2016-2025年10年安徽数学中考真题汇编 5.2 矩形、菱形与正方形 第2课时 菱形

这是一份2016-2025年10年安徽数学中考真题汇编 5.2 矩形、菱形与正方形 第2课时 菱形，共8页。试卷主要包含了与菱形有关的推理及计算等内容，欢迎下载使用。
一、与菱形有关的推理及计算
1．（2021安徽中考第8题）如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022安徽中考第22题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
(1)如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；
(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
3．（2024安徽中考第22题）如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM=CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．
(1)求证：OE=OF；
(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF．
（ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD；
（ⅱ）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求ACBD的值．
参考答案与解析
一、与菱形有关的推理及计算
1．（2021安徽中考第8题）如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】∵HF⊥BC,EG⊥AB,
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，
由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，
因为O点是菱形ABCD的对称中心，
∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，
∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，
所以四边形EFGH是矩形；
设OE=OF=OG=OH=x，
∴EG=HF=2x，EF=HG=2x2−x2=3x，
如图，连接AC，则AC经过点O，
可得三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2,
∴OA=1,∠AOE=30°，
∴AE=12，
∴x=OE=12−122=32
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=23x+2x=23×32+2×32=3+3,
故选A．
2．（2022安徽中考第22题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
(1)如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形；
(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
【答案】(1)见解析
(2)（ⅰ）∠CED=60°；（ⅱ）见解析
【详解】（1）证明：∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵DE∥BC，
∴∠ODE=∠OBC，∠OED=∠OCB，
∴ΔODE≌ΔOBC（AAS），
∴DE=BC，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴四边形BCDE为菱形．
（2）（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO，
∴CE垂直平分BD，∴BE=DE，
∵BO=DO，∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，
∵EG⊥AC，∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴∠CED=180°3=60°．
（ⅱ）连接EF，
∵EG⊥AC，∴∠EGF=90°，∴∠EFA=90°−∠GEF，
∵∠AEF=180°−∠BEF
=180°−∠BEC−∠CEF
=180°−∠BEC−∠CEG−∠GEF
=180°−60°−60°+∠GEF
=60°+∠GEF
∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，
∴90°−∠GEF=60°+∠GEF，∴∠GEF=15°，
∴∠OEF=∠CEG−∠GEF=60°−15°=45°，
∵CE⊥BD，∴∠EOF=∠EOB=90°，
∴∠OFE=90°−∠OEF=45°，
∴∠OEF=∠OFE，∴OE=OF，
∵AE=CE，∴∠EAC=∠ECA，
∵∠EAC+∠ECA=∠CEB=60°，∴∠ECA=30°，
∵∠EBO=90°−∠OEB=30°，∴∠OCF=∠OBE=30°，
∵∠BOE=∠COF=90°，∴ΔBOE≌ΔCOF（AAS），
∴BE=CF．
3．（2024安徽中考第22题）如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM=CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．
(1)求证：OE=OF；
(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF．
（ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD；
（ⅱ）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求ACBD的值．
【答案】(1)见详解
(2)（ⅰ）见详解，（ⅱ）235
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴AM∥CN，
又∵AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥CM，
∴∠OAE=∠OCF．
在△AOE与△COF中，
∠OAE=∠OCFOA=OC∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COFASA．
∴OE=OF．
（2）（ⅰ）∵HE∥AB
∴OHOA=OEOB，
又OB=OD．OE=OF，
∴OHOA=OFOD，
∵∠HOF=∠AOD，
∴△HOF∽△AOD，
∴∠OHF=∠OAD，
∴HF∥AD
（ⅱ）∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又OE=OF，∠EHF=60°，
∴∠EHO=∠FHO=30°，
∴OH=3OE，
∵AM∥BC．MD=2AM，
∴△AHM∽△CHB，
∴AHHC=AMBC=13，
即HC=3AH，
∴OA+AH=3OA−OH，
∴OA=2OH，
∵BN∥AD，MD=2AM，AM=CN，
∴△BNE∽△DAE，
∴BEED=BNAD=23，
即3BE=2ED，
∴3OB−OE=2OB+OE
∴OB=5OE，
故ACBD=OAOB=2OH5OE=2×3OE5OE=235．