EAD=∠CAD. 在△ADE和△ADC中, AE=AC∠EAD=∠CADAD=AD ∴△ADE≌△ADC(SAS), ∴ED=CD,∠AED=∠C. ∵∠AED=∠B+∠EDB, ∴∠C=∠B+∠EDB. 又∵∠C=2∠B, ∴∠B=∠EDB, ∴BE=DE, ∴BE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD,即AC+CD=AB. 13.解析　点P在∠AOB的平分线上. 理由:如图,过点P作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.   ∵S△PFG=12FG·PD,S△PMN=12MN·PE,S△PFG=S△PMN, ∴12FG·PD=12MN·PE. 又∵FG=MN,∴PD=PE, 14.证明　如图,过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F, ∴∠PEC=∠PFD=90°.  ∵OM是∠AOB的平分线, ∴PE=PF. ∵∠AOB=90°,∠CPD=90°, ∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°. ∵∠PDO+∠PDF=180°, ∴∠PCE=∠PDF. 在△PCE和△PDF中,  ∴△PCE≌△PDF(AAS), ∴PC=PD. 15.如图,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F. ∵AD平分∠BAC, ∴DE=DF. ∵S△ABD=12AB·DE=12×4DE=2DE, S△ACD=12AC·DF=12×3DF=32DF, ∴S△ABD∶S△ACD=2DE∶32DF=4∶3, 即△ABD与△ACD的面积之比为4∶3. 16.在△ABF和△CBD中,  ∴△ABF≌△CBD(ASA), ∴AF=CD. ∵AE=12CD, ∴AE=12AF=EF. 在△ACE和△FCE中,  ∴△ACE≌△FCE(SAS), ∴∠ACE=∠FCE,即CD平分∠ACB. 又∵DM⊥AC,∠ABC=90°,BD=8 cm, ∴DM=DB=8 cm,即点D到AC的距离为8 cm. 17.证明　如图,在AD上截取DH,使DH=BD,连接EH,FH. ∵AD是BC边上的中线, ∴BD=CD,即BD=CD=DH. ∵DE平分∠ADB, ∴∠BDE=∠HDE. 又∵DE=DE, ∴△BDE≌△HDE(SAS), ∴BE=HE. 同理可得△CDF≌△HDF(SAS), ∴CF=HF. 在△HEF中,∵HE+HF>EF, ∴BE+CF>EF.