1.5角平分线 第2课时教案 初中数学北师大版（2024）八年级下册

这是一份1.5角平分线 第2课时教案 初中数学北师大版（2024）八年级下册，共5页。
第一章 三角形的证明5 角平分线第2课时  一、教学目标1.证明与角平分线的性质定理和判定定理相关的结论，掌握三角形中角平分线的相关特征.2.灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决几何问题.3.在角平分线性质定理及判定定理的学习过程中，体会抽象、类比、分类的数学思想.4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力. 二、教学重难点重点：证明与角平分线的性质定理和判定定理相关的结论，掌握三角形中角平分线的相关特征.难点：灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决几何问题. 三、教学过程复习回顾教师活动：教师提出问题，让同学回答问题，之后进一步提出问题，自然引出新课的学习.问题1：角平分线的性质定理是什么？预设：角平分线性质定理角平分线上的点到这个角两边的距离相等.几何语言:如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE.问题2：角平分线的判定定理是什么？预设：角平分线的判定定理：在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.几何语言：如图，PD⊥OA， PE⊥OB， PD＝PE，则OP平分∠AOB．问题3：三角形的边的垂直平分线有什么性质？三角形三条边的垂直平分线有什么性质？预设：三角形的边的垂直平分线上的点到这条边两个顶点的距离相等.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.教师活动：进一步提出思考问题，三角形的三条角平分线又有什么性质呢？设计意图：通过复习前面学习过的角平分线相关知识，巩固角平分线的性质定理和判定定理，为新课的探究学习打下基础.探究新知求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.分析：两条直线相交只有一个交点，要想证明三条直线相交于一点，只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可；证明前要先将题目转化为几何语言，画出图形，然后结合前面学到的角平分线的判定定理和性质定理进行证明.已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F.求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.分析：要证明∠A的平分线经过点P，需要什么条件？ 已知的两条角平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论？如何证明PD、PE、PF的关系？证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).同理，PE＝PF．∴PD＝PE＝PF.∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上). 即∠A的平分线经过点P.追问：你还能得到什么结论？思考：结合刚才的结论“PD=PE=PF”且PD，PE，PF与三边分别垂直，探究S△ABP、S△BCP、S△ACP与S△ABC有什么关系？预设：三角形的面积：12×底×高.探究：如图，连接AP，则S△ABC=S△ABP+S△APC+S△BPC，S△ABP=12AB·PD，S△APC= 12AC·PF，S△BPC=12BC·PE，∴S△ABC=12AB·PD+12AC·PF+12BC·PE，即S△ABC=12(AB+AC+BC)·PD.由此，可结合角平分线的特征求三角形面积.总结：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.应用：三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等是三角形的一个重要特征，可由此确定到三边距离相等的点的位置；同时，该交点与三角形三个顶点的连线形成三个等高的小三角形，利用三个小三角形的面积之和等于原三角形的面积，求角平分线交点到三边距离或者求三角形的面积，体现等面积法的运用.练一练：如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在哪里？与同伴交流讨论一下.预设：集贸市场Q应该建在三条线段AB，AC，BC对应的角平分线的交点处.设计意图：总结归纳角平分线交点可以解决的三角形的相关内容.并通过一道应用问题进行说明巩固.应用新知教师活动:教师通过提问的方式，让同学们找到解决问题的思路，最后由教师完善解题步骤.【教材例题】例1.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E.(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD.分析：(1)由已知可知△ABC是等腰直角三角形，可以利用角平分线的性质定理及勾股定理求出BD的长，从而求出BC的长，即AC的长.(2)利用角平分线的性质定理及三角形全等可以证明AC=AE，再通过证明△BDE为等腰直角三角形可以得到DE=BE，从而证出AB=AC+CD.解：(1) ∵AD是△ABC的角平分线， DC⊥AC， DE⊥AB，∴ DE＝CD＝4cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC(等边对等角). ∵∠C＝90°，∴∠B＝12×90°＝45°.∴∠BDE＝90°-45°＝45° .∴BE＝DE(等角对等边).在等腰直角三角形BDE中，BD=2DE2=42cm (勾股定理) ，∴AC＝BC＝CD＋BD＝(4+42)cm.证明：(2)由(1)易知Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC＝AE(全等三角形的对应边相等) ，∵BE＝DE＝CD，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.设计意图：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使让学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题.总结：角平分线性质定理和判定定理的应用：1.角平分线和平行线都可以得出角相等，由角相等可以得出线段相等，进而可以进行线段之间的转化，达到证明线段之间和差倍分关系的目的．2.角平分线的性质是证明边相等的重要依据，常与直角三角形的性质、勾股定理及其逆定理等综合应用，在应用中常用到“构造法”和“转化思想”.角平分线有关问题的常见辅助线作法：设计意图：结合例题学习内容对角平分线相关的问题方法进行归纳总结，便于学生形成一定的方法论.课堂练习教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解..【自选练习】1.在△ABC内到三条边距离相等的点是△ABC的(　　)A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高的交点 D．以上均不对答案：B2.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝_______.答案：4:5:63.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：DE＝BD＋CE.答案：证明：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO.∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB.∴∠ABO＝∠DOB. ∴BD＝OD.同理可证OE＝CE，∴DE＝OD＋OE＝BD＋CE.【教材练习】4.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为点M，N.求证：FE＝FD.答案：证明：连接BF，由题意易知BF即为∠ABC的平分线，则FM＝FN，在Rt△ABC中，∵∠B＝60°，∴∠BAC＝30° ，∴∠DAB＝∠BAC＝15°. ∴∠FDN＝∠DAB＋∠ABC＝75°，∠FEM＝∠BAC＋∠ACE＝30°＋∠ACB＝30°＋45°＝75°.∴∠FEM＝∠FDN.在△FEM与△FDN中，FM=FN，∴Rt△FEM≌Rt△FDN.∴FE＝FD.教师及时发现并对学生不熟悉的知识进行深入讲解，让同学在课上深刻牢记知识点并学会运用.设计意图：培养学生不仅能够借助直观得出结论，而且要求能够证明结论，体会证明的必要性．归纳总结师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．设计意图：培养学生总结知识的能力，巩固新知，形成本节课重点内容框架.