人教版2024-2025年九年级数学2年全国中考真题汇编 5.2 矩形、菱形与正方形 第2课时 菱形

这是一份人教版2024-2025年九年级数学2年全国中考真题汇编 5.2 矩形、菱形与正方形 第2课时 菱形，共116页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．（2025·四川内江）按如下步骤作四边形ABCD：（1）画∠EAF；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE、AF于点B、D：（3）分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC、DC、BD．若∠A=40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．64°B．66°C．68°D．70°
2．（2024·四川自贡）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB．若∠A=40°，则∠MBN=（ ）

A．40°B．50°C．60°D．140°
3．（2024·湖北武汉）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（ ）

A．64°B．66°C．68°D．70°
4．（2025·湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．6B．9C．12D．18
5．（2024·四川攀枝花）如图，四边形ABCD是平行四边形，给出下列四个条件：①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD．若添加其中一个条件，不能使四边形ABCD是菱形的为（ ）
A．①B．②C．③D．④
6．（2024·湖南）下列命题中，正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为720°D．直角三角形是轴对称图形
7．（2024·甘肃临夏）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为3,4，则顶点A的坐标为（ ）
A．−4,2B．−3,4C．−2,4D．−4,3
8．（2024·黑龙江绥化）如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A．245B．6C．485D．12
9．（2025·江苏常州）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=5．若∠ABD=30°，则AC的长是（ ）
A．4B．5C．6D．10
10．（2024·上海）四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ）
A．菱形B．矩形C．直角梯形D．等腰梯形
11．（2024·内蒙古通辽）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（ ）
A．∠BAC=∠BCAB．∠ABD=∠CBD
C．OA2+OD2=AD2D．AD2+OA2=OD2
12．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM=2，BD=8，则MN的长为（ ）

A．5B．455C．355D．255
13．（2024·湖南长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE=x，AF=y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A．y=9xB．y=12xC．y=18xD．y=36x
14．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线y=34x上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（ ）
A．(−1,6)B．(−2,6)C．(−3,6)D．(−4,6)
15．（2024·山东济宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE=3，则菱形的边长为（ ）

A．6B．8C．10D．12
16．（2024·江苏无锡）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（ ）
A．35B．75C．2114D．5714
17．（2024·四川攀枝花）如图，在菱形ABCD中，∠C=120°，DC=4，点E为AB的中点，在对角线BD上有一动点P，则PA+PE的最小值为（ ）
A．4B．22C．23D．25
18．（2025·山东烟台）如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=3，反比例函数y=kxx>0的图象过点C和菱形的对称中心M，则k的值为（ ）
A．4B．42C．2D．22
19．（2025·河南）如图，在菱形ABCD中，∠B=45°,AB=6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（ ）
A．2B．6−32C．22D．62−6
20．（2025·广东广州）如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．52B．5C．4D．8
21．（2024·四川乐山）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A．36B．33C．32D．3
22．（2024·山东泰安）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E是AB边上的点，AE=4，BE=8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（ ）
A．2B．43−2C．23D．4
二、填空题
23．（2024·四川）如图，在菱形ABCD中，AB=2，则菱形ABCD的周长为 ．
24．（2025·黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形ABCD为菱形．
25．（2024·上海）在菱形ABCD中，∠ABC=66°，则∠BAC= ．
26．（2024·江苏南通）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 cm．
27．（2025·云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC, BD相交于点O．若AC=6，BD=5，则菱形ABCD的面积是 ．
28．（2025·四川成都）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
29．（2024·广西）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm．
30．（2024·西藏）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AC与BD相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形ABCD是菱形．
31．（2024·四川眉山）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为 ．
32．（2024·内蒙古包头）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE=AF，则DE的长为 ．
33．（2024·广东）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
34．（2024·山东青岛）如图，菱形ABCD中，BC=10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO= ．
35．（2024·山东滨州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D= ．
36．（2024·陕西）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD=8，过点A作AE⊥AB，与BD相交于点E，连接CE，则四边形ABCE的面积为 ．
37．（2025·四川凉山）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G，若AC=12,BD=16，则FG的长为 ．
38．（2025·上海）在矩形ABCD中，E在边CD上，E关于直线AD的对称点为F，联结BE，AF，如果四边形AFEB是菱形，那么AB:AD的值为 ．
39．（2025·江苏连云港）如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 ．
40．（2025·黑龙江绥化）如图，在菱形ABCD中，AB=4，对角线BD=43，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM+CM的最小值是 ．
41．（2025·内蒙古）如图，在菱形ABCD中，AB=45，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF=3，则EF的长为 ．
42．（2025·辽宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=12，点E在线段OA上，AE=2，点F在线段OC上，OF=1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为 ．
43．（2025·青海）如图，在菱形ABCD中，BD=6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF=2，则菱形ABCD的面积为 ．
44．（2025·青海西宁）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连接OE．若BD=6，OE=5，则菱形ABCD的面积是 ．
45．（2025·四川巴中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AO=4，BO=3，DH⊥AB于点H，DH的长为 ．
46．（2025·海南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点G；作射线AG，交BD于点H．若AB=7，OH=2，则S△ABH= ．
47．（2025·江苏无锡）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点M．过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N，连接MN．则MN的长为 ．
48．（2024·贵州）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．若sin∠EAF=45，AE=5，则AB的长为 ．
49．（2024·浙江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，ACBD=53．线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B′在线段OC上，A′B′交CD于点E，则△B′CE与四边形OB′ED的面积比为
50．（2025·甘肃兰州）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE=CE．若AB=43，则AF= ．
51．（2025·西藏）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA+PB+PC的最小值是 ．
三、解答题
52．（2025·四川达州）归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：
(1)尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
①____________________________________________________________________________；
②____________________________________________________________________________；
③____________________________________________________________________________．
(2)实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，∠ABC=90°，点D是AC的中点，BE∥AC，AE∥BD，试帮他判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论．
53．（2025·吉林长春）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=5,OA=4,OB=3．求证：▱ABCD是菱形．
54．（2024·福建）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠BAF=∠DAE，求证：BE=DF．
55．（2024·山东济南）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E,CF⊥AD，垂足为F．
求证：AF=CE．
56．（2024·四川广安）如图，在菱形ABCD中，点E在AB上，点F在BC上，且AE=CF，连接EF，求证：∠DEF=∠DFE．
57．（2025·四川泸州）如图，在菱形ABCD中，E, F分别是边AB, BC上的点，且AE=CF．
求证：AF=CE．
58．（2024·山东德州）如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
59．（2024·黑龙江哈尔滨）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA=OC，AB=BC．
(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，AB=AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC=75°，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段CE相等的线段（线段CE除外）．
60．（2025·广东深圳）如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE=CD，AD=EC．
(1)求证：四边形ADCE为菱形；
(2)如图2，若点O为AC上一点，AC=4，且E，A，D三点均在⊙O上，连接OD，CD与⊙O相切于点D，
①求∠ACD=__________；
②求⊙O的半径r；
(3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线DF∥AC，交BC于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
61．（2025·贵州）如图，在▱ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E．延长BC至F，使CF=CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G．
(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)若BE=EF,EC=4，求△DCF的面积．
62．（2025·黑龙江大庆）如图．在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O．点B，点D关于AC所在直线对称．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)过点D作BC的垂线交BC延长线于点E．若CE=3，AD=5，求线段OC长．
63．（2024·江苏盐城）如图1，E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形AMCN称为平行四边形ABCD的“中顶点四边形”．
(1)求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；
(2)①如图2，连接AC、BD交于点O，可得M、N两点都在BD上，当平行四边形ABCD满足________时，中顶点四边形AMCN是菱形；
②如图3，已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
64．（2024·云南）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．
65．（2024·四川广元）如图，已知矩形ABCD．
(1)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接AE、CF．求证：四边形AFCE是菱形．
66．（2025·四川遂宁）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，且AF⊥AB，CE⊥CD．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)连接AE，CF，若∠ABD=30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
67．（2025·江苏扬州）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AB=3，BC=5，CE平分∠ACD，求DE的长．
68．（2025·山东青岛）如图，在▱ABCD中，E为AB的中点，F为ED延长线上一点，连接AF，BF，过点B作BG∥AF交FE的延长线于点G，连接AG．
(1)求证：△AEF≌△BEG；
(2)已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AGBF的形状，并证明你的结论．
条件①：EF=12CD；
条件②：EF⊥CD．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
69．（2025·宁夏）如图，点P在直线l外．
①在直线l上任取一点A，连接AP；
②以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B；
③分别以点P和点B为圆心，以大于12BP的长为半径画弧，两弧在∠BAP内交于点Q，作射线AQ；
④以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C；
⑤连接CB,CP．
(1)由②得AP与AB的数量关系是__________；由③得到的结论是__________．
(2)求证：四边形ABCP是菱形．
70．（2025·江苏徐州）已知：如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF．求证：
(1)△AGF≌△CGE；
(2)四边形AECF是菱形．
71．（2025·青海西宁）如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC，半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，垂足分别为G，H，AM∥OF交OE于点M，AN∥OE交OF于点N，连接OA．
(1)求证：∠AOE=∠AOF；
(2)求证：四边形AMON是菱形；
(3)若AB=16，OA=10，则OM=_______．
72．（2025·西藏）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是BC的中点，且AC平分∠DAE．
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)已知AB=3，AE=2，求线段AC的长．
73．（2024·四川凉山）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，AB=2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N．连接EN,CN．

(1)求证：EN=CN；
(2)求2EN+BN的最小值．
74．（2024·江西）如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
(1)如图1，过点B作AC的垂线；
(2)如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线．
75．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF
(1)求证：四边形ABEF是菱形：
(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°，求AE的长．
76．（2024·江苏南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，△DEF和△ABC关于点O对称，连接AF, CD．
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)已知AC=4, BC=3，求四边形ACDF是菱形时AO的长．
77．（2025·四川德阳）如图，已知菱形OABC，点C在x轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过菱形的顶点A3,4，连接OB，OB与反比例函数图象交于点D．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求直线OB的解析式和点D的坐标．
78．（2024·山东威海）如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，∠ABC=60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF=60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF．点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止．设△BEF的面积为ycm2，点E的运动时间为x秒．
(1)求证：BE=EF；
(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)求x为何值时，线段DF的长度最短．
79．（2025·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，tan∠COA=3，OA的长是一元二次方程x2−3x−18=0的根，过点C作CQ⊥OA交OA于点Q，交对角线OB于点P．动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动，动点N从点B以每秒3个单位长度的速度沿BO向终点O运动，M、N两点同时出发，设运动时间为t秒．
(1)求点P坐标；
(2)连接MN、PM，求△PMN的面积S关于运动时间t的函数解析式；
(3)当t=3时，在对角线OB上是否存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
80．（2025·贵州）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点E与点B不重合）．
【问题解决】
（1）如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC= 度，线段BP与线段AC的位置关系是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°,∠PEC=60°，探究线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若BE=2FG,AB=5，求AP的长．
81．（2024·广东广州）如图，在菱形ABCD中，∠C=120°．点E在射线BC上运动（不与点B，点C重合），△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF．
(1)当∠BAF=30°时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由；
(2)若AB=6+63，⊙O为△AEF的外接圆，设⊙O的半径为r．
①求r的取值范围；
②连接FD，直线FD能否与⊙O相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由．
82．（2025·浙江）在菱形ABCD中，AB=5，AC=8．
(1)如图1，求sin∠BAC的值．
(2)如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP．
①当EF⊥AC时，求AE的长．
②求PA−PB的最小值．
参考答案与解析
一、选择题
1．（2025·四川内江）按如下步骤作四边形ABCD：（1）画∠EAF；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE、AF于点B、D：（3）分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC、DC、BD．若∠A=40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．64°B．66°C．68°D．70°
【答案】D
【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：根据作图可得AB=AD=BC=CD
∴四边形ABCD是菱形，则AB∥CD，∠BDC=∠BDA=12∠ADC
又∵∠A=40°，
∴∠BDC=∠BDA=12∠ADC=12180°−∠A=70°
故选：D．
2．（2024·四川自贡）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB．若∠A=40°，则∠MBN=（ ）

A．40°B．50°C．60°D．140°
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形AMBN是菱形，即可求解．
【详解】解：由作图知AM=AN=BM=BN，
∴四边形AMBN是菱形，
∵∠A=40°，
∴∠MBN=∠A=40°，
故选：A．
3．（2024·湖北武汉）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（ ）

A．64°B．66°C．68°D．70°
【答案】C
【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：作图可得AB=AD=BC=DC
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC,∠ABD=∠CBD
∵∠A=44°，
∴∠MBC=∠A=44°，
∴∠CBD=12180°−∠MBC=12180°−44°=68°，
故选：C．
4．（2025·湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．6B．9C．12D．18
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可．
【详解】解：∵在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，
∴AB=AD，CB=CD，BA=BC，
∴BC=CD=DA=AB，
∵AB=3，
∴四边形ABCD的周长为3×4=12，
解法二：
∵在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD为菱形，
∴菱形ABCD的周长为3×4=12，
故选：C．
5．（2024·四川攀枝花）如图，四边形ABCD是平行四边形，给出下列四个条件：①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD．若添加其中一个条件，不能使四边形ABCD是菱形的为（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．根据菱形的判定方法，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、添加AB=BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以得出四边形ABCD是菱形，不符合题意；
B、添加AC=BD，不能得出四边形ABCD是菱形，故符合题意；
C、添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得出四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D、四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴添加AC平分∠BAD，可以得出四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
故选：B．
6．（2024·湖南）下列命题中，正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为720°D．直角三角形是轴对称图形
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．
【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；
C、正五边形的外角和为360°，选项错误，是假命题，不符合题意；
D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；
故选：A．
7．（2024·甘肃临夏）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为3,4，则顶点A的坐标为（ ）
A．−4,2B．−3,4C．−2,4D．−4,3
【答案】C
【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出AC=OC=5是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出AC=OC=5，从而可求出AD=2，即得出顶点A的坐标为−2,4．
【详解】解：如图，
∵点C的坐标为3,4，
∴OC=32+42=5．
∵四边形ABOC为菱形，
∴AC=OC=5，
∴AD=AC−CD=AC−xC=5−3=2，
∴顶点A的坐标为−2,4．
故选C．
8．（2024·黑龙江绥化）如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A．245B．6C．485D．12
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得OC，进而得出AC=6，进而根据等面积法，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，
∴DO=12BD=4，AC⊥BD，BC=CD=5，
在Rt△CDO中，CO=DC2−DO2=3，
∴AC=2OC=6，
∵菱形ABCD的面积为12AC×BD=BC×AE，
∴AE=12×8×65=245，
故选：A．
9．（2025·江苏常州）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=5．若∠ABD=30°，则AC的长是（ ）
A．4B．5C．6D．10
【答案】B
【分析】本题考查的是菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．
根据菱形的性质可得AC⊥BD， AO=CO，根据含30°角的直角三角形的性质即可求得AO的长，从而得到结果．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD， AO=CO，
∴∠AOB=90°，
∵∠ABD=30°，AB=5，
∴AO=12AB=52，
∴AC=2AO=5，
故选：B．
10．（2024·上海）四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ）
A．菱形B．矩形C．直角梯形D．等腰梯形
【答案】A
【分析】本题考查矩形性质、等面积法、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形性质及菱形的判定是解决问题的关键．由矩形性质得到S△OBC=S△OAD，OC=OB=OA=OD，进而由等面积法确定CH=BF=AE=DG，再由菱形的判定即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴S△OBC=S△OAD，OC=OB=OA=OD，
∵过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线，
∴S△OBC=S△OAD=12OC⋅BF=12OB⋅CH=12OD⋅AE=12OA⋅DG
∴ CH=BF=AE=DG，
如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形，
故选：A．
11．（2024·内蒙古通辽）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（ ）
A．∠BAC=∠BCAB．∠ABD=∠CBD
C．OA2+OD2=AD2D．AD2+OA2=OD2
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．根据菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、∵∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=∠CBD
∴AB=AD，
∴▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵OA2+OD2=AD2，
∴∠AOD=90°，即AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵AD2+OA2=OD2，
∴∠OAD=90°，无法得到▱ABCD是菱形，故本选项符合题意；
故选：D
12．（2024·黑龙江大兴安岭地）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM=2，BD=8，则MN的长为（ ）

A．5B．455C．355D．255
【答案】C
【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．
先由菱形性质可得对角线AC与BD交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得OA=OC=OM=2，进而由菱形对角线求出边长，由sin∠MAC=sin∠OBC=55解三角形即可求出MC=ACsin∠MAC=455，MN=BMtan∠OBC=355．
【详解】解：连接AC，如图，

∵菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，
又∵点O是BD的中点，
∴A、O、C三点在同一直线上，
∴OA=OC，
∵OM=2，AM⊥BC，
∴OA=OC=OM=2，
∵BD=8，
∴OB=OD=12BD=4，
∴BC=OB2+OC2=42+22=25，tan∠OBC=OCOB=24=12，
∵∠ACM+∠MAC=90°，∠ACM+∠OBC=90°，
∴∠MAC=∠OBC
∴sin∠MAC=sin∠OBC=OCBC=225=55，
∴MC=ACsin∠MAC=455，
∴BM=BC−MC=25−455=655，
∴MN=BMtan∠OBC=655×12=355，
故选：C．
13．（2024·湖南长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE=x，AF=y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A．y=9xB．y=12xC．y=18xD．y=36x
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，则∠DHE=90°，根据菱形的性质和平行线的性质得到CD=AD=AB=6，∠ADF=∠DEH，∠DCH=∠B=30°，进而利用含30度角的直角三角形的性质DH=12CD=3，证明△AFD∽△DHE得到AFDH=ADDE，然后代值整理即可求解．
【详解】解：如图，过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，则∠DHE=90°，
∵在菱形ABCD中，AB=6，∠B=30°，
∴AB∥CD，AD∥BC，CD=AD=AB=BC=6，
∴∠ADF=∠DEH，∠DCH=∠B=30°，
在Rt△CDH中，DH=12CD=3，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠DHE=90°，又∠ADF=∠DEH，
∴△AFD∽△DHE，
∴AFDH=ADDE，
∵DE=x，AF=y，
∴y3=6x，
∴y=18x，
故选：C．
（法二：同理，DH=3，BC=6，
∵AD∥BC，
∴S△AED=12S菱形ABCD，
∴12DE·AF=12BC·DH，
∵DE=x，AF=y，
∴xy=6×3=18，
∴y=18x，
故选：C．
14．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线y=34x上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（ ）
A．(−1,6)B．(−2,6)C．(−3,6)D．(−4,6)
【答案】B
【分析】过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，先求出B8,6，由勾股定理求得BO=10，再由菱形的性质得到BC=BO=10,BC∥x轴，最后由平移即可求解．
【详解】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，
∵顶点B在直线y=34x上，点B的横坐标是8，
∴yB=8×34=6，即BD=6，
∴B8,6，
∵BD⊥x轴，
∴由勾股定理得：BO=BD2+DO2=10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=BO=10,BC∥x轴，
∴将点B向左平移10个单位得到点C，
∴点C−2,6，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
15．（2024·山东济宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE=3，则菱形的边长为（ ）

A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得OE=12AB，即可得解．
本题主要考查了菱形的性质和“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E是AB的中点，
∴OE=12AB，
∴AB=2OE=2×3=6。
故选：A．
16．（2024·江苏无锡）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（ ）
A．35B．75C．2114D．5714
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
延长BC，过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H，设BC=CD=x，易得∠ABC=∠DCH=60°，则CE=12CD=12x，进而得出EH=CE⋅sin60°=34x,CH=CE⋅cs60°=14x，再得出BH=BC+CH=54x，最后根据sin∠EBC=EHBE，即可解答．
【详解】解：延长BC，过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCH=60°，
设BC=CD=x，
∵E是CD的中点，
∴CE=12CD=12x，
∵EH⊥BH，
∴EH=CE⋅sin60°=34x,CH=CE⋅cs60°=14x，
∴BH=BC+CH=54x，
BE=BH2+EH2=72x
∴sin∠EBC=EHBE=34x72x=2114，
故选：C．
17．（2024·四川攀枝花）如图，在菱形ABCD中，∠C=120°，DC=4，点E为AB的中点，在对角线BD上有一动点P，则PA+PE的最小值为（ ）
A．4B．22C．23D．25
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，连接AC，PC，EC，由菱形的性质可得AB=BC=CD=4，∠ACB=12∠BCD=60°，BD垂直平分AC，则可证明△ABC是等边三角形，AP=CP，求出CE的长，根据PA+PE=PC+PE，可得当C、P、E三点共线时，PC+PE有最小值，即此时PA+PE有最小值，最小值为CE的长，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接AC，PC，EC，
∵四边形ABCD是菱形，∠C=120°，DC=4，
∴AB=BC=CD=4，∠ACB=12∠BCD=60°，BD垂直平分AC，
∴△ABC是等边三角形，AP=CP，
∵点E为AB的中点，
∴BE=12AB=2，CE⊥AB，
∴CE=BC2−BE2=42−22=23，
∵PA+PE=PC+PE，
∴当C、P、E三点共线时，PC+PE有最小值，即此时PA+PE有最小值，最小值为CE的长，
∴PA+PE的最小值为23，
故选：C．
18．（2025·山东烟台）如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=3，反比例函数y=kxx>0的图象过点C和菱形的对称中心M，则k的值为（ ）
A．4B．42C．2D．22
【答案】D
【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明AM=CM，OC=OA=BC=AB=3，设Cx,y，可得Mx+32,y2，xy=x+32⋅y2，求解x=1，过C作CH⊥AO于H，再进一步求解即可．
【详解】解：∵菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=3，
∴AM=CM，OC=OA=BC=AB=3，
∴A3,0，
设Cx,y，
∴Mx+32,y2，
∴xy=x+32⋅y2，
解得：x=1，
过C作CH⊥AO于H，
∴OH=1，
∴CH=32−12=22，
∴C1,22，
∴k=1×22=22；
故选：D
19．（2025·河南）如图，在菱形ABCD中，∠B=45°,AB=6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（ ）
A．2B．6−32C．22D．62−6
【答案】D
【分析】由折叠的性质可知，∠AEB=∠AEF=90°，BE=EF，再根据菱形的性质，得出AE=BE，从而求出BE=32，则BF=62，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可知，∠AEB=∠AEF=90°，BE=EF，
在菱形ABCD中，∠B=45°,AB=6，
∴∠BAE=∠B=45°，BC=AB=6，
∴AE=BE，
∴AB=AE2+BE2=2BE=6，
∴BE=32，
∴BF=2BE=62，
∴CF=BF−BC=62−6，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键．
20．（2025·广东广州）如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．52B．5C．4D．8
【答案】B
【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，BD=2EH，AC=2EF，证明四边形EFGH是矩形，进而得菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=2EF⋅EH．四边形EFGH面积是EF×EH故可得结论．
【详解】解：连接AC、BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，BD=2EH，AC=2EF，
∴EH∥FG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∵∠AEH=∠ABO，∠BEF=∠EAO，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=2EF⋅EH，
∴2EF⋅EH=10，
∴EF⋅EH=5，
∴四边形EFGH的面积为5，
故选：B．
21．（2024·四川乐山）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A．36B．33C．32D．3
【答案】B
【分析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上点M的运动路径．
过点C作CH⊥AD交AD于点H，根据∠ABC=60°，四边形ABCD是菱形，得出 CH垂直平分AD，再证明CH垂直平分PQ，点M在CH上运动，根据解直角三角形 CM′=BC⋅tan30°=33．即可求解．
【详解】解：过点C作CH⊥AD交AD于点H，连接AC，
∵∠ABC=60°，四边形ABCD是菱形，AB=1，
∴∠ADC=60°，CD=BC=AB=AD=1，
∴△ACD是等边三角形，
∴CH垂直平分AD，
∵AD∥BC，
∴CH⊥BC，
∵点P和点Q关于点C对称，
∴PC=QC，即CH垂直平分PQ，
∵DP、AQ交于点M．
∴
∴点M在CH上运动，
当点P与点B重合时，点M位于点M′，
此时，∵∠ABC=60°，四边形ABCD是菱形，AB=1，
∴∠M′BC=12∠ABC=30°，BC=1
∴CM′=BC⋅tan30°=33．
故点M的运动路径长为CM′=33．
故选：B．
22．（2024·山东泰安）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E是AB边上的点，AE=4，BE=8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（ ）
A．2B．43−2C．23D．4
【答案】C
【分析】如图：过E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AI⊥GM于点I，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到AI=MH，因为AG≥GF，所以求出MH的值即可解答．
【详解】解：如图，过E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AI⊥GM于点I，
∵∠EMF+∠EGF=180°，
∴点E、M、F、G四点共圆，
∴∠EMG=∠EFG=30°，
∵∠B=60°，
∴∠BEM=30°=∠EMG，
∴MG∥AB，
∴∠HMF=∠MHA=90°，
∠HAI=∠AIM=90°
∴四边形MHAI是矩形，
∴MH=AI，
∵BE=8，
∴EM=BE⋅cs30°=43，
∴MH=12EM=23=AI，
∴AG≥AI=23，
∴AG最小值是23．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识点，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键．
二、填空题
23．（2024·四川）如图，在菱形ABCD中，AB=2，则菱形ABCD的周长为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查菱形的性质．根据菱形的性质“菱形的四条边相等”可直接进行求解．
【详解】解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为2×4=8，
故答案为：8．
24．（2025·黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形ABCD为菱形．
【答案】AB=AD(或AC⊥BD，答案不唯一）
【分析】本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可．
【详解】解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：AB=AD；
根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：AC⊥BD；
故答案为：AB=AD(或AC⊥BD，答案不唯一）．
25．（2024·上海）在菱形ABCD中，∠ABC=66°，则∠BAC= ．
【答案】57°/57度
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，利用菱形性质得出AB=BC，利用等边对等角得出∠BAC=∠ACB，然后结合三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=12180°−∠ABC=12180°−66°=57°，
故答案为：57°．
26．（2024·江苏南通）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 cm．
【答案】522
【分析】本题考查的是菱形的性质，锐角的正弦的含义，先画图，求解EF=EH=5cm，过E作FI⊥EH于H，结合∠E=45°可得答案．
【详解】解：如图，菱形EFGH的周长为20cm，
∴EF=EH=5cm，
过E作FI⊥EH于H，而∠E=45°，
∴FI=EF⋅sin45°=5×22=522，
故答案为：522
27．（2025·云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC, BD相交于点O．若AC=6，BD=5，则菱形ABCD的面积是 ．
【答案】15
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=5，
∴菱形ABCD的面积是12AC×BD=12×6×5=15，
故答案为：15．
28．（2025·四川成都）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】π6
【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接OB，证明四边形OABC为菱形，易得△AOB为等边三角形，S△AOB=S△ABC=12S菱形OABC，得到∠AOB=60°，根据阴影部分的面积等于弓形AB的面积加上△ABC的面积，即为扇形OAB的面积，进行求解即可．
【详解】解：连接OB，交AC于点D，则：OA=OB=1，
∵四边形OABC为平行四边形，OA=OC，
∴四边形OABC为菱形，
∴OA=AB=OB，S△AOB=S△ABC=12S菱形OABC，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴AC=2AD=3，
∴阴影部分的面积=S扇形OAB−S△OBA+S△ABC=S扇形OAB=60π360×12=π6；
故答案为：π6．
29．（2024·广西）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm．
【答案】83
【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，由题意易得四边形ABCD是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得AM=AN，即可得到四边形ABCD是菱形，再解Rt△ADN可得AD=ANsin60°=23cm，即可求解，得出四边形ABCD是菱形是解题的关键．
【详解】解：过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，则∠AND=90°，
∵两张纸条的对边平行，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵两张纸条的宽度相等，
∴AM=AN，
∵S▱ABCD=BC·AM=CD·AN，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
在Rt△ADN中，∠ADN=60°，AN=3cm，
∴AD=ANsin60°=332=23cm，
∴四边形ABCD的周长为23×4=83cm，
故答案为：83．
30．（2024·西藏）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AC与BD相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形ABCD是菱形．
【答案】AD=AB（答案不唯一）
【分析】本题考查了菱形的判定定理，由题干的已知条件可得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：添加AD=AB（答案不唯一），
∵在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：AD=AB（答案不唯一）．
31．（2024·四川眉山）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为 ．
【答案】475/457
【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据菱形的性质得到AD=BC=CD=6，AD∥BC，∠BCD=120°，然后勾股定理求出DE=CD2−CE2=33，AE=DE2+AD2=37，然后证明出△AFD∽△EFB，得到AFFE=ADBE=69=23，求出AF=675，然后证明出△AGD∽△EGC，得到AGEG=ADCE=63=2，求出AG=27，进而求解即可．
【详解】解：∵菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，
∴AD=BC=CD=6，AD∥BC，∠BCD=120°，
∴∠DCE=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
在Rt△DCE中，∵∠CDE=90°−∠DCE=30°，
∴CE=12CD=3，
∴DE=CD2−CE2=33，
∴BE=BC+CE=9，
∵AD∥BE，
∴∠ADE=180°−∠DEC=90°，
在Rt△ADE中，AE=DE2+AD2=332+62=37，
∵AD∥BE，
∴△AFD∽△EFB，
∴AFFE=ADBE=69=23，
∴AF=25AE=25×37=675，
∵AD∥CE，
∴△AGD∽△EGC，
∴AGEG=ADCE=63=2，
∴AG=23AE=23×37=27，
∴FG=AG−AF=27−675=475．
故答案为：475．
32．（2024·内蒙古包头）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE=AF，则DE的长为 ．
【答案】27
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作DH⊥AC于H，先判断△ABC，△ACD都是等边三角形，得出∠EAF=60°，AC=AB=6，AH=CH=12AC=3，利用含30°的直角三角形的性质可得出AE=2AF=2CE，进而求出CE，HE，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解∶过D作DH⊥AC于H，
∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，
∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠EAF=60°，AC=AB=6，AH=CH=12AC=3，
∵EF⊥AB，
∴∠AEF=30°，
∴AE=2AF，
又CE=AF，
∴AE=2CE，
∴CE=2，
∴HE=CH−CE=1，
在Rt△CDH中，DH2=CD2−CH2=27，
∴DE=DH2+HE2=27，
故答案为：27．
33．（2024·广东）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，利用菱形的性质、三角形中线的性质求出S△ADE=6，S△ABF=8，根据△ABF和菱形的面积求出BFBC=23，BFCF=2，则可求出△CDF的面积，然后利用S阴影=S菱形ABCD−S△ADE−S△BEF−S△CDF求解即可．
【详解】解：连接AF、BD，
∵菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，△BEF的面积为4，
∴S△ADE=12S△ABD=12×12S菱形ABCD=6，S△ABF=2S△BEF=8，
设菱形ABCD中BC边上的高为h，
则S△ABFS菱形ABCD=12BF⋅hBC⋅h，即824=12BFBC，
∴BFBC=23，
∴BFCF=2，
∴S△ABFS△CDF=12BF⋅h12CF⋅h=BFCF=2，
∴S△CDF=4，
∴S阴影=S菱形ABCD−S△ADE−S△BEF−S△CDF=10，
故答案为：10．
34．（2024·山东青岛）如图，菱形ABCD中，BC=10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO= ．
【答案】10
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出AC、BD的长度．根据菱形的面积公式结合BC的长度即可得出BD、AC的长度，在Rt△BOC中利用勾股定理即可求出CO的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC,OB=OD,AB=BC=CD=DA=10，
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=60，
∴AC⋅BD=120，
∴BO⋅OC＝30．
∵BO2+CO2=BC2=100，
∴BO+OC2−2BO⋅CO=100，
∴BO+CO=410（负值已舍去），
∴BO=410−OC，
∴BO2+CO2=102，
∴410−OC2+CO2=100，
∴CO=10，CO＝310（舍去）．
∵AE⊥BC，AO=CO，
∴EO=CO=10．
故答案为：10．
35．（2024·山东滨州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D= ．
【答案】60°
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键；
根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D=180°，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D=180°，
∵四边形OABC是菱形，
∴∠AOC=∠B，
∵ABC=ABC，
∴∠D=12∠AOC，
∵∠B+∠D=180°，∠AOC=∠B，
∴∠B+12∠AOC=∠B+12∠B=180°，
解得：∠B=120°，
∴∠D=180°−∠B=180°−120°=60°，
故答案为：60°．
36．（2024·陕西）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD=8，过点A作AE⊥AB，与BD相交于点E，连接CE，则四边形ABCE的面积为 ．
【答案】754
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，连接AC交BD于点O，根据菱形的性质以及勾股定理求得AC=6，进而根据余弦的定义求得BE=254，进而根据四边形ABCE的面积为BE×AC2，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=DO=12BD=4，
在Rt△AOB中，AO=AB2−BO2=3，则AC=6，
∵AE⊥AB，AC⊥BD，
∴cs∠ABO=OBAB=cs∠ABE=ABBE，
∴45=5BE，
∴BE=254，
∴四边形ABCE的面积为BE×AC2=254×62=754，
故答案为：754．
37．（2025·四川凉山）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G，若AC=12,BD=16，则FG的长为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质与判定，连接OE，由菱形对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OC=6，OD=8，则可由勾股定理求出CD=10，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=5，最后证明四边形OGEF是矩形，即可得到FG=OE=5．
【详解】解：如图所示，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OC=12AC=6，OD=12BD=8，
∴∠COD=90°，
在Rt△COD中，由勾股定理得CD=OC2+OD2=62+82=10，
∵E是边CD的中点，
∴OE=12CD=5，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，
∴∠OGE=∠OFE=∠GOF=90°，
∴四边形OGEF是矩形，
∴FG=OE=5，
故答案为：5．
38．（2025·上海）在矩形ABCD中，E在边CD上，E关于直线AD的对称点为F，联结BE，AF，如果四边形AFEB是菱形，那么AB:AD的值为 ．
【答案】233/233
【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，由轴对称的性质可得DF=DE，设DF=DE=m，则EF=DE+DF=2m，由菱形的性质得到AB=AF=EF=2m，证明∠ADF=90°，利用勾股定理可得AD=3m，据此可得答案．
【详解】解；∵E关于直线AD的对称点为F，
∴DF=DE，
设DF=DE=m，则EF=DE+DF=2m，
∵四边形AFEB是菱形，
∴AB=AF=EF=2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADF=180°−∠ADC=90°，
∴AD=AF2−DF2=3m，
∴AB:AD=2m:3m=233，
故答案为：233．
39．（2025·江苏连云港）如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 ．
【答案】13
【分析】利用四边形DAEF为平行四边形，得出EF=AD，EF=AD，由E为线段AC上的动点，可知E、F运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平运动，过点B作AC的平行线MN， 过点E作关于线段MN的对称点E′，由对称性得BE=BE′，则BE+BF=BE′+BF≤E′F，当且仅当E′、B、F依次共线时，BE′+BF取得最小值E′F，此时，设AC与BD交于点O，EE′交MN于点H，延长E′E交FD延长线于点G，分别证明四边形EOBH和四边形DOEG是矩形，求出GF=GD+DF=EO+AE=AO=2，GE=EH=E′H=1，再利用勾股定理求出E′H即可．
【详解】解：∵四边形DAEF为平行四边形，
∴EF=AD，DF=AE，
∵E为线段AC上的动点，
∴可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平运动，
则如图，过点B作AC的平行线MN，
过点E作关于线段MN的对称点E′，
由对称性得BE=BE′，
∴BE+BF=BE′+BF≤E′F，当且仅当E′、B、F依次共线时，BE′+BF取得最小值E′F，
此时如图，设AC与BD交于点O，EE′交MN于点H，延长E′E交FD延长线于点G，
∵菱形ABCD中，AC=4，BD=2，
∴AO=12AC=2，BO=DO=12BD=1，AC⊥BD，
由题可得AC∥MN，
∴由对称性可得EH⊥HB，
∴AC⊥GH，
∴∠OEH=∠EOB=∠EHB=90°，
∴四边形EOBH是矩形，
∴E′H=EH=OB=1，
∵四边形DAEF为平行四边形，
∴DF=AE，DF∥AC，
∴GD⊥DO，
∴∠GDO=∠DOE=∠GEO=90°，
∴四边形DOEG是矩形，
∴GD=EO，GE=DO=1，
∴GF=GD+DF=EO+AE=AO=2，GE′=GE+EH+E′H=3，
∴E′F=GF2+GE′2=22+32=13，
即BE+BF的最小值为13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键．
40．（2025·黑龙江绥化）如图，在菱形ABCD中，AB=4，对角线BD=43，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM+CM的最小值是 ．
【答案】23
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，
连接AC，根据两点之间线段最短可知PM+CM的最小值为CP′，再结合菱形的性质得AD=AB=CD=4，AC⊥BD,DO=12BD=23，AO=12AC，然后根据勾股定理得AO，可得AC=AD=CD=4，结合等腰三角形的性质得CP′⊥AD，AP′=12AD=2，接下来根据勾股定理得CP′，此题可解．
【详解】解：如图，连接AC，
作点P关于直线BD的对称点P′，则PM=P′M，点P′是AD的中点，
∴PM+CM=P′M+CM≥CP′．
根据两点之间线段最短，可知PM+CM的最小值为CP′，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=CD=4，AC⊥BD,DO=12BD=23，AO=12AC，
根据勾股定理，得AO=AD2−DO2=2，
∴AC=AD=CD=4．
∵点P′是AD的中点，
∴CP′⊥AD，AP′=12AD=2．
在Rt△ACP′中，CP′2=AC2−AP′2=23．
所以PM+CM的最小值为23．
故答案为：23．
41．（2025·内蒙古）如图，在菱形ABCD中，AB=45，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF=3，则EF的长为 ．
【答案】85
【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．连接AC，交BD于点O，过点E作EG⊥OD于点G，利用四边形ABCD是菱形，得出AD=AB=45，BO=OD=12BD=8，AO⊥BD，得出AO=AD2−OD2=4，EG∥AO，即可证明△DEG∽△DAO，即可计算出EG=2，DG=4，求出FG=BD−BF−DG=16−3−4=9，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接AC，交BD于点O，过点E作EG⊥OD于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=45，BO=OD=12BD=8，AO⊥BD，
∴AO=AD2−OD2=4，EG∥AO，
∴△DEG∽△DAO，
∴DEAD=EGAO=DGOD，
∵E是AD的中点，
∴DEAD=EG4=DG8=12，
∴EG=2，DG=4，
∴FG=BD−BF−DG=16−3−4=9，
∴EF=FG2+EG2=92+22=85，
故答案为：85．
42．（2025·辽宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=12，点E在线段OA上，AE=2，点F在线段OC上，OF=1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为 ．
【答案】13
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得OA=12AC=4，OB=12BD=6，AC⊥BD，取OE中点H，连接GH，则GH=12OB，GH∥OB，再用勾股定理解Rt△GHF即可．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=12，
∴ OA=12AC=4，OB=12BD=6，AC⊥BD，
∵ AE=2，
∴ OE=OA−AE=4−2=2，
如图，取OE中点H，连接GH，
∵点G为BE的中点，点H为OE的中点，
∴ GH=12OB=3，GH∥OB，
∴ ∠GHE=∠BOA=90°，
∵ OF=1，
∴ HF=OH+OF=12OE+OF=12×2+1=2，
∴ GF=GH2+HF2=32+22=13，
故答案为：13．
43．（2025·青海）如图，在菱形ABCD中，BD=6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF=2，则菱形ABCD的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由E，F分别为AB，BC的中点，得EF=12AC=2，所以AC=4，然后根据菱形ABCD的面积为12BD×AC即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键．
【详解】解：∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF=12AC=2，
∴AC=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的面积为12BD×AC=12×6×4=12，
故答案为：12．
44．（2025·青海西宁）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连接OE．若BD=6，OE=5，则菱形ABCD的面积是 ．
【答案】65
【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据菱形的性质，得到OA=OC，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到AC=2OE，再根据菱形的面积公式对角线乘积的一半，进行求解即可．
【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，AE⊥BC，
∴OA=OC,∠AEC=90°，
∴AC=2OE=25，
∵BD=6，
∴菱形ABCD的面积=12BD⋅AC=12×6×25=65；
故答案为：65．
45．（2025·四川巴中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AO=4，BO=3，DH⊥AB于点H，DH的长为 ．
【答案】245
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据勾股定理可得AB=5，利用面积法即可求得DH的值．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，AC=2AO=8,BD=2BO=6，
∴AB=AO2+BO2=5，
菱形ABCD的面积=AC⋅BD2=AB⋅DH=24，
∴DH=24AB=245，
故答案为：245．
46．（2025·海南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点G；作射线AG，交BD于点H．若AB=7，OH=2，则S△ABH= ．
【答案】7
【分析】本题考查了菱形的性质，尺规作图作角平分线，角平分线的性质定理．
作HI⊥AB交AB于I，根据菱形的性质可知HO⊥AC，由作图可知AG平分∠BAC，即HI=OH=2，进而根据三角形面积公式计算即可．
【详解】如图，作HI⊥AB交AB于I，
∵菱形ABCD，
∴BD⊥AC，即HO⊥AC，
由作图可知AG平分∠BAC，
∴HI=OH=2，
∴S△ABH=12×AB×HI=12×7×2=7，
故答案为：7．
47．（2025·江苏无锡）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点M．过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N，连接MN．则MN的长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明△ACD为等边三角形，进而得到AC=2，三线合一求出DM的长，证明四边形ACND为平行四边形，进而得到DN=AC=2，推出∠MDN=90°，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，
∴AC⊥BD,∠ADC=∠ABC=60°,∠ADB=∠CDB=12∠ADC=30°,AD=DC=2,AD∥BC，
∴△ACD为等边三角形，
∴AC=AD=2，∠ACD=60°，
∵AC⊥BD，
∴AM=12AC=1，DM=AD2−AM2=3，
∵DN∥AC，
∴四边形ACND为平行四边形，∠CDN=∠ACD=60°，
∴DN=AC=2,∠MDN=∠CDB+∠CDN=90°，
∴MN=DN2+DM2=7；
故答案为：7．
48．（2024·贵州）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．若sin∠EAF=45，AE=5，则AB的长为 ．
【答案】2365/2653
【分析】延长BC，AF交于点M，根据菱形的性质和中点性质证明△ABE≌△ADF，△ADF≌△MCF，过E点作EN⊥AF交N点，根据三角函数求出EN，AN，NF，MN，在Rt△ENM中利用勾股定理求出EM，根据菱形的性质即可得出答案．
【详解】延长BC，AF交于点M，
在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，
∴AB=BC=CD=AD，BE=EC=CF=DF，AD∥BC，∠D=∠FCM，∠B=∠D
在△ABE和△ADF中
AB=AD∠B=∠DBE=DF，
∴ △ABE≌△ADFSAS，
∴ AE=AF，
在△ADF和△MCF中
∠D=∠FCMDF=CF∠AFD=∠MFC，
∴ △ADF≌△MCFASA，
∴ CM=AD，AF=MF，
∵AE=5，
∴AE=AF=MF=5，
过E点作EN⊥AF于N点，
∴∠ANE=90°
∵ sin∠EAF=45，AE=5，
∴EN=4，AN=3，
∴ NF=AF−AN=2，
∴MN=5+2=7，
在Rt△ENM中
EM=EN2+MN2=42+72=65，
即EM=EC+CM=12BC+BC=65，
∵AB=BC=CD=AD，
∴AB=BC=2365，
故答案为：2365．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键．
49．（2024·浙江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，ACBD=53．线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B′在线段OC上，A′B′交CD于点E，则△B′CE与四边形OB′ED的面积比为
【答案】1:3 /13
【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
设AC=10a，BD=6a，首先根据菱形的性质得到OA=OC=12AC=5a，OB=OD=12BD=3a，连接A′D，OE，直线l交BC于点F，交AD于点G，得到点A′，D，O三点共线，A′D=A′O−OD=2a，B′C=OC−OB′=2a，S△CEB′S△OEB′=B′COB′=2a3a=23，然后证明出△A′ED≌△CEB′AAS，得到A′E=CE，然后证明出△ODE≌△OB′ESSS，得到S△ODE=S△OB′E，进而求解即可．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，ACBD=53
∴设AC=10a，BD=6a
∴OA=OC=12AC=5a，OB=OD=12BD=3a
如图所示，连接A′D，OE，直线l交BC于点F，交AD于点G，
∵线段AB与A′B′关于过点O的直线l对称，点B的对应点B′在线段OC上，
∴∠BOF=∠COF=12∠BOB′=45°，AO=A′O=5a，OB′=OB=3a
∴∠AOG=∠DOG=45°
∴点A′，D，O三点共线
∴A′D=A′O−OD=2a，B′C=OC−OB′=2a
∴S△CEB′S△OEB′=B′COB′=2a3a=23
∴A′D=B′C
∵CD∥AB
∴∠CDO=∠ABO
由对称可得，∠A′B′O=∠ABO
∴∠A′B′O=∠CDO
∴∠A′DE=∠CB′E
又∵∠A′ED=∠CEB′
∴△A′ED≌△CEB′AAS
∴A′E=CE
∵A′B′=AB=CD
∴DE=B′E
又∵OD=OB′，OE=OB′
∴△ODE≌△OB′ESSS
∴S△ODE=S△OB′E
∴S△CEB′S四边形OB′ED=S△CEB′S△OEB′+S△ODE=23+3=26=13．
故答案为：13．
50．（2025·甘肃兰州）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE=CE．若AB=43，则AF= ．
【答案】4
【分析】根据菱形的性质，得BC=AB，又结合AE⊥BC，BE=CE，得出△ABC是等边三角形，就可以得知△ABE和△FBE都是含30°的直角三角形，解出三角形，即可求出AF的长．
【详解】解：连接AC，CF，
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵菱形ABCD，
∴BC=AB=43，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠BAE=∠FBC=30°，
∵BE=12AB=12×43=23，
∴AE=3BE=3×23=6，EF=BE3=233=2，
∴AF=AE−EF=6−2=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握这些性质定理是关键．
51．（2025·西藏）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA+PB+PC的最小值是 ．
【答案】43
【分析】本题考查了旋转-最短路线问题，三角形全等的判定，菱形的性质以及等边三角形的性质．通过将AP绕点A顺时针方向旋转60°的点P′，此时证明△DAP′和△CAP全等后找到对应的线段，PA+PB+PC的最小值即为点B，P′，P，D四点共线时，线段BD的长度即为所求．
【详解】如图，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AP′，连接AC，DP′，PP′，
由题意知，在菱形ABCD中，∠ABC=∠ADC=60°，AB=BC=CD=AD，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∵∠DAP′+∠P′AC=∠P′AC+∠CAP=60°，
∴∠DAP′=∠CAP，
在△DAP′和△CAP中，
DA=AC∠DAP′=∠CAPAP′=AP，
∴△DAP'≌△CAPSAS，
∴PA+PB+PC=P′D+PP′+BP≥BD，即点B，P′，P，D四点共线时，PA+PB+PC的最小，
此时最小值BD的长度为43．
故答案为：43．
三、解答题
52．（2025·四川达州）归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：
(1)尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
①____________________________________________________________________________；
②____________________________________________________________________________；
③____________________________________________________________________________．
(2)实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，∠ABC=90°，点D是AC的中点，BE∥AC，AE∥BD，试帮他判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)四边形ADBE是菱形，见解析
【分析】本题考查了菱形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）可写出直角三角形的性质，如勾股定理，直角三角形两锐角互余，斜边大于直角边等；
（2）先证明为平行四边形，再由直角三角形斜边中线的性质得到DB=DA=12AC，即可证明为菱形．
【详解】（1）解：直角三角形的3条性质：
①∠A+∠B=90°；
②a2+b2=c2；
③c>a；
（2）解：四边形ADBE是菱形，理由如下：
∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵∠ABC=90°，点D是AC的中点，
∴DB=DA=12AC，
∴四边形ADBE是菱形．
53．（2025·吉林长春）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=5,OA=4,OB=3．求证：▱ABCD是菱形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理逆定理，熟练掌握菱形的几种判定定理是解题的关键．
先由勾股定理逆定理得到∠AOB=90°，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明．
【详解】证明：∵AB=5,OA=4,OB=3，
∴OB2+OA2=32+42=25，AB2=52=25，
∴OB2+OA2=AB2，
∴∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
54．（2024·福建）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠BAF=∠DAE，求证：BE=DF．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明∠BAE=∠DAF，再证明△BAE≌△DAF，从而可得结论．
【详解】证明：在菱形ABCD中，
AB=AD，∠B=∠D，
∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAE+∠EAF=∠EAF+∠DAF，
∴∠BAE=∠DAF，
在△BAE和△DAF中∠B=∠DAB=AD∠BAE=∠DAF，
∴△BAE≌△DAF，
∴BE=DF．
55．（2024·山东济南）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E,CF⊥AD，垂足为F．
求证：AF=CE．
【答案】证明见解析．
【分析】本题主要考查了菱形的性质， 全等三角形的判定以及性质，由菱形的性质得出AD=CD，用AAS证明△AED≌△CFD，由全等三角形的性质可得出DE=DF， 由线段的和差关系即可得出AF=CE．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AD=CD
∵AE⊥CD,CF⊥AD
∴∠AED=∠CFD=90°
∵∠D=∠D
∴△AED≌△CFD
∴DE=DF
∴AD−DF=CD−DE
∴AF=CE
56．（2024·四川广安）如图，在菱形ABCD中，点E在AB上，点F在BC上，且AE=CF，连接EF，求证：∠DEF=∠DFE．
【答案】见解析
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角．根据菱形的性质可得∠A=∠C，AD=CD，证明△ADE≌△CDF，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，AD=CD，
在△ADE和△CDF中，AE=CF，∠A=∠C，AD=CD，
∴△ADE≌△CDFSAS，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE．
57．（2025·四川泸州）如图，在菱形ABCD中，E, F分别是边AB, BC上的点，且AE=CF．
求证：AF=CE．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到AB=BC，再由线段的和差关系证明BE=BF，则可利用SAS证明△ABF≌△CBE，据此由全等三角形对应边相等可证明AF=CE．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AE=CF，
∴AB−AE=BC−CF，即BE=BF，
在△ABF和△CBE中，
BF=BE∠B=∠BBA=BC，
∴△ABF≌△CBESAS，
∴AF=CE．
58．（2024·山东德州）如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】此题考查平行四边形性质和菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，解直角三角形．
（1）根据平行四边形性质得出∠BAC=∠ACD，再结合角平分线的定义及等腰三角形的判定即可得出∠DAC=∠ACD，AD=CD，根据邻边相等的平行四边形是菱形进而得出结论；
（2）连接BD，由菱形性质可知∠COB=90°，OA=OC=12AC=4，∠ACB=12∠DCB=37°，在利用余弦求出BC长即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠BAC=∠ACD．
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC．
∴∠DAC=∠ACD．
∴AD=CD．
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接BD，交AC于点O，

∵四边形ABCD是菱形．AC=8，∠DCB=74°，
∴∠COB=90°，OA=OC=12AC=4，∠ACB=12∠DCB=37°，
∴BC=OCcs∠ACB=4cs37°≈40.8=5，
即菱形ABCD的边长为5．
59．（2024·黑龙江哈尔滨）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，OA=OC，AB=BC．
(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，AB=AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠FEC=75°，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段CE相等的线段（线段CE除外）．
【答案】(1)见解析
(2)AG，AE，FC，DE
【分析】（1）首先证明出△AOD≌△BOCASA，得到AD=BC，然后结合AB=BC即可证明；
（2）首先由菱形的对称性得到AE=CE；然后证明出△ABC，△ACD是等边三角形，得到∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，求出∠ACH=∠HCD=∠ODC=12×60°=30°，得到CE=DE；然后求出∠CFE=∠FEC， 得到CF=CE；然后求出∠AGF=∠AFG，得到AG=AE，进而求解即可．
【详解】（1）∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
∵OA=OC，∠AOD=∠BOC
∴△AOD≌△BOCASA
∴AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=BC
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴点A和点C关于BD所在直线对称
∴AE=CE；
∵AB=AC，AB=BC
∴AB=BC=AC=AD=CD
∴△ABC，△ACD是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°
∵CH⊥AD，OD⊥AC
∴∠ACH=∠HCD=∠ODC=12×60°=30°
∴CE=DE；
∵∠FEC=75°
∴∠AFG=∠CFE=180°−∠FEC−∠FCE=75°
∴∠CFE=∠FEC
∴CF=CE；
∵AE=CE
∴∠EAC=∠ECA=30°
∴∠AEC=180°−∠EAC−∠ECA=120°
∴∠AEG=∠AEC−∠FEC=45°
∵∠AGF=180°−∠BAC−∠AFG=45°
∴∠AGF=∠AFG
∴AG=AE
∴AG=CE；
综上所述，与线段CE相等的线段有AG，AE，FC，DE．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．
60．（2025·广东深圳）如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE=CD，AD=EC．
(1)求证：四边形ADCE为菱形；
(2)如图2，若点O为AC上一点，AC=4，且E，A，D三点均在⊙O上，连接OD，CD与⊙O相切于点D，
①求∠ACD=__________；
②求⊙O的半径r；
(3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线DF∥AC，交BC于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
【答案】(1)见解析
(2)①30°；②r=43
(3)见解析
【分析】（1）先证明四边形ADCE为平行四边形，斜边上的中线得到CD=12AB=AD=BD，即可得证；
（2）①根据菱形的性质，得到∠DAC=∠ACD，等角对等边得到∠OAD=∠ODA，三角形的外角得到∠COD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD=2∠OCD，切线得到∠CDO=90°，再根据角的和差关系进行求解即可；②解直角三角形OCD，进行求解即可；
（3）利用尺规作图作∠CDF=∠ACD，即可．
【详解】（1）解：∵AD=CE，CD=AE
∴四边形ADCE为平行四边形，
又∵∠ACB=90°，且D为AB中点
∴CD=12AB=AD=BD，
∴平行四边形ADCE为菱形．
（2）①∵四边形ADCE为菱形．
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠ACD，
又∵OA=OD=r，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠COD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD=2∠OCD，
∵CD切⊙O于D，
∴∠CDO=90°，
∴∠COD+∠ACD=2∠ACD+∠ACD=90°；
∴∠ACD=30°；
②设半径为r，
∵AC=4，
∴OC=4−r，
∵∠ACD=30°，∠CDO=90°，
∴sin∠ACD=ODOC=r4−r=12；
解得：r=43；
（3）由题意，作图如下：
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，斜边上的中线，切线的性质，解直角三角形，尺规作平行线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
61．（2025·贵州）如图，在▱ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E．延长BC至F，使CF=CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G．
(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)若BE=EF,EC=4，求△DCF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)83
【分析】（1）BE垂直平分AC，根据线段垂直平分线得到BA=BC，即可证明其为菱形；
（2）先由等腰三角形可设∠3=∠2=∠1=α，求出α=30°，由30°角直角三角形得到BC=2CE=8，可得△ABC为等边三角形，再由等腰三角形的性质证明CG⊥EF，则CG=12CF=2，由勾股定理得FG=23，最后由S△DCF=12CD×FG即可求解．
【详解】（1）证明：∵E为对角线AC上的中点，且BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴BA=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：如图：
∵EB=EF,CE=CF=4，
∴∠3=∠2=∠1，
设∠3=∠2=∠1=α
∴∠4=∠1+∠2=2α，
∵BE⊥AC，
∴∠3+∠4=90°，
∴α+2α=90°，
解得：α=30°
∴∠4=60°，
∵BE⊥AC，
∴BC=2CE=2×4=8，
又∵BC=BA，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD,CD=BC=8，
∴∠FCG=∠ABC,∠ECG=∠BAC，
∴∠FCG=∠ECG，
∵CF=CE=4，
∴CG⊥EF，
∵∠2=30°，
∴CG=12CF=2，
∴FG=FC2−CG2=23，
∴S△DCF=12CD×FG=12×8×23=83．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，30°角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
62．（2025·黑龙江大庆）如图．在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O．点B，点D关于AC所在直线对称．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)过点D作BC的垂线交BC延长线于点E．若CE=3，AD=5，求线段OC长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及对称轴的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据对称可得OD=OB，AC⊥BD，然后证明△AOB≌△CODAAS，则可先证明四边形ABCD是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明其为菱形；
（2）先对Rt△DEC运用勾股定理求解DE，再对Rt△BDE运用勾股定理求解BD，最后由面积法求解即可．
【详解】（1）证明：∵点B，点D关于AC所在直线对称，
∴OD=OB，AC⊥BD，
∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC，
∴△AOB≌△CODAAS，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=BC=5，
由题意得：DE⊥CE，
∴DE=CD2−CE2=52−32=4，
∵BE=BC+CE=5+3=8，
∴BD=DE2+BE2=45，
∵AC⊥BD，
∴12BD×OC=12BC×DE，
∴OC=BC×DEBD=5×445=5．
63．（2024·江苏盐城）如图1，E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形AMCN称为平行四边形ABCD的“中顶点四边形”．
(1)求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；
(2)①如图2，连接AC、BD交于点O，可得M、N两点都在BD上，当平行四边形ABCD满足________时，中顶点四边形AMCN是菱形；
②如图3，已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析
(2)①AC⊥BD；②见解析．
【分析】题目主要考查平行四边形及菱形的判定和性质，三角形重心的性质，理解题意，熟练掌握三角形重心的性质是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG，四边形AFCH均为平行四边形，进而得到：AM∥CN,AN∥CM，即可得证；
（2）①根据菱形的性质结合图形即可得出结果；
②连接AC，作直线MN，交于点O，然后作ND=2ON,MB=2OB，然后连接AB、BC、CD、DA即可得出点M和N分别为△ABC、△ADC的重心，据此作图即可．
【详解】（1）证明：∵▱ABCD，
∴AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,AD=BC，
∵点E、F、G、H分别是▱ABCD各边的中点，
∴AE=12AB=12CD=CG,AE∥CG，
∴四边形AECG为平行四边形，
同理可得：四边形AFCH为平行四边形，
∴AM∥CN,AN∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）①当平行四边形ABCD满足AC⊥BD时，中顶点四边形AMCN是菱形，
由（1）得四边形AMCN是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴MN⊥AC，
∴中顶点四边形AMCN是菱形，
故答案为：AC⊥BD；
②如图所示，即为所求，
连接AC，作直线MN，交于点O，然后作ND=2ON,MB=2OM（或作BM=MN=ND），然后连接AB、BC、CD、DA即可，
∴点M和N分别为△ABC、△ADC的重心，符合题意；
证明：矩形AMCN，
∴AC=MN,OM=ON，
∵ND=2ON,MB=2OM，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
分别延长CM、AM、AN、CN交四边于点E、F、G、H如图所示：
∵矩形AMCN，
∴AM∥CN，MO=NO，
由作图得BM=MN，
∴△MBF∽△NBC，
∴BFBC=BMBN=12，
∴点F为BC的中点，
同理得：点E为AB的中点，点G为DC的中点，点H为AD的中点．
64．（2024·云南）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)111
【分析】（1）连接BD，AC，证明四边形ABCD是平行四边形，再利用三角形中位线定理得到GF∥BD，HG∥AC，利用矩形的性质得到BD⊥AC，即可证明四边形ABCD是菱形；
（2）利用三角形中位线定理和菱形性质得到12BD+12AC=OA+OB=11，利用lx 面积公式得到2OA⋅OB=10，再利用完全平方公式结合勾股定理进行变形求解即可得到AB．
【详解】（1）解：连接BD，AC，
∵ AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，
∴GF∥BD，HG∥AC，
∵四边形EFGH是矩形，
∴HG⊥GF，
∴ BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，
∴GF=EH=12BD，HG=EF=12AC，
∵矩形EFGH的周长为22，
∴ BD+AC=22，
∵四边形ABCD是菱形，
即12BD+12AC=OA+OB=11，
∵四边形ABCD的面积为10，
∴12BD⋅AC=10，即2OA⋅OB=10，
∵OA+OB2=OA2+2OA⋅OB+OB2=121，
∴ OA2+OB2=121−10=111，
∴ AB=OA2+OB2=111．
【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，矩形的性质和判定，三角形中位线定理，菱形的性质和判定，菱形面积公式，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握相关性质是解题的关键．
65．（2024·四川广元）如图，已知矩形ABCD．
(1)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接AE、CF．求证：四边形AFCE是菱形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的画法及性质，三角形全等的判定与性质，菱形的判定．
（1）根据垂直平分线的画法即可求解；
（2）由直线EF是线段AC的垂直平分线．得到EA=EC，FA=FC，∠COE=∠AOF=90°，OA=OC，根据矩形的性质可证△COE≌△AOFASA，可得EC=FA，即可得到EA=EC=FA=FC，即可求证．
【详解】（1）解：如图1所示，直线EF为所求；
（2）证明：如图2，设EF与AC的交点为O，
由（1）可知，直线EF是线段AC的垂直平分线．
∴EA=EC，FA=FC，∠COE=∠AOF=90°，OA=OC，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠ECO=∠FAO，
∴△COE≌△AOFASA，
∴EC=FA，
∴EA=EC=FA=FC，
∴四边形AFCE是菱形．
66．（2025·四川遂宁）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，且AF⊥AB，CE⊥CD．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)连接AE，CF，若∠ABD=30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形AECF是菱形，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、菱形和平行四边形的判定等知识；
（1）根据垂直的定义可得∠BAF=∠DCE=90°，根据平行线的性质可得∠ABF=∠CDE，根据已知条件可得BF=DE，即可证明结论；
（2）根据△ABF≌△CDE可得AF=CE，∠AFB=∠CED，即得AF∥CE，进而可得四边形AECF是平行四边形，然后根据30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质证得AF=CF，即可得到结论.
【详解】（1）证明：∵AF⊥AB，CE⊥CD，
∴∠BAF=∠DCE=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵BE=EF=FD，
∴BF=DE，
∴△ABF≌△CDEAAS；
（2）解：四边形AECF是菱形，理由如下：
∵△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
在直角三角形ABF中，∵∠ABD=30°，
∴AF=12BF，
在直角三角形DCE中，∵EF=DF，
∴CF=12DE，
∵BF=DE，
∴AF=CF，
∴四边形AECF是菱形.
67．（2025·江苏扬州）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AB=3，BC=5，CE平分∠ACD，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)95
【分析】（1）先证明△AOE≌△COFAAS得到AE=CF，根据▱ABCD得到AD∥BC，那么可得四边形AFCE是平行四边形，再由线段垂直平分线的性质得到EA=EC，即可证明其为菱形；
（2）根据菱形的性质结合已知条件证明△CBA∽△CDE，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵对角线AC的垂直平分线是EF，
∴AO=OC,EA=EC，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COFAAS，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EA=EC，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：如图，
∵CE平分∠ACD，
∴∠1=∠2，
∵菱形AFCE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD=3，
∴△CBA∽△CDE，
∴CBCD=ABDE，
∴53=3DE，
∴DE=95．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
68．（2025·山东青岛）如图，在▱ABCD中，E为AB的中点，F为ED延长线上一点，连接AF，BF，过点B作BG∥AF交FE的延长线于点G，连接AG．
(1)求证：△AEF≌△BEG；
(2)已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AGBF的形状，并证明你的结论．
条件①：EF=12CD；
条件②：EF⊥CD．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)证明见解析
(2)条件①，四边形AGBF为矩形；条件②，四边形AGBF为菱形，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平行得到∠AFE=∠BGE，∠FAE=∠GBE，再由EA=EB，即可由AAS证明全等；
（2）先证明四边形AGBF为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可．
【详解】（1）证明：∵BG∥AF，
∴∠AFE=∠BGE，∠FAE=∠GBE，
∵E为AB的中点，
∴EA=EB，
∴△AEF≌△BEGAAS
（2）解：选择条件①，四边形AGBF为矩形，理由如下：
∵△AEF≌△BEG
∴EF=EG，
∵EA=EB，
∴四边形AGBF为平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵EF=12CD，
∴EF=12AB，
∵EF=EG，
∴EF=12FG，
∴AB=FG，
∴四边形AGBF为矩形；
选择条件②，四边形AGBF为菱形，理由如下：
∵△AEF≌△BEG
∴EF=EG，
∵EA=EB，
∴四边形AGBF为平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵EF⊥CD，
∴EF⊥AB，
∴四边形AGBF为菱形．
69．（2025·宁夏）如图，点P在直线l外．
①在直线l上任取一点A，连接AP；
②以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B；
③分别以点P和点B为圆心，以大于12BP的长为半径画弧，两弧在∠BAP内交于点Q，作射线AQ；
④以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C；
⑤连接CB,CP．
(1)由②得AP与AB的数量关系是__________；由③得到的结论是__________．
(2)求证：四边形ABCP是菱形．
【答案】(1)AP=AB；射线AQ平分∠BAP
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图——基本作图，全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理，解题的关键是理解尺规作图中所蕴含的线段等量关系，利用“四边相等的四边形是菱形”进行判定．
（1）根据步骤②中“以点A为圆心，AP长为半径画弧交直线l于点B”，直接得出AP与AB的数量关系；步骤③是作角平分线的尺规作图方法，据此得出射线AQ的性质．
（2）利用尺规作图得到相等线段和角度，可证△ABC≌△APC(SAS)，结合菱形的判定定理“四边相等的四边形是菱形”进行证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B，
∴AP=AB，
∵步骤③是作角平分线的尺规作图方法，
∴射线AQ平分∠BAP．
故答案为：AP=AB；射线AQ平分∠BAP．
（2）证明：∵以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B，
∴AP=AB，
∵射线AQ平分∠BAP，
∴∠BAC=∠PAC；
在△ABC和△APC中，
AB=AP∠BAC=∠PACAC=AC，
∴△ABC≌△APC(SAS)，
∴BC=PC，
又∵以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C，
∴PA=PC，
∴AP=AB=BC=PC，
∴四边形ABCP是菱形．
70．（2025·江苏徐州）已知：如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF．求证：
(1)△AGF≌△CGE；
(2)四边形AECF是菱形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明EG∥AB，可得CGAG=CEBE=1，可得AG=CG，再证明∠CAF=∠ACE，∠AFG=∠CEG，即可得到结论；
（2）先证明四边形AECF为平行四边形，结合E为BC的中点，∠BAC=90°，可得EA=EC=EB，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵EF⊥AC，AB⊥AC，
∴∠BAC=∠EGC=90°，
∴EG∥AB，
∵E为BC的中点，
∴CGAG=CEBE=1，
∴AG=CG，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠CAF=∠ACE，∠AFG=∠CEG，
∴△AGF≌△CGE．
（2）证明：∵△AGF≌△CGE，
∴AF=CE，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵E为BC的中点，∠BAC=90°，
∴EA=EC=EB，
∴四边形AECF为菱形．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线分线段成比例，掌握以上基础知识是解本题的关键．
71．（2025·青海西宁）如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC，半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，垂足分别为G，H，AM∥OF交OE于点M，AN∥OE交OF于点N，连接OA．
(1)求证：∠AOE=∠AOF；
(2)求证：四边形AMON是菱形；
(3)若AB=16，OA=10，则OM=_______．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)253
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证；
（2）先证明四边形AMON为平行四边形，等积法推出OM=ON，即可得证；
（3）垂径定理结合勾股定理求出OG的长，设OM=AM=x，在Rt△AGM中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴AB=AC，
∵半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，
∴AE=BE,AF=CF，
∴AE=BE=AF=CF，
∴∠AOE=∠AOF；
（2）证明：∵AM∥OF，AN∥OE，
∴四边形AMON为平行四边形，
∵半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，
∴AG=12AB,AH=12AC，
∵AB=AC，
∴AG=AH，
∵S四边形AMON=OM⋅AG=ON⋅AH，
∴OM=ON，
∴四边形AMON为菱形；
（3）∵AB=16，
∴AG=12AB=8，
在Rt△AOG中，由勾股定理，得：OG=OA2−AG2=6，
由（2）知：四边形AMON为菱形，
∴设OM=AM=x，则：MG=OM−OG=x−6，
在Rt△AGM中，由勾股定理，得：x2=82+x−62，
解得x=253；
∴OM=253．
72．（2025·西藏）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是BC的中点，且AC平分∠DAE．
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)已知AB=3，AE=2，求线段AC的长．
【答案】(1)见详解
(2)7
【分析】（1）先证明四边形AECD为平行四边形，再由等腰三角形的判定求得AE=EC，进而由菱形的判定定理得结论；
（2）根据（1）可得CE=BE=AE=2，BC=4，证明∠BAC=90°，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵点E是BC的中点，
∴BC=2CE，
∵BC=2AD，
∴CE=AD，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACE，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠ACE=∠EAC，
∴AE=CE，
∴平行四边形AECD为菱形；
（2）解：∵AE=2，
根据（1）可得CE=BE=AE=2，BC=4，
∴∠ACE=∠EAC，∠ABE=∠EAB，
∵∠ACE+∠ABE+∠EAC+∠EAB=180°，
∴∠BAC=∠EAC+∠EAB=90°，
∵AB=3，
∴AC=BC2−AB2=42−32=7．
【点睛】该题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
73．（2024·四川凉山）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，AB=2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N．连接EN,CN．

(1)求证：EN=CN；
(2)求2EN+BN的最小值．
【答案】(1)见详解
(2)23
【分析】（1）根据菱形的性质证明△ABN≌△CBN，再结合MN是AE的垂直平分线，即可证明EN=CN；
（2）过点N作NF⊥BC于点F，连接NF,AF，∠DBC=30°，则NF=12BN，故2EN+BN=2EN+12BN=2AN+NF≥2AF，此时AF⊥BC，在Rt△ABF中，进行解直角三角形即可．
【详解】（1）证明：连接AN，

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°，BA=BC，
∵BN=BN，
∴△ABN≌△CBN，
∴AN=CN，
∵MN是AE的垂直平分线，
∴AN=NE，
∴EN=CN；
（2）解：过点N作NF⊥BC于点F，连接NF,AF，

∵∠DBC=30°，
∴NF=12BN，
∵AN=EN，
∴2EN+BN=2EN+12BN=2AN+NF≥2AF，
当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：

即AF⊥BC，
∴在Rt△ABF中，AF=AB⋅sinABC=2×32=3，
∴2EN+BN的最小值为23．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解直角三角形，正确添加辅助线是解决本题的关键．
74．（2024·江西）如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
(1)如图1，过点B作AC的垂线；
(2)如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析．
【分析】（1）作直线BD，由菱形的性质可得BD⊥AC，即BD为AC的垂线；
（2）连接CE并延长，与DA的延长线相交于点M，作直线BM，因为点E为线段AB的中点，所以AE=BE，因为AM∥BC，所以∠EAM=∠EBC，∠EMA=∠ECB，故可得△AEM≌△BEC，得到ME=CE，所以四边形ACBM为平行四边形，即BM∥AC；
本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，BD即为AC所求；
（2）解：如图，BM即为所求．
75．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF
(1)求证：四边形ABEF是菱形：
(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)AE=5
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识 ：
（1）由平行四边形的性质得AF∥BE,∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA,再证明△AOF≌△EOB，得出BE=AF，证明出四边形ABEF是平行四边形，由AB=AF得出四边形ABEF是菱形：
（2）求出菱形ABEF的周长为20，得出AB=5，再证明△ABE是等边三角形，得出AE=AB=5．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,即AF∥BE,
∴∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA,
∵O为BF的中点，
∴BO=FO,
∴△AOF≌△EOB，
∴BE=FA,
∵AF∥BE,
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB=AF,
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵AD=BC,AF=BE,
∴DF=CE=1,
∵平行四边形ABCD的周长为22，
∴菱形ABEF的周长为：22−2=20,
∴AB=20÷4=5,
∵四边形ABEF是菱形，
∴∠BAE=12∠BAD=12×120°=60°,
又AB=AE,
∴△ABE是等边三角形，
∵AE=AB=5．
76．（2024·江苏南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，△DEF和△ABC关于点O对称，连接AF, CD．
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)已知AC=4, BC=3，求四边形ACDF是菱形时AO的长．
【答案】(1)见解析
(2)165
【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）由中心对称的性质证明DF=AC，DF∥AC即可证明；
（2）利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出OC，利用勾股定理求AO即可．
【详解】（1）证明：∵△DEF和△ABC关于点O对称，
∴△ABC≌△DEF
∴∠BAC=∠EDF，DF=AC，
∴DF∥AC，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）解：连接CF，
∵△DEF和△ABC关于点O对称，四边形ACDF是平行四边形；
∴F,O,C三点共线，
∵∠ACB=90°, AC=4, BC=3，
∴AB=AC2+BC2=42+32=5，
∵四边形ACDF是菱形，
∴CF⊥AD，
∵12AC⋅CB=12AB⋅CO，
∴CO=125，
∴AO=AC2−OC2=42−1252=165．
77．（2025·四川德阳）如图，已知菱形OABC，点C在x轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过菱形的顶点A3,4，连接OB，OB与反比例函数图象交于点D．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求直线OB的解析式和点D的坐标．
【答案】(1)y=12x；
(2)y=12x，D26,6．
【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由A3,4得OA=32+42=5，又四边形OABC是菱形，则AB=OA=5，得到B8,4，从而求出直线OB的解析式为y=12x，然后联立y=12xy=12x，即可求解．
【详解】（1）解：把A3,4代入y=kx，得k=3×4=12，
∴反比例函数解析式为y=12x；
（2）解：∵A3,4，
∴OA=32+42=5，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB=OA=5，
∴B8,4，
设直线OB的解析式为y=mxm≠0，
把B8,4代入得4=8m，
∴m=12
∴直线OB的解析式为y=12x，
∵点D是反比例函数与正比例函数的交点，
∴联立解析式y=12xy=12x，
解得x=26y=6或x=−26y=−6，
∵x>0，
∴D26,6．
78．（2024·山东威海）如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，∠ABC=60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF=60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF．点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止．设△BEF的面积为ycm2，点E的运动时间为x秒．
(1)求证：BE=EF；
(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)求x为何值时，线段DF的长度最短．
【答案】(1)证明见解析；
(2)y=−3x2+103x0