2016-2025年10年安徽数学中考真题汇编 4.5 相似三角形

这是一份2016-2025年10年安徽数学中考真题汇编 4.5 相似三角形，共13页。试卷主要包含了与相似三角形有关的证明与计算等内容，欢迎下载使用。
1．（2020安徽中考第8题）如图，Rt△ABC中，∠C=90° ，点D在AC上，∠DBC=∠A．若AC=4,csA=45，则BD的长度为（ ）
A．94B．125C．154D．4
2．（2021安徽中考第23题）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，点E在边BC上，且AE//CD，DE//AB，作CF//AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2，若AB=9，CD=5，∠ECF=∠AED，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求BEEC的值．
3．（2019安徽中考真第23题）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°
（1）求证：△PAB∽△PBC
（2）求证：PA=2PC
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3
4．（2017安徽中考第23题）已知正方形ABCD,点M为边AB的中点.
(1)如图1,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.
①求证:BE=CF;
②求证:BE2=BC·CE.
图1 图2
(2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,
求tan ∠CBF的值.
5．（2024安徽中考第22题）如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM=CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．
(1)求证：OE=OF；
(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF．
（ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD；
（ⅱ）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求ACBD的值．
6.（2023安徽中考第22题）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接．

(1)如图1，求的大小；
(2)已知点和边上的点满足．
（ⅰ）如图2，连接，求证：；
（ⅱ）如图3，连接，若，求的值．
参考答案与解析
一、与相似三角形有关证明计算
1．（2020安徽中考第8题）如图，Rt△ABC中，∠C=90° ，点D在AC上，∠DBC=∠A．若AC=4,csA=45，则BD的长度为（ ）
A．94B．125C．154D．4
【答案】C
【详解】∵∠C=90°，∴csA=ACAB，
∵AC=4，csA=45，∴AB=5，
根据勾股定理可得BC=AB2−AC2=3，
∵∠DBC=∠A，∴cs∠DBC=cs A=45，
∴cs∠DBC=BCBD=45，即3BD=45，∴BD=154，
故选：C．
2．（2021安徽中考第23题）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD，点E在边BC上，且AE//CD，DE//AB，作CF//AD交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：△ABF≌△EAD；
（2）如图2，若AB=9，CD=5，∠ECF=∠AED，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求BEEC的值．
【答案】（1）见解析；（2）6；（3）1+2
【详解】（1）证明：∵AE//CD，∴∠AEB=∠DCE；
∵DE//AB，∴∠ABE=∠DEC，∠1=∠2，
∵∠ABC=∠BCD，∴∠ABE=∠AEB，∠DCE=∠DEC，∴AB=AE，DE=DC，
∵AF//CD，AD//CF，∴四边形AFCD是平行四边形
∴AF=CD，∴AF=DE
在△ABF与△EAD中，AB=EA∠1=∠2AF=ED，
∴△ABF≌△EAD(SAS)
（2）∵△ABF≌△EAD，∴BF=AD，
在□AFCD中，AD=CF，∴BF=CF，∴∠FBC=∠FCB，
又∵∠FCB=∠2，∠2=∠1，∴∠FBC=∠1，
在△EBF与△EAB中，∠EBF=∠1∠BEF=∠AEB，
∴△EBF∽△EAB，∴EBEA=EFEB；
∵AB=9，∴AE=9；∵CD=5，∴AF=5；
∴EF=4，∴EB9=4EB，
∴BE=6或−6（舍）；
（3）延长BM、ED交于点G．
∵△ABE与△DCE均为等腰三角形，∠ABC=∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，∴ABDC=AEDE=BECE，
设CE=1，BE=x，DC=DE=a，
则AB=AE=ax，AF=CD=a，∴EF=a(x−1)，
∵AB//DG，∴∠3=∠G；
在△MAB与△MDG中，∠3=∠G∠4=∠5MA=MD，
∴△MAB≌△MDG(AAS)；
∴DG=AB=ax，∴EG=a(x+1)；
∵AB//EG，∴△FAB∽△FEG，
∴FAFE=ABEG，∴aa(x−1)=axa(x+1)，
∴x(x−1)=x+1，
∴x2−2x−1=0，
∴(x−1)2=2，∴x=1±2，
∴x1=1−2（舍），x2=1+2，
∴BEEC=1+2．
3．（2019安徽中考真第23题）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°
（1）求证：△PAB∽△PBC
（2）求证：PA=2PC
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC
又∠APB=135°，
∴∠PAB+∠PBA=45°，
∴∠PBC=∠PAB，
又∵∠APB=∠BPC=135°，
∴△PAB∽△PBC；
（2）∵△PAB∽△PBC，
∴PAPB=PBPC=ABBC，
在Rt△ABC中，AC=BC，
∴ABBC=2,
∴PB=2PC，PA=2PB
∴PA=2PC；
（3）

过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，
∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，
∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°,
又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°
∴∠EAP=∠PCD，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴PEDP=APPC=2，即h3h2=2，∴h3=2h2
∵△PAB∽△PBC，
∴h1h2=ABBC=2，∴h1=2h2
即h12=2h22=2h2•h2=h2h3.
4．（2017安徽中考第23题）已知正方形ABCD,点M为边AB的中点.
(1)如图1,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.
①求证:BE=CF;
②求证:BE2=BC·CE.
图1 图2
(2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,
求tan ∠CBF的值.
【答案】（1）详见解析；（2）tan ∠CBF=5-12.
【详解】(1)①∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°,
∴∠ABG+∠CBF=90°,
∵∠AGB=90°,
∴∠ABG+∠BAG=90°,
∴∠BAG=∠CBF
∵AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,
∴△ABE≌△BCF,
∴BE=CF.
②∵∠AGB=90°,点M为AB的中点,
∴MG=MA=MB,
∴∠GAM=∠AGM,
又∵∠CGE=∠AGM,∠GAM=∠CBG,
∴∠CGE=∠CBG,
又∠ECG=∠GCB,
∴△CGE∽△CBG,
∴CECG=CGCB,即CG2=BC·CE.
∵∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF,∴CF=CG,
由①知BE=CF,
∴BE=CG,∴BE2=BC·CE.
(2)延长AE,DC交于点N,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,∴∠N=∠EAB,
又∵∠CEN=∠BEA,
∴△CEN∽△BEA,∴CEBE=CNAB,即BE·CN=AB·CE.
∵AB=BC,BE2=BC·CE,∴CN=BE,
∵AB∥DN,∴CNAM=CGGM=CFMB.
∵AM=MB,∴CF=CN=BE.
不妨设正方形的边长为1,BE=x,
由BE2=BC·CE,可得x2=1·(1-x),
解得x1=5-12,x2=-5-12(舍),∴BEBC=5-12,
则tan ∠CBF=CFBC=BEBC=5-12.
5．（2024安徽中考第22题）如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM=CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．
(1)求证：OE=OF；
(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF．
（ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD；
（ⅱ）如图3，若▱ABCD为菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求ACBD的值．
【答案】(1)见详解
(2)（ⅰ）见详解，（ⅱ）235
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴AM∥CN，
又∵AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥CM，
∴∠OAE=∠OCF．
在△AOE与△COF中，
∠OAE=∠OCFOA=OC∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COFASA．
∴OE=OF．
（2）（ⅰ）∵HE∥AB
∴OHOA=OEOB，
又OB=OD．OE=OF，
∴OHOA=OFOD，
∵∠HOF=∠AOD，
∴△HOF∽△AOD，
∴∠OHF=∠OAD，
∴HF∥AD
（ⅱ）∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又OE=OF，∠EHF=60°，
∴∠EHO=∠FHO=30°，
∴OH=3OE，
∵AM∥BC．MD=2AM，
∴△AHM∽△CHB，
∴AHHC=AMBC=13，
即HC=3AH，
∴OA+AH=3OA−OH，
∴OA=2OH，
∵BN∥AD，MD=2AM，AM=CN，
∴△BNE∽△DAE，
∴BEED=BNAD=23，
即3BE=2ED，
∴3OB−OE=2OB+OE
∴OB=5OE，
故ACBD=OAOB=2OH5OE=2×3OE5OE=235．
6.（2023安徽中考第22题）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接．

(1)如图1，求的大小；
(2)已知点和边上的点满足．
（ⅰ）如图2，连接，求证：；
（ⅱ）如图3，连接，若，求的值．
【详解】（1）解：∵MA=MD=MB，∴∠MAD=∠MDA,∠MBD=∠MDB，
在△ABD中，∠MAD+∠MDA+∠MBD+∠MDB=180°
∴∠ADB=∠ADM+∠BDM=180°2=90°
（2）证明：（ⅰ）证法一：如图，延长BD、AC，交于点F，则∠BCF=90°，

∵ME⊥AD，∠ADB=90°，∴EM∥BD．
又∵DE∥AB，∴四边形BDEM是平行四边形，∴DE=BM．
∵M是AB的中点，∴AM=BM，∴DE=AM．∴四边形AMDE是平行四边形．
∵ME⊥AD，∴▱AMDE是菱形，∴AE=AM．
∵EM∥BD，∴AEAF=AMAB，∴AB=AF．
∵∠ADB=90°，即AD⊥BF，
∴BD=DF，即点D是Rt△BCF斜边的中点，∴BD=CD．
证法二：∵∠ACB=∠ADB=90°，M是斜边AB的中点，
∴点A、C、D、B在以M为圆心，AB为直径的⊙M上．

∵ME⊥AD，∴ME垂直平分AD，∴EA=ED，∴∠EAD=∠EDA．
∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴∠EAD=∠BAD，∴BD=CD．
证法三：∵ME⊥AD，∠ADB=90°，∴EM∥BD．
又∵DE∥AB，∴四边形BDEM是平行四边形，∴DE=BM．
∵M是AB的中点，∴AM=BM．
∴DE=AM，∴四边形AMDE是平行四边形．
∵ME⊥AD，∴▱AMDE是菱形，∴∠EAD=∠MAD．
∵∠ACB=∠ADB=90°，M是斜边AB的中点，
∴点A、C、D、B在以M为圆心，AB为直径的⊙M上，∴BD=CD．
（ⅱ）如图所示，过点E作EH⊥AB于点H，

∵AC=8,BC=6，∴AB=AC2+BC2=10，则AE=AM=12AB=5，
∵∠EAH=∠BAC,∠ACB=∠AHE=90°，∴△AHE∽△ACB，
∴EHBC=AHAC=AEAB=510，∴EH=3,AH=4，
∴BH=AB−AH=10−4=6，∴tan∠ABE=EHBH=36=12