2016-2025年10年安徽数学中考真题汇编 5.2 矩形、菱形与正方形 第3课时 正方形

这是一份2016-2025年10年安徽数学中考真题汇编 5.2 矩形、菱形与正方形 第3课时 正方形，共9页。试卷主要包含了与正方形有关的推理及计算等内容，欢迎下载使用。
一、与正方形有关的推理及计算
1．（2023安徽中考第8题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）

A．B．C．D．
2．（2022安徽中考第14题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：
（1） °；
（2）若，，则 ．
3.（2024安徽中考第14题）如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB,BC上，沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B′，C′处，然后还原．
（1）若点N在边CD上，且∠BEF=α，则∠C′NM= （用含α的式子表示）；
（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD,AD上，点D落在正方形所在平面内的点D′处，然后还原．若点D′在线段B′C′上，且四边形EFGH是正方形，AE=4，EB=8，MN与GH的交点为P，则PH的长为 ．
4．（2025安徽中考第22题）已知点A′在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA′的垂直平分线，连接A′E，A′B．
(1)如图1，若BA′的延长线经过点D，AE=1，求AB的长；
(2)如图2，点F是AA′的延长线与CD的交点，连接CA′．
①求证：∠CA′F=45°；
②如图3，设AF，BE相交于点G，连接CG，DG，DA′．若CG=CB，判断△A′DG的形状，并说明理由．
参考答案与解析
一、与正方形有关的推理及计算
1．（2023安徽中考第8题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AF=2，FB=1，
∴AD=BC=AB=AF+FG=2+1=3，AD∥CB，AD⊥AB,CB⊥AB，
∵EF⊥AB，
∴AD∥EF∥BC
∴DEEM=AFFB=2，△ADE∽△CME，
∴ADCM=DEEM=2，
则CM=12AD=32，
∴MB=3−CM=32，
∵BC∥AD，
∴△GMB∽△GDA，
∴BGAG=MBDA=323=12
∴BG=AB=3，
在Rt△BGM中，MG=MB2+BG2=322+32=352，
故选：B．
2．（2022安徽中考第14题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：
（1） °；
（2）若，，则 ．
【答案】 45 2615
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AB=AD，∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵FG⊥AG，∴∠G=∠A=90°，
∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE=FE，∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠FEG=90°，∴∠FEG=∠EBA，
在△ABE和△GEF中，∠A=∠G∠ABE=∠GEFBE=EF，∴△ABE≌△GEF（AAS），
∴AE=FG，AB=GE，
∵在正方形ABCD中，AB=AD,∴AD=GE
∵AD=AE+DE，EG=DE+DG，∴AE=DG=FG，∴∠FDG=∠DFG=45°．
故填：45°．
（2）如图，作FH⊥CD于H，
∴∠FHD=90°
又∵∠G=∠GDH=90°，∴四边形DGFH是矩形，
又∵DG=FG，∴四边形DGFH是正方形，∴DH=FH=DG=2，
∴AG∥FH, ∴DEFH=DMMH，∴DM=23，MH=43，
作MP⊥DF于P，∵∠MDP=∠DMP=45°，∴DP=MP，
∵DP2+MP2=DM2，∴DP=MP=23，∴PF=523
∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°，∴∠MFP=∠NFH，
∵∠MPF=∠NHF=90°，∴△MPF∽△NHF,
∴MPNH=PFHF，即23NH=5232，∴NH=25，
∴MN=MH+NH=43+25=2615．
故填： 2615．
3.（2024安徽中考第14题）如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB,BC上，沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B′，C′处，然后还原．
（1）若点N在边CD上，且∠BEF=α，则∠C′NM= （用含α的式子表示）；
（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD,AD上，点D落在正方形所在平面内的点D′处，然后还原．若点D′在线段B′C′上，且四边形EFGH是正方形，AE=4，EB=8，MN与GH的交点为P，则PH的长为 ．
【答案】 90°−α/−α+90° 35
【详解】解：①连接CC′，由题意得∠C′NM=∠4，MN⊥CC′，
∵MN⊥EF，
∴CC′∥FE，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，
∴∠3+∠4=∠3+∠2=90°，∠1+∠BEF=90°，
∴∠2=∠4，∠1=90°−α，
∴∠4=90°−α
∴∠C′NM=90°−α，
故答案为：90°−α；
②记HG与NC′交于点K，如图：
∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，HE=FE，∠HEF=90°，
∴∠5+∠6=∠7+∠6=90°，
∴∠5=∠7，
∴△AEH≌△BFE，
同理可证：△AEH≌△BFE≌△DHG≌△CGF，
∴AE=CG=DH=4，DG=BE=8，
在Rt△HDG中，由勾股定理得HG=DH2+DG2=45，
由题意得：∠NC′B′=∠NCB=90°，∠8=∠9，∠D=∠GD′H=90°，NC=NC′，GD=GD′=8，
∴NC′∥GD′，
∴∠NKG=∠9，
∴∠8=∠NKG，
∴NG=NK，
∴NC−NG=NC′−NK，
即KC′=GC=4，
∵NC′∥GD′，
∴△HC′K∽△HD′G，
∴HKHG=C′KD′G=12，
∴HK=12HG，
∴HK=KG，
由题意得MN⊥HG，而NG=NK，
∴PK=PG，
∴PH=34HG=35，
故答案为：35．
4．（2025安徽中考第22题）已知点A′在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA′的垂直平分线，连接A′E，A′B．
(1)如图1，若BA′的延长线经过点D，AE=1，求AB的长；
(2)如图2，点F是AA′的延长线与CD的交点，连接CA′．
①求证：∠CA′F=45°；
②如图3，设AF，BE相交于点G，连接CG，DG，DA′．若CG=CB，判断△A′DG的形状，并说明理由．
【答案】(1)1+2
(2)①详见解析；② △A′DG为等腰直角三角形，理由见解析
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，BA′的延长线经过点D，
∴∠ADB=45°，AD=AB，∠DAB=90°，
由垂直平分线的性质知，A′E=AE，BA′=BA，
又BE=BE，
∴△EA′B≌△EAB，
∴∠EA′B=∠EAB=90°．
又∠ADB=45°，
∴△A′DE是等腰直角三角形，
∴A′E=AE=1，
∴DE=2A′E=2，
∴AB=AD=AE+DE=1+2．
（2）解：①证明：由题意知，BA=BA'=BC，
∴∠BAA'=∠BA'A，∠BCA'=∠BA'C．
∴∠AA′C=∠AA′B+∠CA′B
=12180°−∠ABA′+12180°−∠CBA′
=180°−12∠ABA′+∠CBA′
=180°−45°
=135°，
∴∠CA′F=180°−∠AA′C=45°．
②解：△A′DG是等腰直角三角形．
理由如下：
（方法一）作CN⊥BG交BG于点M，交AB于点N．
∵CG=CB，
∴M为BG的中点．
又AA'⊥BE，
∴CN∥AF，
∴BNAN=BMGM=1，
∴N是AB的中点，
∴MN是△ABG的中位线，BN=12AB．
∵∠ABE=90°−∠CBG=∠BCN，∠BAE=∠CBN=90°，且AB=BC，
∴△ABE≌△BCN，
∴AE=BN=12AB=12AD，
即E为AD的中点．
又AG=GA'，
∴EG∥A'D，
∴∠DA'G=∠EGA=90°．
同理可证△ADA'≌△BAG，
∴A'D=AG=A'G．
∴△A'DG是等腰直角三角形．
（方法二）设∠ABG=θ，则∠CBG=90°−θ．
∵CG=CB，
∴∠CGB=∠CBG=90°−θ，
∴∠BCG=180°−2∠CBG=2θ，
又∵△EA'B≌△EAB，
∴∠A'BG=∠ABG=θ，
∴∠CBA′=90°−2θ．
∵BA'=BA=BC，
∴∠BCA'=∠BA'C．
∴2∠BCA′=180°−∠CBA′=90°+2θ，
∴∠BCA′=45°+θ．
∴∠GCA'=∠BCA'−∠BCG=45°−θ．
∴∠DCA'=90°−∠BCA'=45°−θ=∠GCA'，
又A'C=A'C，CG=CB=CD，
∴△A'CG≌△A'CD．
∴GA'=DA'，∠CA'D=∠CA'G．
由①知∠CA'G=180°−∠CA'F=135°，
∴∠DA'G=360°−2∠CA'G=90°．
又GA'=DA'，
∴△A'DG为等腰直角三角形．