人教版2024-2025年九年级数学2年全国中考真题汇编 4.6 解直角三角形及其应用

这是一份人教版2024-2025年九年级数学2年全国中考真题汇编 4.6 解直角三角形及其应用，共144页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．（2024·吉林长春）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（ ）

A．asinθ千米B．asinθ千米C．acsθ千米D．acsθ千米
2．（2024·云南）在△ABC中，若∠B=90°,AB=3,BC=4，则tanA=（ ）
A．45B．35C．43D．34
3．（2025·山东东营）如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC=α，AC=5米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（ ）米．
A．5tanα+5B．5tanα+5C．5csαD．5sinα
4．（2025·云南）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．若AB=13, BC=5，则sinA=（ ）
A．15B．112C．113D．513
5．（2025·广西）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，AC=3，则sinB=（ ）
A．710B．37C．310D．17
6．（2025·广东深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（ ）
A．223B．3C．24D．13
7．（2025·江苏镇江）如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（ ）
A．120tan10°米B．120sin10°米C．120tan10°米D．120sin10°米
8．（2024·天津）2cs45∘−1的值等于（ ）
A．0B．1C．22−1D．2−1
9．（2024·甘肃临夏）如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，则BC的长是（ ）
A．3B．6C．8D．9
10．（2024·山东淄博）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35 m．又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（ ）

A． B．
C． D．
11．（2025·天津）tan45°−2cs45°的值等于（ ）
A．0B．1C．1−22D．1−2
12．（2025·吉林长春）如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处．测得山峰顶端B的仰角为α．则A、B两点之间的距离为（ ）
A．m−nsinα米B．m−nsinα米
C．m−ncsα米D．m−ncsα米
13．（2025·江苏南通）在△ABC中，∠C=90°,tanA=12,AC=25，则BC的长为（ ）
A．1B．2C．5D．5
14．（2025·江苏常州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，则sinB的值是（ ）
A．35B．34C．45D．43
15．（2024·广东深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（ ）（参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m
16．（2024·四川雅安）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ）
A．253米B．25米C．252米D．50米
17．（2024·山东日照）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M,N,A,B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（ ）
（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37,cs22°≈0.93,tan22°=0.40）
A．41mB．42mC．48mD．51m
18．（2025·宁夏）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为EF，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（ ）
A．CH的长，∠EDH的度数
B．AB的长，∠ECH的度数
C．CH的长，∠ECH,∠EDH的度数
D．AB的长，∠ECH,∠EDH的度数
二、填空题
19．（2024·江苏南通）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC=6m，则旗杆AC的高度为 m．
20．（2025·广东）计算20−2sin30°的结果是 ．
21．（2024·黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD=50m，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）．
22．（2024·内蒙古赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且AC=10米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为45°，古树底部A的俯角为65°，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：sin65°≈0.906，cs65°≈0.423，tan65°≈2.145）．
23．（2025·四川眉山）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB、AC的长都为2m，当a=65°时，人字梯顶端离地面的高度是 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
24．（2025·黑龙江绥化）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1:2（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC=15m，则迎水坡面AB的长度是 ．
25．（2025·内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处．从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为 m（结果保留根号）．
26．（2025·浙江）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰角为α,csα=0.98，则A处到B处的距离为 m．

27．（2025·辽宁）如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C，在C处测得∠ACB=51∘，BC=6m，则树AB的高约为 m（结果精确到0.1m．参考数据：sin51∘≈0.78，cs51∘≈0.63，tan51∘≈1.23）．
28．（2025·湖南长沙）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB=OA，AC=3，则OA的长为 ．
29．（2024·四川眉山）如图，斜坡CD的坡度i=1:2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为 米．
30．（2024·湖南）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC=4分米，OB=12分米．∠BOE=60°，则点C到水平线l的距离CF为 分米（结果用含根号的式子表示）．
31．（2024·湖北武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：tan63°≈2）
32．（2024·山东泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米（图中点A，B，C，P在同一平面内），那么大汶河此河段的宽AB为 米．（参考数据：sin63.6°≈910，tan50°≈65，tan63.6°≈2）
33．（2024·宁夏）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB=2cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD,BC=DE=11cm,∠ABE=120°,∠CBE=80°．器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为 cm（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin80°≈0.9848,cs80°≈0.1736,tan80°≈5.6713,3≈1.732）
34．（2025·上海）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段AB）的竖直高度2.7米，某人（线段CD）身高为1.8米，扫描仪测得∠A=53°，那么该人与扫描仪的水平距离为 米．（备用数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.33，精确到0.1米）
35．（2025·广东广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，已知cs∠CAD=1213，AB=26，则点B到AD的距离为 ．
三、解答题
36．（2024·吉林）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB=873m，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC=37°，看塔底D的俯角∠EAD=45°，求吉塔的高度CD（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin37°=0.60，cs37°=0.80，tan37°=0.75）
37．（2024·内蒙古呼伦贝尔）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是多少米？（点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：3≈1.7）
38．（2024·四川）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
39．（2024·辽宁）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3m，∠CAB=60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB=37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
(1)求AB的长；
(2)求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
40．（2024·西藏）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为30°；格桑在B处测得山顶C的仰角为45°．已知两人所处位置的水平距离MN=210米，A处距地面的垂直高度AM=30米，B处距地面的垂直高度BN=20米，点M，F，N在同一条直线上，求小山CF的高度．（结果保留根号）

41．（2025·四川成都）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，3≈1.73）
42．（2025·四川遂宁）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α=37°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β=50°．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°=0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
43．（2025·四川广安）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为30°，A，C两点的距离为24m．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（结果精确到0.1m）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，3≈1.73）
44．（2025·湖北）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°,A到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：tan35°≈0.7）
45．（2025·山东青岛）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度．（参考数据：sin22°≈38，cs22°≈1516，tan22°≈25，sin42°≈2740，cs42°≈34，tan42°≈910）
46．（2025·江苏宿迁）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点A、B处，选取河对岸的一块石头C作为测量点（点A、B、C在同一水平面内），小明同学在点A处测得∠BAC为42°，小军同学在点B处测得∠ABC为61°，两人之间的距离AB为60米，求此河流的宽度．（参考数据：sin42°≈0.67,tan42°≈0.90,sin61°≈0.87,tan61°≈1.80）
47．（2025·西藏）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知DC=6cm，求四边形ABCD的面积（结果保留根号）．
48．（2024·四川广安）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）．已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC=30米，求该风力发电机塔杆AB的高度．
（结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，3≈1.73）

49．（2024·山东威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）
(1)设AB=a，BC=b，AC=c，CE=d，DE=e，CD=f，BE=g，AD=h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
(2)根据（1）中选择的数据，写出求∠α的一种三角函数值的推导过程．
(3)假设sinα≈0.86，csα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数，你选择的按键顺序为________．
50．（2024·河北）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6m，点P到BQ的距离PQ=2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
(1)求β的大小及tanα的值；
(2)求CP的长及sin∠APC的值．
51．（2024·陕西）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1600m，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角∠CAE=42°，再在AE上选一点B，在点B处测得C点的仰角α=45°，AB=10m．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）

52．（2024·河南）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角．
(1)请仅就图2的情形证明∠APB>∠ADB．
(2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：3≈1.73）．
53．（2024·贵州）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC=20cm，∠A=45°，折射角∠DON=32°．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求BC的长；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin32°≈0.52，cs32°≈0.84，tan32°≈0.62）
54．（2024·天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE=36 m,EC⊥AB，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°．
(1)求线段CD的长（结果取整数）；
(2)求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan31°≈0.6,tan6°≈0.1．
55．（2024·甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE=1.6米）测得A点仰角为37°，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
56．（2024·浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB=10,AD=6,tan∠ACB=1．
(1)求BC的长；
(2)求sin∠DAE的值．
57．（2024·四川广元）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sinαsinβ叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且csα=74，β=30°，求该介质的折射率；
(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知α=60°，CD=10cm，求截面ABCD的面积．
58．（2024·黑龙江牡丹江）如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC，对垂直于地面CD的建筑物AD的高度进行测量，BC⊥CD于点C．在B处测得A的仰角∠ABE=45°，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至FG处，FG⊥CD于点G，测得A的仰角∠AFE=58°，BF的延长线交AD于点E，求建筑物AD的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin58°≈0.85,cs58°≈0.53,tan58°≈1.60）
59．（2024·广东广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD=17米，BD=10米．
(1)求CD的长；
(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cs36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75）
60．（2024·青海）如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角α是17°，识别到最近点B的俯角β是45°，该摄像头安装在距地面5m的点C处，求最远点与最近点之间的距离AB（结果取整数，参考数据：sin17°≈0.29，cs17°≈0.96，tan17°≈0.31）．
61．（2024·内蒙古通辽）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度（精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：3≈1.73)．
62．（2024·甘肃兰州）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
解决问题：根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm）
参考数据：sin37°≈0.60,cs37°≈0.80,tan37°≈0.75，sin64°≈0.90,cs64°≈0.44,tan64°≈2.05．
63．（2024·四川资阳）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距1633海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．

(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）
64．（2024·黑龙江大庆）如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东45°方向上，求大桥CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：3≈1.73）
65．（2024·四川巴中）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度i=1:3，BE=6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．
(1)求点B离水平地面的高度AB．
(2)求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
66．（2024·江苏宿迁）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度，
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
67．（2024·湖北）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度．
68．（2024·内蒙古）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=24cm,BE=13AB，试管倾斜角∠ABG为12°．
(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，∠ABM=147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
69．（2024·海南）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．

请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：∠PAB=________°，∠APC=________°，AB= ________海里；
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
70．（2024·山东青岛）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
（参考数据：sin32°≈1732,cs32°≈1720,tan32°≈58,sin42°≈2740,cs42°≈34,tan42°≈910）
71．（2024·江苏徐州）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）
72．（2024·山西）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米；…
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cs18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33)．
73．（2024·江苏南京）如图，港口B位于港口A的北偏西37°方向，港口C位于港口A的北偏东21°方向，港口C位于港口B的北偏东76°方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为12km，求港口C到航线的距离．（参考数据：tan21°≈821, tan37°≈34, tan76°≈4．）
74．（2024·江苏淮安）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG=53°，如图2，当拉杆伸出两节（AM，MB）时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（sin53°≈45,sin37°≈35,tan53°≈43,tan37°≈34）
75．（2025·四川泸州）如图，在水平地面上有两座建筑物AD, BC，其中BC=18m．从A, B之间的E点（A, E, B在同一水平线上）测得D点，C点的仰角分别为75°和30°，从C点测得D点的仰角为30°．
(1)求∠CDE的度数；
(2)求建筑物AD的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
76．（2025·四川达州）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值）
77．（2025·四川凉山）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM=3米，∠BOM=18.17°．（参考数据：sin18.17°≈0.31,cs18.17°≈0.95,tan18.17°≈0.33,sin36°≈0.59,cs36°≈0.81,tan36°≈0.73，结果精确到1米）
(1)求直吊臂OB的长；
(2)如图2，直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM=36°时，货物M上升了多少米？
78．（2025·山东烟台）【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25）．
79．（2025·四川内江）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角∠ABD为45°，在C处测得桥塔顶部A的仰角∠ACD为30°，又测得BC=80m，AD⊥BC，垂足为D，求桥塔AD的高度（结果保留根号）．
80．（2025·安徽）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°．已知AB=13.20m，求AD的长（精确到0.1m）．参考数据：sin23.8°≈0.40，cs23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．
81．（2025·甘肃）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关长城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低．为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得．∠ACG=16.7°，∠AEG=22°，其中CD=EF=1.7m（测角仪的高度），DF=CE=5.5m，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cs16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30）
82．（2025·山东威海）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠2的度数，大楼底部点A的俯角∠1的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1=45°，∠2=52°，∠3=65°，CD=10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）．参考数据：sin52°≈0.8，cs52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cs65°≈0.4，tan65°≈2.1）
83．（2025·新疆）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值．
84．（2025·天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD=EF=1.7m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE=32m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数）．
参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6．
85．（2025·甘肃平凉）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低，为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得∠ACG=16.7°，∠AEG=22°，其中CD=EF=1.7m（测角仪的高度），DF=CE=5.5m，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）（参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cs16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30）
86．（2025·吉林）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据．
项目报告表 时间：2025年5月29日
请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．
87．（2025·广东）综合与实践
【阅读材料】
如图，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有asinA=bsinB=csinC．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题．
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究．
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图，在空旷地找一点C；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341 m，AC≈388.5 m．
【问题解决】
（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离．
（参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998）
【评价反思】
（2）设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识．
88．（2025·湖南长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB=800m．
(1)求∠ACB的度数；
(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）
89．（2025·贵州）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知BD=28m,CD=21m，该地冬至正午太阳高度角α为35°．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿BD方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据：sin35°≈0.57,cs35°≈0.82,tan35°≈0.70．结果保留小数点后一位）
90．（2025·青海）数学实践
【问题背景】
中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成65°夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷．
【问题呈现】
用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角？
【模型建立】
环节一：数据收集
两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为65°．
环节二：数学抽象
如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F，AB=CD=1.8 m，BE=DF=0.3 m，∠AEF=∠CFE=65°，EF=0.6 m，求OE的长度．（结果精确到0.1，参考数据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【模型求解】
【问题总结】
交叉点O距顶端A的长度即OA为______m时，支架与地面形成65°夹角，这样更贴合作物的生长规律．
91．（2025·甘肃兰州）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表：
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）
（参考数据：tan89°25′37.43″≈100.00，tan89°22′38.09″≈92.00，sin89°25′37.43″≈0.99995，sin89°22′38.09″≈0.99994，cs89°25′37.43″≈0.00999，cs89°22′38.09″≈0.01087）
92．（2025·四川资阳）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i=1:3,AB=1010米，CD⊥BN．（点A,B,C,D在同一竖直平面内）．
(1)求平台BN的水平高度；
(2)求建筑物的高度（即CD的长）．
93．（2025·四川广元）为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔．该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成（如图①）．小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量（如图②）：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角∠ACD=74°，最低点B的仰角∠BCD=73°，点E到塔底中心O的距离OE为15米．求五角星高度AB大约是多少米（结果保留整数）？（参考数据：tan74°≈3.49，tan73°≈3.27)

94．（2025·黑龙江大庆）数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度BC．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离AB=70米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：3≈1.73）．
95．（2025·江苏徐州）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作△ABC．同学们测得BC=22.2m，∠B=34.2°，∠C=9.8°．求AC的长度（精确到0.1m）．
答案（参考数据：sin34.2°≈0.56，cs34.2°≈0.83，tan34.2°≈0.68，sin9.8°≈0.17，cs9.8°≈0.99，tan9.8°≈0.17）
96．（2025·四川巴中）某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为30°，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为75°，A、B与电塔底部C在同一直线上．
(1)求点B到AD的距离；
(2)求高压电塔CD的高度（结果保留根号）．
97．（2025·山东济南）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上）
(1)求两滑梯的高度差；
(2)两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．（结果精确到0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，cs32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839）
98．（2025·重庆）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，7≈2.65）
(1)求BD的长度（结果保留小数点后一位）；
(2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
参考答案与解析
一、选择题
1．（2024·吉林长春）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（ ）

A．asinθ千米B．asinθ千米C．acsθ千米D．acsθ千米
【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解
【详解】解：由题意得：sinθ=ALAR=ALa
∴AL=asinθ千米
故选：A
2．（2024·云南）在△ABC中，若∠B=90°,AB=3,BC=4，则tanA=（ ）
A．45B．35C．43D．34
【答案】C
【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意利用锐角三角函数即可得到本题答案．
【详解】解：∵∠B=90°,AB=3,BC=4，
∴tanA=BCAB=43，
故选：C．
3．（2025·山东东营）如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC=α，AC=5米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（ ）米．
A．5tanα+5B．5tanα+5C．5csαD．5sinα
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，得到地毯的长度为AC+BC的长，利用正切定义求得BC=AC⋅tanα即可求解．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=α，AC=5米，
∴BC=AC⋅tanα=5tanα（米），
∴地毯的长度为BC+AC=5tanα+5米．
故选：B．
4．（2025·云南）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．若AB=13, BC=5，则sinA=（ ）
A．15B．112C．113D．513
【答案】D
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握正弦等于锐角的对边与斜边的比值是解题的关键．
直接由正弦的定义即可求解．
【详解】解：∵∠C=90°，AB=13, BC=5，
∴在Rt△ABC中，sinA=BCAB=513，
故选：D．
5．（2025·广西）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，AC=3，则sinB=（ ）
A．710B．37C．310D．17
【答案】B
【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，AC=3，
∴sinB=ACAB=37．
故选：B
6．（2025·广东深圳）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（ ）
A．223B．3C．24D．13
【答案】D
【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键．
根据正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵BC长为10米，斜道AC长为30米，
∴根据题意得：sinA=1030=13，
故选：D
7．（2025·江苏镇江）如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（ ）
A．120tan10°米B．120sin10°米C．120tan10°米D．120sin10°米
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据sinA=BCAB可得BC的长，由此即可得．
【详解】解：如图，由题意得：∠A=10°,BC⊥AC，AB=120米，
∴sinA=BCAB，
∴BC=AB⋅sinA=120sin10°米，
即她沿垂直方向升高了120sin10°米，
故选：D．
8．（2024·天津）2cs45∘−1的值等于（ ）
A．0B．1C．22−1D．2−1
【答案】A
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据cs45°=22代入即可求解.
【详解】2cs45∘−1=2×22−1=0，
故选：A.
9．（2024·甘肃临夏）如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，则BC的长是（ ）
A．3B．6C．8D．9
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作AD⊥BC于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD=12BC．根据sinB=ADAB=45，可求出AD=4，最后根据勾股定理可求出BD=3，即得出BC=2BD=6．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=AC=5，
∴BD=CD=12BC．
在Rt△ABD中，sinB=ADAB=45，
∴AD=45AB=45×5=4，
∴BD=AB2−AD2=52−42=3，
∴BC=2BD=6．
故选B．
10．（2024·山东淄博）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35 m．又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形的应用，用计算器计算三角函数值，根据题意，得到AB=BC⋅tan29°，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：在Rt△ABC中，BC=35，∠C=29°，
∴AB=BC⋅tan29°=35⋅tan29°；
计算器的按键为 ；
故选A．
11．（2025·天津）tan45°−2cs45°的值等于（ ）
A．0B．1C．1−22D．1−2
【答案】A
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解．
【详解】解：tan45°−2cs45°=1−2×22=0
故选：A．
12．（2025·吉林长春）如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处．测得山峰顶端B的仰角为α．则A、B两点之间的距离为（ ）
A．m−nsinα米B．m−nsinα米
C．m−ncsα米D．m−ncsα米
【答案】B
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．
由题意得四边形ACDE是矩形，则CD=AB=n，那么BC=BD−CD=m−n，再解Rt△ACB即可．
【详解】解：由题意得，四边形ACDE是矩形，
∴CD=AB=n，
∴BC=BD−CD=m−n，
由题意得，∠ACB=90°,∠BAC=α，
∴sin∠BAC=BCAB，
∴AB=BCsinα=m−nsinα，
故选：B．
13．（2025·江苏南通）在△ABC中，∠C=90°,tanA=12,AC=25，则BC的长为（ ）
A．1B．2C．5D．5
【答案】C
【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出BC的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义tanA=对边邻边（A为锐角，对边是BC，邻边是AC ）是解题的关键．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， tanA=BCAC =12，AC=25，
∴BC25=12 ．
∴BC=12×25=5 ．
故选：C．
14．（2025·江苏常州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，则sinB的值是（ ）
A．35B．34C．45D．43
【答案】C
【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出BC，再在Rt△ABC中利用sinB=ACBC即可求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=AB2+AC2=5，
∴sinB=ACBC=45，
故选：C．
15．（2024·广东深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（ ）（参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m
【答案】A
【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形EFDG、EFBM、CDBN是矩形，再设GM=xm，表示EM=x+5m，然后在Rt△AEM，tan∠AEM=AMEM，以及Rt△ACN，tan∠ACN=ANCN，运用线段和差关系，即MN=AN−AM=43x−x+5=0.3，再求出x=15.9m，即可作答．
【详解】解：如图：延长DC交EM于一点G，
∵∠MEF=∠EFB=∠CDF=90°
∴四边形EFDG是矩形
∵∠MEF=∠EFB=∠B=90°
∴四边形EFBM是矩形
同理得四边形CDBN是矩形
依题意，得EF=MB=1.8m，CD=1.5m，∠AEM=45°，∠ACN=53°
∴CG=1.8−1.5m=0.3m，FD=EG=5m
∴CG=MN=0.3m
∴设GM=xm，则EM=x+5m
在Rt△AEM，tan∠AEM=AMEM，
∴EM×1=AM
即AM=x+5m
在Rt△ACN，tan∠ACN=ANCN，
∴CNtan53°=43x=AN
即AN=43xm
∴MN=AN−AM=43x−x+5=0.3
∴x=15.9m
∴AM=15.9+5=20.9m
∴AB=AM+EF=AM+MB=20.9+1.8=22.7m
故选：A
16．（2024·四川雅安）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ）
A．253米B．25米C．252米D．50米
【答案】A
【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
设DC=x米，在Rt△ACD中，利用锐角三角函数定义表示出AC，在Rt△BCD中，利用锐角三角函数定义表示出BC，再由AC−BC=AB=50列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值即可．
【详解】解：设DC=x米，
在Rt△ACD中，∠A=30°，
tanA=DCAC，即tan30°=xAC=33，
整理得：AC=3x米，
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，
tan∠DBC=DCBC，即tan60°=xBC=3，
整理得：BC=33x米，
∵AB=50米，
∴AC−BC=50，即3x−33x=50，
解得：x=253，
侧这栋楼的高度为253米．
故选：A．
17．（2024·山东日照）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M,N,A,B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（ ）
（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37,cs22°≈0.93,tan22°=0.40）
A．41mB．42mC．48mD．51m
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
延长BA交MN于点C，根据题意得BC⊥MN,BC=119m,MN=74m，然后在Rt△CNB中，利用锐角三角函数的定义求出CN的长，从而求出MC的长，再在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】如图，延长BA交MN于点C．
由题意得BC⊥MN,BC=119m,MN=74m．
在Rt△CNB中，∠CNB=45°，
∴CN=BCtan45°=119m，
∴MC=MN+NC=193m．
在Rt△AMC中，∠AMC=22°，
∴AC=MC⋅tan22°≈193×0.4=77.2(m)，
∴AB=BC−AC=119−77.2≈42(m)．
故选B．
18．（2025·宁夏）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为EF，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（ ）
A．CH的长，∠EDH的度数
B．AB的长，∠ECH的度数
C．CH的长，∠ECH,∠EDH的度数
D．AB的长，∠ECH,∠EDH的度数
【答案】D
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．设CH=x,DH=y,∠ECH=α，∠EDH=β．tanα=EHCH，EH=CH⋅tanα=xtanα．tanβ=EHDH，EH=DH⋅tanβ=ytanβ．则xtanα=ytanβ．AB=DH−CH=y−x，若已知AB的长，设AB=d，则y=x+d，代入xtanα=ytanβ可解得x，进而求得EH=xtanα，最终得到EF．
【详解】解：由题意可得，测角仪水平视线到水面的高度为2+1.5=3.5米，即HF=3.5米，
因此EF=EH+HF=EH+3.5，要求EF只需先求EH．
设CH=x,DH=y,∠ECH=α，∠EDH=β．
在Rt△ECH中，tanα=EHCH，
则EH=CH⋅tanα=xtanα．
在Rt△EDH中，tanβ=EHDH，
则EH=DH⋅tanβ=ytanβ．
所以xtanα=ytanβ．
又因为AB是地面上两点A、B的距离，且A、B与测角仪测量点C、D在同一水平线上，测角仪支架高度相同，
所以AB=DH−CH=y−x，
若已知AB的长，设AB=d，则y=x+d，代入xtanα=ytanβ可解得x，
进而求得EH=xtanα，最终得到EF．
综上，需要测量AB、∠ECH 、∠EDH，这样就能通过解方程组求出EH，从而得到EF．
选项A中CH的长和∠EDH的度数，无法直接求EH，也无法建立两个方程求解：
选项B缺少∠EDH，无法联立方程组：
选项C中CH的长已知则无需AB，但实际测量中无法直接得到CH；
选项D中AB的长、∠ECH、∠EDH的度数，符合上述分析，通过两个仰角和两点距离可求解EH，进而得到EF．
故选：D
二、填空题
19．（2024·江苏南通）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC=6m，则旗杆AC的高度为 m．
【答案】63
【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出AC的值即可．
【详解】解：由题意：∠C=90°,∠B=60°,BC=6，
∴AC=BC⋅tan60°=63；
故答案为：63．
20．（2025·广东）计算20−2sin30°的结果是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键．
分别计算零指数幂以及代入特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：20−2sin30°
=1−2×12
=1−1
=0，
故答案为：0．
21．（2024·黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD=50m，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）．
【答案】50+503/503+50
【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得∠BAD=45°，∠CAD=60°，AD=50m，然后利用三角函数求解即可．
【详解】解：依题意，∠BAD=45°，∠CAD=60°，AD=50m．
在Rt△ABD中，BD=AD⋅tan45°=50×1=50m，
在Rt△ACD中，CD=AD⋅tan60°=50×3=503m，
∴BC=BD+CD=50+503m．
故答案为：50+503．
22．（2024·内蒙古赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且AC=10米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为45°，古树底部A的俯角为65°，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：sin65°≈0.906，cs65°≈0.423，tan65°≈2.145）．
【答案】11.5
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点D作DM⊥AB，由题意知：DM=AC=10米，∠BDM=45°，∠ADM=65°，推出△BDM是等腰直角三角形，在Rt△ADM中，利用正切函数求出AM的值，根据AB=AM−BM计算求解可得AB的值．
【详解】解：如图，过点D作DM⊥AB，交AB的延长线于点M，
∴四边形ACDM是矩形，
∴DM=AC=10米，
∵∠BDM=45°，∠ADM=65°，∠M=90°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴BM=DM=10米，
在Rt△ADM中，AM=DM⋅tan∠ADM=10⋅tan65°≈10×2.145≈21.45（米），
∴AB=AM−BM=21.45−10=11.45≈11.5（米），
∴古树AB的高度约为11.5米．
故答案为：11.5．
23．（2025·四川眉山）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB、AC的长都为2m，当a=65°时，人字梯顶端离地面的高度是 m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【答案】1.8
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键，过点A作AD⊥BC，解Rt△ADC，求出AD的长即可．
【详解】解：过点A作AD⊥BC，则：∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，AC=2m，a=65°，
∴AD=AC⋅sin65°≈1.8m；
故人字梯顶端离地面的高度是1.8m；
故答案为：1.8．
24．（2025·黑龙江绥化）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1:2（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC=15m，则迎水坡面AB的长度是 ．
【答案】153m/153米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关键．
根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵坡AB的斜坡坡度i=1:2，
∴BCAC=12，而BC=15m，
即15AC=12，
解得，AC=152， 经检验符合题意，
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=1522+152=153（米），
故答案为：153m．
25．（2025·内蒙古）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处．从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为 m（结果保留根号）．
【答案】1203
【分析】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．过点C作CD⊥AB于点D，则CD=90m，求出∠CAD=∠MCA=60°，∠CBD=∠NCB=30°，利用CD⊥AB，得出AD=CDtan∠CAD=903=303，BD=CDtan∠CBD=9033=903，相加即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则CD=90m，
∵∠MCA=60°，∠NCB=30°，MN∥AB，
∴∠CAD=∠MCA=60°，∠CBD=∠NCB=30°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∴AD=CDtan∠CAD=903=303，BD=CDtan∠CBD=9033=903，
∴AB=AD+BD=1203，
故答案为：1203．
26．（2025·浙江）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为500m，从点A观测点P的仰角为α,csα=0.98，则A处到B处的距离为 m．

【答案】490
【分析】利用仰角的余弦解答即可．
本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得AB=APcsα=500×0.98=490m，
故答案为：490．
27．（2025·辽宁）如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C，在C处测得∠ACB=51∘，BC=6m，则树AB的高约为 m（结果精确到0.1m．参考数据：sin51∘≈0.78，cs51∘≈0.63，tan51∘≈1.23）．
【答案】7.4
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键．
在Rt△ABC中，由AB=BC×tan∠CAB即可求解．
【详解】解：由题意得AB⊥BC，
∴在Rt△ABC中，AB=BC×tan∠CAB=6×1.23≈7.4m，
故答案为：7.4．
28．（2025·湖南长沙）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB=OA，AC=3，则OA的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了解直角三角形，由题意得△AOB是等边三角形；得出∠OAC=60°，根据OA=ACcs60°=6即可求解．
【详解】解：∵AB=OA，OA=OB，
∴AB=OA=OB，
∴△AOB是等边三角形；
∴∠OAC=60°；
∵AC=3，
∴OA=ACcs60°=6，
故答案为：6．
29．（2024·四川眉山）如图，斜坡CD的坡度i=1:2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为 米．
【答案】415−25/−25+415
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形．
如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，设BH=x米，EH=2x米，勾股定理求出x=25，解直角三角形求出AH=tan∠AEH⋅EH=3EH=415，进而求解即可．
【详解】解：如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，
则∠BEH=∠DCF，
在Rt△BEH中，tan∠BEH=tan∠BCF=i=BHEH=12，
设BH=x米，EH=2x米，
∴BE=EH2+BH2=5x=10，
∴x=25，
∴BH=25米，EH=45米，
∵∠AEH=60°，
∴AH=tan∠AEH⋅EH=3EH=415（米），
∴AB=AH−BH=415−25（米），
答：大树AB的高度为415−25米．
故答案为：415−25．
30．（2024·湖南）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC=4分米，OB=12分米．∠BOE=60°，则点C到水平线l的距离CF为 分米（结果用含根号的式子表示）．
【答案】6−23/−23+6
【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长DC交l于点H，连接OC，根据题意及解三角形确定BH=43，OH=83，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键．
【详解】解：延长DC交l于点H，连接OC，如图所示：
在Rt△OBH中，∠BOH=90°−60°=30°，OB=12dm
∴BH=12×tan30°=43，OH=83
∵S△OBH=S△OCH+S△OBC
∴12OB⋅BH=12OH⋅CF+12OB⋅BC
即12×43×12=12×83×CF+12×12×4，
解得：CF=6−23．
故答案为：6−23．
31．（2024·湖北武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：tan63°≈2）
【答案】51
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长BA交距水平地面102m的水平线于点D，根据tan63°≈2，求出DC=AD≈51m，即可求解．
【详解】解：延长BA交距水平地面102m的水平线于点D，如图，
由题可知，BD=102m，
设AD=x，
∵∠DCA=45°
∴DC=AD=x
∴tan63°=BDDC=102x≈2
∴DC=AD≈51m
∴AB=BD−AD=102−51≈51m
故答案为：51．
32．（2024·山东泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米（图中点A，B，C，P在同一平面内），那么大汶河此河段的宽AB为 米．（参考数据：sin63.6°≈910，tan50°≈65，tan63.6°≈2）
【答案】74
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题等知识点，熟练掌握解直角三角形是解题关键．
根据题意可得∠NPC=∠PCF=63.6°，∠MPA=∠BAP=50°，BC=EF=12m,PE=60m，则PF=PE−EF=48m，再通过解直角三角形求得AE和BE，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：由题知∠NPC=∠PCF=63.6°，∠MPA=∠BAP=50°，BC=EF=12m,PE=60m,
∴PF=PE−EF=48m,
在Rt△PFC，tan63.6°=PFCF=2，
∴CF=24m,
∴BE=24m,
在Rt△APF中，tan50°=PEAE=65,
∴AE=50m,
∴AB=AE+BE=74m．
故答案为：74．
33．（2024·宁夏）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB=2cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD,BC=DE=11cm,∠ABE=120°,∠CBE=80°．器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为 cm（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin80°≈0.9848,cs80°≈0.1736,tan80°≈5.6713,3≈1.732）
【答案】34.1
【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是过点C作CH⊥BE交BE于点H，过点A作AF⊥EB交EB的延长线于点F，根据∠ABE=120°，求出∠ABF=60°，根据sin∠ABF=AFAB，求出AF，根据∠CBE=80°，sin∠CBE=CHBC，求出CH，根据该陶盉管状短流口A距地面的高度为：AF+CH+21.5，即可．
【详解】解：过点C作CH⊥BE交BE于点H，过点A作AF⊥EB交EB的延长线于点F，
∴∠AFB=∠CHB=90°，
∵∠ABE=120°，
∴∠ABF=60°，
∴sin∠ABF=AFAB=sin60°，
∵AB=2cm，
∴AF2=32，
∴AF=3cm=1.732cm，
∵∠CBE=80°，BC=11cm，
∴sin∠CBE=CHBC=CH11=0.9848，
∴CH=10.8328cm，
∴该陶盉管状短流口A距地面的高度为：AF+CH+21.5=1.732+10.8328+21.5≈34.1(cm)．
故答案为：34.1．
34．（2025·上海）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段AB）的竖直高度2.7米，某人（线段CD）身高为1.8米，扫描仪测得∠A=53°，那么该人与扫描仪的水平距离为 米．（备用数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.33，精确到0.1米）
【答案】1.2
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点C作CE⊥AB于点E，由题意，得BE=CD=1.8，线段的和差求出AE的长，解Rt△ACE，求出CE的长即可．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，则：BE=CD=1.8米，
∵AB=2.7米，
∴AE=AB−BE=0.9米，
在Rt△ACE中，tanA=CEAE=CE0.9≈1.33，
∴CE≈1.2米；
故答案为：1.2．
35．（2025·广东广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，已知cs∠CAD=1213，AB=26，则点B到AD的距离为 ．
【答案】10
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解sin∠CAD=CDAD=513，过点B，作BQ⊥AD，交AD于点Q，结合BQAB=sin∠BAQ=sin∠CAD=513，从而可得答案．
【详解】解：∵cs∠CAD=1213，∠ACB=90°，
∴ACAD=1213，
设AC=12x，则AD=13x，
∴CD=AD2−AC2=5x，
∴sin∠CAD=CDAD=513，
过点B，作BQ⊥AD，交AD于点Q，

∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∴BQAB=sin∠BAQ=sin∠CAD=513，
∵AB=26，
∴BQ=10，
∴点B到AD的距离为10；
故答案为：10．
三、解答题
36．（2024·吉林）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB=873m，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC=37°，看塔底D的俯角∠EAD=45°，求吉塔的高度CD（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin37°=0.60，cs37°=0.80，tan37°=0.75）
【答案】218.3m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键．
先解Rt△GAD得到AG=DGtan∠EAD=DG=873，再解Rt△GAC，CG=AG⋅tan∠EAC=873×0.75=654.75，即可求解CD．
【详解】解：延长DC交AE于点G，由题意得AB=DG=873m，∠DGA=90°
在Rt△GAD中，∠EAD=45°，
∴AG=DGtan∠EAD=DG=873，
在Rt△GAC中，∠EAC=37°，
∴CG=AG⋅tan∠EAC=873×0.75=654.75，
∴CD=DG−CG=873−654.75≈218.3m，
答：吉塔的高度CD约为218.3m．
37．（2024·内蒙古呼伦贝尔）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是多少米？（点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：3≈1.7）
【答案】楼BC的高度为403−40米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识．过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，则四边形BCFE是矩形，则CF=BE，BC=EF，由题意知AE=DEtan30°=403，DF=CF，根据DF=CF=BE=AB−AE求DF的值，根据BC=EF=DE−DF求BC的值即可．
【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，则四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE，BC=EF，
由题意知AE=DEtan30°=403，DF=CF，
∴DF=CF=BE=AB−AE=80−403，
∴BC=EF=DE−DF=40−80−403=403−40，
∴楼BC的高度为403−40米．
38．（2024·四川）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】B处距离A处有140海里．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题．过P作PC⊥AB于C，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过P作PC⊥AB于C，
在Rt△APC中，∠A=37°，AP=100海里，
∴PC=AP⋅sinA=100×sin37°≈100×0.6=60（海里），
AC=AP⋅cs37°=100×0.8=80（海里），
在Rt△PBC中，∵∠B=45°，
∴BC=PC=60（海里），
∴AB=AC+BC=80+60=140（海里），
答：B处距离A处有140海里．
39．（2024·辽宁）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=3m，∠CAB=60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB=37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
(1)求AB的长；
(2)求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
【答案】(1)6m
(2)2.7m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）解Rt△ABC即可求解；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=33，解Rt△BCD求得BD=53，由题意得，BC+AB=BE+BD，故BE=BC+AB−BD=6−23，则CE=BC−BE≈2.7m．
【详解】（1）解：由题意得，∠BCA=90°，
∵AC=3m，∠CAB=60°，
∴在Rt△ABC中，由cs∠A=ACAB，
得：3AB=cs60°=12，
∴AB=6m,
答：AB=6m；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=AB2−AC2=33，
在Rt△BCD中，sin∠CDB=BCBD，
∴sin37°=33BD=0.6，
∴BD=53，
由题意得，BC+AB=BE+BD，
∴BE=BC+AB−BD=33+6−53=6−23，
∴CE=BC−BE=33−6−23=53−6≈2.7m，
答：物体上升的高度约为2.7m．
40．（2024·西藏）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为30°；格桑在B处测得山顶C的仰角为45°．已知两人所处位置的水平距离MN=210米，A处距地面的垂直高度AM=30米，B处距地面的垂直高度BN=20米，点M，F，N在同一条直线上，求小山CF的高度．（结果保留根号）

【答案】1003−70米
【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形AMFD和四边形BNFE为矩形，得出DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，FN=BE，设CD=x，则CE=CD+DE=x+10米，解直角三角形得出AD=CDtan30°=x33=3x，BE=CEtan45°=x+101=x+10，根据MN=210米，得出3x+x+10=210，求出x=1003−100，最后得出答案即可．
【详解】解：根据题意可得：∠AMF=∠DFM=∠ADF=90°，∠BEF=∠EFN=∠BNF=90°，
∴四边形AMFD和四边形BNFE为矩形，
∴DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，FN=BE，
∴DE=DF−EF=30−20=10（米），
设CD=x，则CE=CD+DE=x+10米，
∵∠CAD=30°，∠ADC=90°，
∴AD=CDtan30°=x33=3x，
∵∠CBE=45°，∠CEB=90°，
∴BE=CEtan45°=x+101=x+10，
∴MF=AD=3x，FN=BE=x+10，
∵MN=210米，
∴3x+x+10=210，
解得：x=1003−100，
∴CF=CD+DF=1003−100+30=1003−70米．
41．（2025·四川成都）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，3≈1.73）
【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意，易得，∠CAB=∠ACD=90°,∠ABC=30°，CD=60米，分别解Rt△ACD,Rt△ABC，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：∠CAB=∠ACD=90°,∠ABC=30°，CD=60米，
在Rt△ACD中，AC=CD⋅tan63.4°≈120米；
在Rt△ABC中，AB=ACtan30°=1203≈207.6米；
答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
42．（2025·四川遂宁）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α=37°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β=50°．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°=0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【答案】62.5m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先根据三个角都是直角的四边形是矩形得四边形DEBA,DAFH都是矩形，则ED=AB=30m，HF=AD=1.6m，然后分别在Rt△CDH中，tan∠CDH=CHDH，在Rt△CDH中，tan∠CDH=CHDH，代入数值化简得r1.19=43r−30，解得r≈60.85，即可作答．
【详解】解：延长DE交CF于H，则有EH⊥CF，
∵∠EHF=∠EBA=∠BFC=90°，
∴四边形EBFH是矩形，
同理得四边形DEBA,DAFH都是矩形，
∴ED=AB=30m，HF=AD=1.6m，
设CH=rm，
∴DH=EH+ED=EH+30，
在Rt△CDH中，tan∠CDH=CHDH，
即tan37°=r30+EH，
∴30+EH×0.75=r，
整理得EH=43r−30，
在Rt△CEH中，tan∠CEH=CHEH，
即tan50°=rEH，
∴1.19EH=r
整理得EH=r1.19，
∴r1.19=43r−30，
解得r≈60.85，
则CF=CH+HF=60.85+1.6≈62.5m．
43．（2025·四川广安）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为30°，A，C两点的距离为24m．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（结果精确到0.1m）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，3≈1.73）
【答案】无人机从A点到B点的上升高度AB为3.6m
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解Rt△AOC，求出AO,OC的长，解Rt△BOC，求出BO的长，利用线段的和差关系求出AB的长即可．熟练掌握三角函数，是解题的关键．
【详解】解：由题意得：∠AOC=90°，∠ACO=30°，∠BCO=36.9°，AC=24．
在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AC=24，
∴AO=12AC=12，OC=AC2−AO2=242−122=123，
在Rt△BOC中，∠BCO=36.9°，
∴BO=CO⋅tan∠BCO=CO⋅tan36.9°≈123×0.75=93，
∴AB=BO−AO=93−12≈9×1.73−12=3.57≈3.6m
答：无人机从A点到B点的上升高度AB为3.6m．
44．（2025·湖北）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°,A到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：tan35°≈0.7）
【答案】乙楼的高为39m
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键．
由题意得，四边形AEDC为矩形，∠BAC=35°，AE=18m，DE=30m，则∠ACB=90°，CD=AE=18m，AC=DE=30m，然后解Rt△ABC求出BC，再由BD=BC+CD即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得，四边形AEDC为矩形，∠BAC=35°，AE=18m，DE=30m
∴∠ACB=180°−∠ACD=180°−90°=90°，CD=AE=18m，AC=DE=30m，
∵在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAC，
∴BC=AC⋅tan∠BAC=30×tan35°=30×0.7=21m，
∴BD=BC+CD=21+18=39m，
答：乙楼的高为39m．
45．（2025·山东青岛）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度．（参考数据：sin22°≈38，cs22°≈1516，tan22°≈25，sin42°≈2740，cs42°≈34，tan42°≈910）
【答案】博学楼DE的高度为9米
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．
过点E作EF⊥AB于点F，则可得四边形FBDE是矩形，解Rt△AFE中，得到AFEF=25，设AF=2x,EF=5x，则CD=5x−15，BF=ED=19−2x，解Rt△EFD，得到910=19−2x5x−15，求解x，再代入ED=19−2x即可．
【详解】解：过点E作EF⊥AB于点F，由题意得，∠1=∠2=22°，∠3=42°，BC=15m，AB=19m，
∵∠D=∠EFB=∠B=90°，
∴四边形FBDE是矩形，
∴FB=DE,EF=BD，
在Rt△AFE中，∵tan∠2=AFEF，
∴AFEF=25，
∴设AF=2x,EF=5x，
则CD=BD−BC=EF−BC=5x−15，BF=ED=AB−AF=19−2x，
在Rt△EFD中，∵tan∠3=EDCD，
∴910=19−2x5x−15，
解得：x=5，
∴DE=19−2×5=9m，
答：博学楼DE的高度为9米．
46．（2025·江苏宿迁）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点A、B处，选取河对岸的一块石头C作为测量点（点A、B、C在同一水平面内），小明同学在点A处测得∠BAC为42°，小军同学在点B处测得∠ABC为61°，两人之间的距离AB为60米，求此河流的宽度．（参考数据：sin42°≈0.67,tan42°≈0.90,sin61°≈0.87,tan61°≈1.80）
【答案】此河流的宽度为36米
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．过点C作CD⊥AB于点D，解Rt△ADC表示出CD=0.9x，再解Rt△CDB求出x，即可求解CD．
【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，
设AD=x，则由题意得BD=60−x，
∵在Rt△ADC中，∠BAC=42°，tanA=CDAD，
∴CD=tanA⋅AD=0.9x，
∵在Rt△CDB中，∠ABC=61°，tanB=CDBD，
∴1.8=0.9x60−x，
解得：x=40，
∴CD=0.9×40=36（米），
答：此河流的宽度为36米．
47．（2025·西藏）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知DC=6cm，求四边形ABCD的面积（结果保留根号）．
【答案】27+183cm2
【分析】本题考查了利用30°，45°，60°的特殊直角三角形拼接图形计算面积及勾股定理，需熟练掌握相关的知识点是解此题的关键．通过理解30°，45°，60°的特殊直角三角形的性质，并根据已知条件通过勾股定理求出对应的边长后再分别将两个三角形的面积求出之后即可得出四边形的面积．
【详解】解：由题意知，△ABD是底角为45°的等腰直角三角形，△BDC是带30°角的直角三角形，
∴∠ABD=∠ADB=45°，AB=AD，∠CBD=30°，
∵DC=6cm，
∴在Rt△BDC中，BC=2CD=12cm，
∴BD=BC2−CD2=122−62=63cm，
在Rt△ABD中，AB=22BD=36cm，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12AB⋅AD+12BD⋅DC
=12×36×36+12×63×6=27+183cm2，
即四边形ABCD的面积为27+183cm2．
48．（2024·四川广安）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）．已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC=30米，求该风力发电机塔杆AB的高度．
（结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，3≈1.73）

【答案】32m
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H，先求解CH=CD⋅cs60°=10m，DH=CDsin60°≈17.3m，再证明BH=BC+CH=40m，再利用锐角的正切可得AF=FD⋅tan20°=14.4m，从而可得答案.
【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H

由题意得：DC=20m，∠DCH=60°
在Rt△DCH中，
∵ cs60°=CHCD，sin60°=DHCD
∴ CH=CD⋅cs60°=10m，
DH=CDsin60°=103m≈17.3m
∵ ∠DFB=∠B=∠DHB=90°，
∴四边形DFBH为矩形，
∴ BH=FD，BF=DH，
∵ BH=BC+CH=(30+10)m=40m，
∴ FD=40m
在△AFD中.
∵AFFD=tan20°，
∴AF=FD⋅tan20°≈40×0.36=14.4m
∴AB=AF+BF≈(17.3+14.4)m=31.7m≈32m
答：该风力发电机塔杆AB的高度为32m.
49．（2024·山东威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）
(1)设AB=a，BC=b，AC=c，CE=d，DE=e，CD=f，BE=g，AD=h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
(2)根据（1）中选择的数据，写出求∠α的一种三角函数值的推导过程．
(3)假设sinα≈0.86，csα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数，你选择的按键顺序为________．
【答案】(1)AB=a，AC=c，DE=e，CD=f；
(2)sinα=ecaf，推导见解析；
(3)①．
【分析】（1）根据题意选择需要的数据即可；
（2）过点A作AM⊥CB于点M，可得△CDE∽△CAM，得到DEAM=CDCA，即得eAM=fc，得到AM=ecf，再根据正弦的定义即可求解；
（3）根据（2）的结果即可求解；
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：需要的数据为：AB=a，AC=c，DE=e，CD=f；
（2）解：过点A作AM⊥CB于点M，则∠AMB=90°，
∵DE⊥CB，
∴DE∥AM，
∴△CDE∽△CAM
∴DEAM=CDCA，
即eAM=fc
∴AM=ecf，
∴sinα=AMAB=ecfa=ecaf；
（3）解：∵sinα=ecaf，
∴按键顺序为，
故答案为：①．
50．（2024·河北）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6m，点P到BQ的距离PQ=2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
(1)求β的大小及tanα的值；
(2)求CP的长及sin∠APC的值．
【答案】(1)45°，14
(2)2 m，33434
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；
（1）根据题意先求解CE=PE=1 m，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；
（2）利用勾股定理先求解CP=2 m，如图，过C作CH⊥AP于H，结合tanα=tan∠PAE=CHAH=14，设CH=x m，则AH=4x m，再建立方程求解x，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得：PQ⊥AE，PQ=2.6 m，AB=CD=EQ=1.6 m，
AE=BQ=4 m，AC=BD=3 m，
∴CE=4−3=1 m，PE=2.6−1.6=1 m，∠CEP=90°，
∴CE=PE，
∴β=∠PCE=45°，tanα=tan∠PAE=PEAE=14；
（2）解：∵CE=PE=1 m，∠CEP=90°，
∴CP=12+12=2 m，
如图，过C作CH⊥AP于H，
∵tanα=tan∠PAE=CHAH=14，设CH=x m，则AH=4x m，
∴x2+4x2=AC2=9，
解得：x=31717，
∴CH=31717 m，
∴sin∠APC=CHCP=317172=33434．
51．（2024·陕西）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1600m，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角∠CAE=42°，再在AE上选一点B，在点B处测得C点的仰角α=45°，AB=10m．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）

【答案】山顶C点处的海拔高度为1690m．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D，在Rt△CBD和Rt△CAD中，利用三角函数的定义列式计算即可求解．
【详解】解：过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D，设CD=xm，

在Rt△CBD中，∠CBD=45°=∠BCD，
∴BD=CD=xm，
在Rt△CAD中，∠CAD=42°，
∴AD=xtan42°=x0.9，
∵AB=10m，
∴x0.9−x=10，
解得x=90，
∴山顶C点处的海拔高度为1600+90=1690m．
52．（2024·河南）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角．
(1)请仅就图2的情形证明∠APB>∠ADB．
(2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：3≈1.73）．
【答案】(1)见解析
(2)塑像AB的高约为6.9m
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是：
（1）连接BM，根据圆周角定理得出∠AMB=∠APB，根据三角形外角的性质得出∠AMB>∠ADB，然后等量代换即可得证；
（2）在Rt△AHP中，利用正切的定义求出AH，在Rt△BHP中，利用正切的定义求出BH，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接BM．
则∠AMB=∠APB．
∵∠AMB>∠ADB，
∴∠APB>∠ADB．
（2）解：在Rt△AHP中，∠APH=60°，PH=6．
∵tan∠APH=AHPH，
∴AH=PH⋅tan60°=6×3=63．
∵∠APB=30°，
∴∠BPH=∠APH−∠APB=60°−30°=30°．
在Rt△BHP中，tan∠BPH=BHPH，
∴BH=PH⋅tan30°=6×33=23．
∴AB=AH−BH=63−23=43≈4×1.73≈6.9m．
答：塑像AB的高约为6.9m．
53．（2024·贵州）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC=20cm，∠A=45°，折射角∠DON=32°．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求BC的长；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin32°≈0.52，cs32°≈0.84，tan32°≈0.62）
【答案】(1)20cm
(2)3.8cm
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据等腰三角形的性质计算出的值；
（2）利用锐角三角函数求出DN长，然后根据BD=BN−DN计算即可．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠A=45°，
∴∠B=45°，
∴BC=AC=20cm，
（2）解：由题可知ON=EC=12AC=10cm，
∴NB=ON=10cm，
又∵∠DON=32°，
∴DN=ON⋅tan∠DON=10×tan32°≈10×0.62=6.2cm，
∴BD=BN−DN=10−6.2=3.8cm．
54．（2024·天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE=36 m,EC⊥AB，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°．
(1)求线段CD的长（结果取整数）；
(2)求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan31°≈0.6,tan6°≈0.1．
【答案】(1)54m
(2)59m
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．
（1）设CD=x，在Rt△BCD中，BC=CD⋅tan∠CDB=x⋅tan45°=x．在Rt△BCE中，BC=CE⋅tan∠CEB=x+36⋅tan31°．则x=x+36⋅tan31°．解方程即可；
（2）求出AC，根据AB=AC+BC即可得到答案．
【详解】（1）解：设CD=x，由DE=36，得CE=CD+DE=x+36．
∵EC⊥AB，垂足为C，
∴∠BCE=∠ACD=90°．
在Rt△BCD中，tan∠CDB=BCCD，∠CDB=45°，
∴BC=CD⋅tan∠CDB=x⋅tan45°=x．
在Rt△BCE中，tan∠CEB=BCCE，∠CEB=31°，
∴BC=CE⋅tan∠CEB=x+36⋅tan31°．
∴x=x+36⋅tan31°．
得x=36×tan31°1−tan31°≈36×0.61−0.6=54．
答：线段CD的长约为54 m．
（2）在Rt△ACD中，tan∠CDA=ACCD，∠CDA=6°，
∴AC=CD⋅tan∠CDA≈54×tan6°≈54×0.1=5.4．
∴AB=AC+BC≈5.4+54≈59．
答：桥塔AB的高度约为59 m．
55．（2024·甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE=1.6米）测得A点仰角为37°，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】乾元塔的高度AB约为45米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，设CE平移后得到DG，延长EG交AB于点F，设FG=x，分别解Rt△AFE,Rt△AFG，表示出AF的长，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设CE平移后得到DG，延长EG交AB于点F，则：CE=DG=BF=1.6，EF⊥AB，EG=14.5，
设GF=x，则：EF=14.5+x，
在Rt△AFE中，AF=EF⋅tan37°≈0.75x+14.5，
在Rt△AFG中，AF=FG⋅tan45°=x，
∴0.75x+14.5=x，
∴x=43.5，
∴AF=43.5，
∴AB=AF+BF=43.5+1.6≈45；
答：乾元塔的高度AB约为45米．
56．（2024·浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB=10,AD=6,tan∠ACB=1．
(1)求BC的长；
(2)求sin∠DAE的值．
【答案】(1)14
(2)3737
【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC=6，DB=8是解题的关键．
（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再利用tan∠ACB=1得出DC=6；在Rt△ADB，根据勾股定理求出DB=8，然后根据BC=BD+DC即可求解．
（2）先由三角形的中线的定义求出BE的值，则DE=BD−BE，然后在Rt△ADE中根据正弦函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：在Rt△ABD中，AB=10,AD=6，
∴BD=AB2−AD2=102−62=8，
在Rt△ADC中，tan∠ACB=ADDC=1，
∴DC=6，
∴BC=BD+DC=8+6=14；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴BE=12BC=7，
∴DE=BD−BE=8−7=1，
∴AE=AD2+DE2=62+12=37，
∴sin∠DAE=DEAE=137=3737．
57．（2024·四川广元）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sinαsinβ叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且csα=74，β=30°，求该介质的折射率；
(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知α=60°，CD=10cm，求截面ABCD的面积．
【答案】(1)32；
(2)1002cm2．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，
（1）根据csα=74，设b=7x，则c=4x，利用勾股定理求出a=(4x)2−(7x)2=3x，进而可得sinα=ac=3x4x=34，问题即可得解；
（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为32，根据sinαsinβ=sin60°sinβ=32，可得sinβ=33，则有sin∠OCD=sinβ=33，在Rt△ODC中，设OD=3x，OC=3x，问题随之得解．
【详解】（1）∵csα=74，
∴如图，
设b=7x，则c=4x，由勾股定理得，a=(4x)2−(7x)2=3x，
∴sinα=ac=3x4x=34，
又∵β=30°，
∴sinβ=sin30°=12，
∴折射率为：sinαsinβ=3412=32．
（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为32，
∵α=60°，
∴sinαsinβ=sin60°sinβ=32，
∴sinβ=33．
∵四边形ABCD是矩形，点O是AD中点，
∴AD=2OD，∠D=90°，
又∵∠OCD=β，
∴sin∠OCD=sinβ=33，
在Rt△ODC中，设OD=3x，OC=3x，
由勾股定理得，CD=(3x)2−(3x)2=6x，
∴tanβ=ODCD=3x6x=12．
又∵CD=10cm，
∴OD10=12，
∴OD=52cm，
∴AD=102cm，
∴截面ABCD的面积为：102×10=1002cm2．
58．（2024·黑龙江牡丹江）如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC，对垂直于地面CD的建筑物AD的高度进行测量，BC⊥CD于点C．在B处测得A的仰角∠ABE=45°，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至FG处，FG⊥CD于点G，测得A的仰角∠AFE=58°，BF的延长线交AD于点E，求建筑物AD的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin58°≈0.85,cs58°≈0.53,tan58°≈1.60）
【答案】17.5米
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的实际应用，由题意可得四边形BEDC是矩形，则DE=BC=1.5m．解直角三角形得到AE=BE,EF=AEtan58°，进而得到AE=6+AEtan58°，据此求出AE即可得到答案．
【详解】解：根据题意可知四边形BEDC是矩形，
∴DE=BC=1.5m．
如图，∠ABE=45°,∠AFE=58°．
∵tan∠ABE=AEBE,tan∠AFE=AEEF，
∴AE=BE⋅tan45°=BE,EF=AEtan58°．
∵BE=EF+BF，
∴AE=6+AEtan58°
∴AE≈16．
∴AD=AE+DE=17.5（米）
答：建筑物AD的高度约为17.5米．
59．（2024·广东广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD=17米，BD=10米．
(1)求CD的长；
(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cs36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75）
【答案】(1)CD的长约为8米；
(2)模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键．
（1）过点B作BE∥CD交AD于点E，根据余弦值求出CD的长即可；
（2）先由勾股定理，求出AC的长，再利用正弦值求出BC的长，进而得到AB的长，然后除以速度，即可求出下降时间．
【详解】（1）解：如图，过点B作BE∥CD交AD于点E，
由题意可知，∠DBE=36.87°，
∴∠BDC=36.87°，
在△BCD中，∠C=90°，BD=10米，
∵cs∠BDC=CDBD，
∴CD=BD⋅cs36.87°≈10×0.80≈8米，
即CD的长约为8米；
（2）解：∵AD=17米，CD=8米，
∴AC=AD2−CD2=15米，
在△BCD中，∠C=90°，BD=10米，
∵sin∠BDC=BCBD，
∴BC=BD⋅sin36.87°≈10×0.60≈6米，
∴AB=AC−BC=15−6=9米，
∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，
∴模拟装置从A点下降到B点的时间为9÷2=4.5秒，
即模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒．
60．（2024·青海）如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角α是17°，识别到最近点B的俯角β是45°，该摄像头安装在距地面5m的点C处，求最远点与最近点之间的距离AB（结果取整数，参考数据：sin17°≈0.29，cs17°≈0.96，tan17°≈0.31）．
【答案】最远点与最近点之间的距离AB约是11m
【分析】本题考查解直角三角形．根据题意，先在Rt△ACD中求AD，再在Rt△BCD中求BD，最后求差即可．
【详解】解：根据题意得：CE∥AD，CD=5
∵CE∥AD，∠α=17°，∠β=45°
∴∠A=∠α=17°，∠CBD=∠β=45°
在Rt△ACD中
∵CD=5
∴CDAD=tan17°≈0.31
∴AD≈5÷0.31≈16.1m
在Rt△BCD中,CD=5m，
∴CDAD=tan45°=1
∴BD=5÷1=5m
∴AB=AD−BD≈16.1−5=11.1≈11m．
答：最远点与最近点之间的距离AB约是11m．
61．（2024·内蒙古通辽）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度（精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：3≈1.73)．
【答案】6.2米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，勾股定理，等腰直角三角形性质定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．分别在Rt△BCE表示出BE，CE，在得出DE，在Rt△AED中，根据等腰三角形的性质得AE=DE，即可得出答案．
【详解】解：过点B作BE⊥DC于点E，
在Rt△BCE中，∠BCE=30°，BC=6米，
∴BE=12BC=3米，CE=BC2−BE2=62−32=33米，
∵DC=4米，
∴ DE=DC+CE=4+33米
在Rt△AED中，∠ADE=45°，
∴AE=DE=4+33米，
∴ AB=AE−BE=4+33−3=1+33米，
∵ 3≈1.73，
∴ AB=1+3×1.73≈6.19≈6.2米．
答：杨树AB的高度约6.2米．
62．（2024·甘肃兰州）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
解决问题：根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm）
参考数据：sin37°≈0.60,cs37°≈0.80,tan37°≈0.75，sin64°≈0.90,cs64°≈0.44,tan64°≈2.05．
【答案】ED的长为8.2cm
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解OD,OB,OC，再求解OE，从而可得答案；
【详解】解：∵BD⊥OA，∠BOA=64°，BD=20.5cm；
∴OD=BDtan64°≈，
OB=ODcs64°≈100.44≈22.73，
∴OB=OC=22.73，
∵∠COA=37°，CE⊥OA，
∴OE=OC⋅cs37°≈22.73×0.8≈18.2，
∴DE=OE−OD=18.2−10=8.2；
∴ED的长为8.2cm；
63．（2024·四川资阳）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距1633海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．

(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）
【答案】(1)B，C两处的距离为16海里
(2)渔政船的航行时间为7512小时
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形．
（1）根据题意易得AC=AB，则CE=BE，再求出BE=CE=ABcs30°=8（海里），即可解答；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，设CF=x海里，则DF=CFtan65°=2.1x，DF=BFtan27°=0.516+x，则2.1x=0.516+x，求出x=5，进而得出BF=BC+CF=21海里，DF=CFtan65°=10.5海里，根据勾股定理可得：BD=DF2+BF2=2152（海里），即可解答．
【详解】（1）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．
∴∠ACE=∠ABE=30°，
∴AC=AB，
∵AE⊥BC，
∴CE=BE，
∵AB=1633海里，
∴BE=CE=ABcs30°=8（海里），
∴BC=8×2=16（海里），
∴B，C两处的距离为16海里．

（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，
设CF=x海里，
∵∠DCF=65°，
∴DF=CFtan65°=2.1x，
由（1）可知，BC=16海里，
∴BF=16+x海里，
∵∠DBF=27°，
∴DF=BFtan27°=0.516+x，
∴2.1x=0.516+x，
解得：x=5，
∴BF=BC+CF=21海里，DF=CFtan65°=10.5海里，
根据勾股定理可得：BD=DF2+BF2=2152（海里），
∴渔政船的航行时间为2152÷18=7512（小时），
答：渔政船的航行时间为7512小时．

64．（2024·黑龙江大庆）如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南偏东45°方向上，求大桥CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：3≈1.73）
【答案】548米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别过点C,D作AB的垂线，垂足分别为F,E，根据题意得出AB=BC=1500，解Rt△BCF求得BF，CF，进而求得BE=ED=CF，根据CD=EF=BE−BF，即可求解．
【详解】解：如图所示，分别过点C,D作AB的垂线，垂足分别为F,E，
∴四边形CDEF是矩形，
∴CF=ED，CD=EF，
依题意，∠CBE=60°,∠CAB=30°，
∴∠ACB=∠CBE−∠CAB=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴AB=BC=1500；
在Rt△BCF中，CF=BC×sin∠BCF=1500×32=7503，
BF=BC⋅cs∠CBF=12BC=750；
在Rt△BED中，ED=BE⋅tan∠DBE=BE⋅tan45°=BE=CF=7503，
∴CD= EF=BE−BF=7503−750≈750×1.73−1≈548．
答：大桥CD的长度约为548米．
65．（2024·四川巴中）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度i=1:3，BE=6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．
(1)求点B离水平地面的高度AB．
(2)求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
【答案】(1)AB=3m；
(2)电线塔CD的高度63+9m．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．
（1）由斜坡BE的坡度i=1:3，求得ABAE=13=33，利用正切函数的定义得到∠BEA=30°，据此求解即可；
（2）作BF⊥CD于点F，设DF=x，先解Rt△DBF得到BF=x，解Rt△DCE得到EC=33x+3米，进而得到方程33+33x+3=x，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵斜坡BE的坡度i=1:3，
∴ABAE=13=33，
∵tan∠BEA=ABAE=33，
∴∠BEA=30°，
∵BE=6m，
∴AB=12BE=3m；
（2）解：作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，AB=CF=3m，BF=AC，
设DF=xm，
在Rt△DBF中，tan∠DBF=DFBF，
∴BF=DFtan∠DBF=xm，
在Rt△ABE中，AE=BE2−AB2=33，
在Rt△DCE中，DC=DF+CF=x+3m，tan∠DEC=DCEC，
∴EC=x+3tan60°=33x+3，
∴BF=AE+EC，
∴33+33x+3=x，
∴x=63+6，
∴CD=63+6+3=x=63+9
答：电线塔CD的高度63+9m．
66．（2024·江苏宿迁）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：
已知测角仪的高度为1.2米，点C、E、A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度，
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】73.2米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．根据题意得到DF=CE=24米，AG=EF=CD=1.2米，∠BDG=37°，∠BFG=45°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：由题意得，DF=CE=24米，AG=EF=CD=1.2米，∠BDG=37°，∠BFG=45°，
在Rt△BDG中，tan∠BDG=tan37°=BGDG≈0.75，
∴GD=BG0.75，
在Rt△BFG中，∵∠BFG=45°，
∴FG=BG，
∵DF=24米，
∴DG−FG=BG0.75−BG=24，
解得BG=72，
∴AB=72+1.2=73.2（米)，
答：塔AB的高度为73.2米．
67．（2024·湖北）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度．
【答案】8m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、相似三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的方法和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
“测角仪”方案：如图：过C作CF⊥AB于F，根据矩形的性质得到CF=BD=10m,BF=CD=1.6m,再根据三角函数的定义求解即可；
“平面镜”方案：根据垂直的定义得到∠CDE=∠ABE=90°，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可．
【详解】解：选择“测角仪”方案：
如图：过C作CF⊥AB于F，则CF=DB=10，FB=CD=1．6，
在Rt△ACF中，tan∠ACF=AFCF，∠ACF=32.5°，
∴AF=CF⋅tan∠ACF≈10×0.64=6.4，
∴AB=AF+FB=6.4+1.6=8m．
选择“平面镜”方案：
由题意得CD⊥DB，AB⊥DB，
∴∠CDE=∠ABE=90°．
又∠CED=∠AEB，
∴△CED∽△AEB，
∴ CDAB=DEBE，即1.6AB=210，
∴AB=8m．
68．（2024·内蒙古）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=24cm,BE=13AB，试管倾斜角∠ABG为12°．
(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，∠ABM=147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
【答案】(1)8cs12°cm
(2)8cs12°+20−8sin12°cm
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键．
（1）先求出BE=8cm，再在Rt△BEG中，利用余弦的定义求解即可得；
（2）过点B作BP⊥CF于点P，过点M作MQ⊥BP于点Q，先解直角三角形可得EG的长，从而可得DP,BQ的长，再判断出Rt△BMQ是等腰直角三角形，从而可得QM,PN的长，最后根据DN=DP+PN求解即可得．
【详解】（1）解：∵AB=24cm,BE=13AB，
∴BE=8cm，
由题意可知，BG⊥DE，
在Rt△BEG中，∠ABG=12°，
∴BG=BE⋅cs∠ABG=8cs12°cm，
答：试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度8cs12°cm．
（2）解：如图，过点B作BP⊥CF于点P，过点M作MQ⊥BP于点Q，
则四边形BPDG和四边形MNPQ都是矩形，
∴∠PBG=90°,DP=BG=8cs12°cm,BP=DG,PQ=MN=8cm,PN=QM，
在Rt△BEG中，∠ABG=12°，BE=8cm，
∴EG=BE⋅sin∠ABG=8sin12°cm，
∵DE=28cm，
∴BP=DG=DE−EG=28−8sin12°cm，
∴BQ=BP−PQ=20−8sin12°cm，
∵∠ABM=147°，∠ABG=12°，∠PBG=90°，
∴∠MBQ=45°，
∴Rt△BMQ是等腰直角三角形，
∴QM=BQ=20−8sin12°cm，
∴DN=DP+PN=DP+QM=8cs12°+20−8sin12°cm，
答：线段DN的长度为8cs12°+20−8sin12°cm．
69．（2024·海南）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．

请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：∠PAB=________°，∠APC=________°，AB= ________海里；
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
【答案】(1)30；75；5
(2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区
【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理：
（1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度；
（2）设PD=x海里，先解Rt△PDB得到BD=x，再解Rt△APD得到AD=PDtanA=3x海里，AP=PDsinA=2x海里，据此可得x+5=3x，解得AP=2x=53+5海里；证明∠C=∠APC，则AC=AP=53+5海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，过点P作PD⊥AC于D，
由题意得，∠APD=60°，∠BPD=45°，∠CPD=15° ，
∴∠PAB=90°−∠APD=30°，∠APC=∠APD+∠CPD=75°；
∵一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴AB=10×0.5=5海里．
（2）解：设PD=x海里，
在Rt△PDB中，BD=PD⋅tan∠DPB=x海里，
在Rt△APD中，AD=PDtanA=3x海里，AP=PDsinA=2x海里，
∵AD=AB+BD，
∴x+5=3x，
解得x=53−1=53+52，
∴AP=2x=53+5海里，
∵∠C=180°−∠A−∠APC=75°，
∴∠C=∠APC，
∴AC=AP=53+5海里；
上午9时时，船距离A的距离为10×1=10海里，
∵53+5−10=53−5≈5×1.73−5=3.65