2016-2025年10年安徽数学中考真题汇编 5.2 矩形、菱形与正方形 第1课时 矩形

这是一份2016-2025年10年安徽数学中考真题汇编 5.2 矩形、菱形与正方形 第1课时 矩形，共8页。试卷主要包含了与矩形有关的推理及计算等内容，欢迎下载使用。
一、与矩形有关的推理及计算
1．（2017安徽中考第10题）如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3.动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD..则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．29B．34C．52D．41
2．（2025安徽中考第10题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（ ）
A．EC−ED的最大值是25B．FB的最小值是10
C．EC+ED的最小值是42D．FC的最大值是13
3．（2018安徽中考第14题）矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为 .
4．（2020安徽中考第23题）如图1．已知四边形ABCD是矩形．点E在BA的延长线上．AE=AD.EC与BD相交于点G，与AD相交于点F,AF=AB.
1求证：BD⊥EC；
2若AB=1，求AE的长；
3如图2，连接AG，求证：EG−DG=2AG．
参考答案与解析
一、与矩形有关的推理及计算
1．（2017安徽中考第10题）如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3.动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD..则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．29B．34C．52D．41
【答案】D
【详解】
点P在平行于AB的直线上，先作点B关于该直线的对称点，再利用勾股定理求出AE的长度.
则BE=4,AB=5 ∴AE=16+25=41 ,故选答案D.
2．（2025安徽中考第10题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（ ）
A．EC−ED的最大值是25B．FB的最小值是10
C．EC+ED的最小值是42D．FC的最大值是13
【答案】A
【详解】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，
∴DE=DF，∠EDF=90°．
又∵∠A=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=1，
过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH=AD=1,延长FH交AB于点I，则四边形ABGD是矩形，

∴∠GDA=∠ADE+∠EDG=90°=∠EDG+∠HDF．
∴∠ADE=∠HDF，
∴△DHF≌△DAE（SAS），
∴∠DHF=∠DAE=90°,
∴FH⊥DG，即点F在FH上运动，
∴四边形DAIH和四边形BGHI是矩形，
∴HI=AD=BG=1，AI=DH=1，BI=4−1=3，
∵∠A=∠ABC=90°， AB=4，BC=3，AD=1，
∴DE=12+4−BE2,CE=32+BE2 ,
∴EC−ED=32+BE2−12+4−BE2，
∴BE最大时，EC−ED最大，
当点E与点A重合时，F与H重合时，BF最小,此时EC=42+32=5，ED=1, EC−ED=5−1=4≠25，故A错误，符合题意；BF=HI2+BI2=12+32=10 ,故B正确，不符合题意；
作点D关于AB的对称点M，连接MC,则ED=EM，AD=AM=1，∠BAM=∠BAD=90°,过M作MN⊥CB于点N，此时EC+ED≥CM ,当C、E、M三点共线时，EC+ED最小，
∵MN⊥CB,∠ABN=180°−90°=90°,
∴四边形AMNB是矩形，
∴BN=AM=1，CN=3+1=4，AB=MN=4,
∴EC+ED的最小值=AC=42+42=42 ,故C正确，不符合题意；
当E与A重合时，CF=GH2+CG2=3−12+4−12=13 ,
当E与B重合时，过C作CQ⊥FH，则四边形CQIB是矩形，如下图，
∴CQ=IB=4−1=3，QI=BC=3，
∵△DHF≌△DAE，
∴FH=AE=4，
∴QF=FH+HI−QI=4+1−3=2,
∴FC=CQ2+FQ2=22+32=13，
综上，FC最大值为13．故D项正确，不符合题意；
故选：A．
3．（2018安徽中考第14题）矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为 .
【答案】3或1.2
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，BC=8，
∴BD=10，
∵△PBE∽△DBC，
∴∠PBE=∠DBC，
∴点P在BD上，
如图1，DP=DA=8时，BP=2，
∵△PBE∽△DBC，
∴PE：CD=PB：DB=2：10，
∴PE：6=2：10，
∴PE=1.2；
如图2，当AP=DP时，此时P为BD中点，
∵△PBE∽△DBC，
∴PE：CD=PB：DB=1：2，
∴PE：6=1：2，
∴PE=3；
综上，PE的长为1.2或3，
故答案为1.2或3．
4．（2020安徽中考第23题）如图1．已知四边形ABCD是矩形．点E在BA的延长线上．AE=AD.EC与BD相交于点G，与AD相交于点F,AF=AB.
1求证：BD⊥EC；
2若AB=1，求AE的长；
3如图2，连接AG，求证：EG−DG=2AG．
【答案】（1）见解析；（2）1+52；（3）见解析
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC，
在△EAF和△DAB，
AE=AD∠EAF=∠DABAF=AB，
∴△EAF≌△DAB(SAS)，
∴∠E=∠BDA，
∵∠BDA+∠ABD=90º，
∴∠E+∠ABD=90º，
∴∠EGB=90º，
∴BG⊥EC；
（2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x，
∵AF∥BC，∠E=∠E，
∴△EAF∽△EBC，
∴EAEB=AFBC，又AF=AB=1，
∴x1+x=1x即x2−x−1=0，
解得：x=1+52，x=1−52（舍去）
即AE=1+52；
（3）在EG上截取EH=DG，连接AH，
在△EAH和△DAG，
AE=AD∠HEA=∠GDAEH=DG，
∴△EAH≌△DAG(SAS)，
∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，
∵∠EAH+∠DAH=90º，
∴∠DAG+∠DAH=90º，
∴∠HAG=90º，
∴△GAH是等腰直角三角形，
∴AH2+AG2=GH2即2AG2=GH2，
∴GH=2AG，
∵GH=EG-EH=EG-DG，
∴EG−DG=2AG．