2024年中考数学真题分类汇编：知识点36 解直角三角形及其应用2024（解析版）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编：知识点36 解直角三角形及其应用2024（解析版），共38页。试卷主要包含了【2024·深圳8题等内容，欢迎下载使用。
6．【2024·长春】2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（ ）
A．asinθ千米B．asinθ千米C．acsθ千米D．acsθ千米
【答案】A【解析】在Rt△ALR中，AR＝a，∠ARL＝θ，∴sinθ=ALAR，∴AL＝AR•sinθ＝asinθ（千米）．
故火箭距海平面的高度AL为asinθ千米，故选A．
四川省
11．【2024·雅安】在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ）
A．253米B．25米C．252米D．50米
【答案】A【解析】设DC＝x米，在Rt△ACD中，∠A＝30°，tanA=DCAC，即tan30°=xAC=33，整理得：AC=3x米，在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，tan∠DBC=DCBC，即tan60°=xBC=3，整理得：BC=33x米，∵AB＝50米，∴AC−BC＝50，即3x−33x＝50，解得x＝253，则这栋楼的高度为253米．故选A．
1．【2024·德阳】某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（ ）米．
A．20B．15C．12D．10+53
【答案】B【解析】设过点A的水平线于CD交于点E，如图，由题意，知：四边形ABDE是矩形DE＝AB＝10米，AE＝BD，在Rt△BCD中，BD=CDtan60°=33CD，在Rt△ACE中，AE=CEtan30°=3（CD−DE=3（CD−10），∴3（CD−10）=33CD，解得CD＝15（米），故选B．
广东省
8．【2024·深圳8题（回忆版）】如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（ ）
（参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43)
A．22.7mB．22.4mC．21.2mD．23.0m
【答案】A【解析】由题意得：EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，DF＝5m，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB，
设BD＝CN＝x m，∴EM＝BF＝DF+BD＝（x+5）m，在Rt△AEM中，∠AEM＝45°，∴AM＝EM•tan45°＝（x+5）m，在Rt△ACN中，∠ACN＝53°，∴AN＝CN•tan53°≈43x（m），∵AM+BM＝AN+BN＝AB，∴x+5+1.8=43x+1.5，
解得：x＝15.9，∴AN=43x＝21.2（m），∴AB＝AN+BN＝21.2+1.5＝22.7（m），∴电子厂AB的高度约为22.7m，
故选A．
二、填空题
山东省
15．【2024·泰安】在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机．如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米（图中点A，B，C，P在同一平面内）．那么大汶河此河段的宽AB为 米．（参考数据：sin40°≈35，sin63.6°≈910，tan50°≈65，tan63.6°≈2）
【答案】74【解析】由题知∠NPC＝∠PCF＝63.6°，∠MPA＝∠BAP＝50°，BC＝EF＝12m，PE＝60m，∴PF＝PE−EF＝48m.在Rt△PFC，tan63.6°=PFCF=2，∴CF＝24m，∴BE＝24m.在Rt△APF中，tan50°=PEAE=65，∴AE＝50m，
∴AB＝AE+BE＝74m．故答案为74．
湖北省
14．【2024·武汉】黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 51 m．（参考数据：tan63°≈2）
【答案】51【解析】如图，过点C作CH∥BD，延长BA交CH于H.由题意得∠ABD＝∠CDB＝90°，∴∠AHC＝180°−90°＝90°，∴四边形BDCH是矩形，∴BH＝CD＝102m.在Rt△BCH中，∠BCH＝63°，tan∠BCH=BHCH，∴CH=BHtan63°≈1022=51（m）.在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，∴∠CAH＝45°＝∠ACH，∴AH＝CH＝51m，∴AB＝BH−AH＝51m．
故黄鹤楼的高度约为51m．故答案为51．
湖南省
18．【2024·湖南18题】如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 分米（结果用含根号的式子表示）．
(6−23)
【解析】延长DC交l于点H，连接OC，在Rt△OBH中，∠BOH＝90°−60°＝30°，OB＝12dm，∴BH=12×tan30°=43（dm），OH=83（dm）.∵S△OBH＝S△OCH+S△OBC，∴12OB⋅BH=12OH⋅CF+12OB⋅BC，∴12×43×12=12×83×CF+12×12×4，∴CF=6−23（dm）.故答案为(6−23)．
江苏省
1．【2024·盐城15题】如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 m．（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】17【解析】如图，令AB的延长线于PQ的延长线交于点C，由题意，知AC＝30m，PQ＝26.6m，∠APC＝37°，∠BQC＝45°，在Rt△APC中，PC=ACtan37°≈300.75=40（m），∴QC＝PC−PQ＝40−26.6＝13.4（m），
在Rt△BQC中，BC＝QC＝13.4m，∴AB＝AC−BC＝30−13.4＝16.6≈17（m），故答案为17．
四川省
15．【2024·眉山】如图，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为 米．
【答案】（415−25）【解析】如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，则∠BEH＝∠DCF.在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠BCF=BHEH=12，设BH＝x米，EH＝2x米，∴BE=EH2+BH2=5x＝10，
∴x＝25，∴BH＝25米，EH＝45米.∵∠EAH＝180°−60°−90°＝30°，∴AH=3EH=415（米），∴AB＝AH−BH＝（415−25）（米），故大树AB的高度为（415−25）米．故答案为（415−25）．
福建省
16．【2024·福建16题】无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400，则f2＝CD＝ ．（单位：N）（参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77）
【答案】128【解析】如图，∵∠PDA＝70°，∠PDQ＝30°，∴∠ADQ＝∠PDA−∠PDQ＝70°−30°＝40°，∠1＝∠PDQ＝30°.∵AB//QD，∴∠BAD＝∠ADQ＝40°.在Rt△ABD中，F＝AD＝400，∠ABD＝90°，
∴F2＝BD＝AD•sin∠BAD＝400•sin 40°＝400×0.64＝256，由题意可知，BD⊥DQ，∴∠BDC+∠1＝90°，∴∠BDC＝90°−∠1＝60°，在Rt△BCD中，BD＝256，∠BCD＝90°，∴f2＝CD＝BD•cs∠BDC＝256×cs60°＝256×12=128.故答案为：128．

黑龙江省
16．【2024·绥化】如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50m，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）．
【答案】（50+503）【解析】由题意得：AD⊥BC，在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝50m，∴CD＝AD•tan60°＝503（m），在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，∴BD＝AD•tan45°＝50（m），∴BC＝BD+CD＝（50+503）m，
∴这栋楼的高度为（50+503）m，故答案为（50+503）．
内蒙古
17．【2024·赤峰17题】综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且AC＝10米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为45°，古树底部A的俯角为65°，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：sin65°≈0.906，cs65°≈0.423，tan65°≈2.145）．
【答案】11.5【解析】由题意，知DM∥AC，DC⊥AC，∠MDA＝65°，∠MDB＝45°．过点B作BE⊥DC，垂足为E．∵BE⊥CD，BA⊥AC，DC⊥AC，∴∠C＝∠BEA＝∠CAB＝90°．∴四边形CABE是矩形．∴BE＝AC＝10米，CE＝AB．∵DM∥AC∥BE，∴∠MDB＝∠EBD＝45°，∠MDA＝∠DAC＝65°．在Rt△ACD中，∵tan∠DAC=DCAC，∴DC＝tan∠DAC•AC＝tan65°×10≈2.145×10＝21.45（米）．在Rt△DBE中，∵tan∠DBE=DEBE，∴DE＝tan∠DBE•AC＝tan45°×10＝1×10＝10（米）．∴AB＝DC−DE＝21.45−10＝11.45
≈11.5（米）．故答案为11.5．
三、解答题
天津
22．【2024·天津22题】综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C，D，E依次在同一条水平直线上，DE＝36m，EC⊥AB，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°．
（I）求线段CD的长（结果取整数）；
（Ⅱ）求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1．
解：（I）设CD＝x，∵DE＝36m，∴CE＝CD+DE＝（x+36）m，
∵EC⊥AB，∴∠BCE＝∠ACD＝90°，
∵tan∠CDB=BCCD，∠CDB=45°，
∴BC＝CD•tan∠CDB＝x•tan45°＝x m，
∵tan∠CEB=BCCE，∠CEB=31°，
∴BC＝CE•tan∠CEB＝（x+36）•tan31°，
∴x＝（x+36）•tan31°，
解得x=36×tan31°1−tan31°≈36×0.61−0.6=54．
答：线段CD的长约为54m；
（II）∵tan∠CDA=ACCD，∠CDA=6°，
∴AC＝CD•tan∠CDA≈54×tan6°≈54×0.1＝5.4（m）．
∴AB＝AC+BC≈5.4+54≈59（m）．
答：桥塔AB的高度约为59m．
重庆
24．【2024·重庆B卷】如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
（1）求BC的长度（结果精确到0.1千米）；
（2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：D−C−B，乙选择的路线为：D−A−B．请计算说明谁选择的路线较近？
解：（1）过B作BE⊥AC于E，如图.
根据已知得∠DAB＝90°，
∵∠DAC＝30°，∴∠EAB＝60°，∠EBA＝30°，
∴AE=12AB＝1（千米），BE=3AE=3（千米），
∵C在B的北偏西15°方向，∴∠EBC＝90°−30°−15°＝45°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∴CE＝BE=3（千米），BC=2BE=2×3=6≈2.5（千米），
∴BC的长度约为2.5千米.
（2）过C作CF⊥AD于F，如图.
由（1）知AE＝1千米，CE=3千米，
∴AC＝AE+CE＝（1+3）千米，
在Rt△ACF中，CF=12AC=1+32（千米），AF=3CF=3+32（千米），
∵D在C的北偏西60°方向，∴∠DCF＝30°，
∴DF=CF3=3+36（千米），CD＝2DF=3+33（千米），
∴AD+AB=3+36+3+32+2=23+123≈5.15（千米）；
CD+BC=3+33+6≈4.02（千米），
∴CD+BC＜AD+AB，∴甲选择的路线比较近．
24．【2024·重庆A卷】如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港．
（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B，D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．
解：（1）过点B作BE⊥AC，垂足为E，
在Rt△ABE中，∠BAE＝90°−45°＝45°，AB＝40海里，
∴AE＝AB•cs45°＝40×22=202（海里），
BE＝AB•sin45°＝40×22=202（海里），
在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，
∴CE＝BE•tan60°＝202×3=206（海里），
∴AC＝AE+CE＝202+206≈77.2（海里），
∴A，C两港之间的距离约为77.2海里；
（2）甲货轮先到达C港，
理由：如图：
由题意得：∠CDF＝30°，DF∥AG，
∴∠GAD＝∠ADF＝60°，
∴∠ADC＝∠ADF+∠CDF＝90°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝90°−∠GAD＝30°，
∴CD=12AC＝（102+106）海里，
AD=3CD＝（106+302）海里，
在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，BE＝202海里，
∴BC=BEcs60°=20212=402（海里），
∴甲货轮航行的路程＝AB+BC＝40+402≈96.4（海里），
乙货轮航行的路程＝AD+CD＝106+302+102+106=206+402=105.4（海里），
∵96.4海里＜105.4海里，∴甲货轮先到达C港．
安徽省
19．【2024·安徽19题】科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处．已知BE与水平线的夹角α＝36.9°，点B到水面的距离BC＝1.20m，点A处水深为1.20m，到池壁的水平距离AD＝2.50m．点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求sinβsinγ的值（精确到0.1）．
参考数据：sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．
解：如图，过点E作EH⊥AD于点H，
由题意可知，∠CEB＝α＝36.9°，EH＝1.20m，
∴CE=BCtan36.9°≈（m），AH＝AD−CE＝2.50−1.60＝0.90（m），
∴AE=AH2+EH2=0.902+1.202=1.50（m），
∴sinγ=AHAE=
∵sinβ=sin∠CBE=CEBE=cs∠CEB=cs α＝0.80，
∴sinβsinγ=≈1.3．
河北省
22．【2024·河北22题】中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求β的大小及tanα的值；
（2）求CP的长及sin∠APC的值．
解：（1）由题意可得：PQ⊥AE，PQ＝2.6m，AB＝CD＝EQ＝1.6m，AE＝BQ＝4（m），AC＝BD＝3（m），
∴CE＝4−3＝1（m），PE＝2.6−1.6＝1（m），∠CEP＝90°．
∴CE＝PE．
∴β＝∠PCE＝45°，tanα=tan∠PAE=PEAE=14．
（2）∵CE＝PE＝1m，∠CEP＝90°，
∴CP=12+12=2m．
如图，过C作 CH⊥AP于H，
∵tanα=tan∠PAE=CHAH=14，设CH＝x m，则AH＝4x m，
∴x2+（4x）2＝AC2＝9．
∴x=31717．∴CH=31717m．
∴sin∠APC=CHCP=317172=33434．
河南省
20．【2024·河南】如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角．
（1）请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB．
（2）经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：3≈1.73）．
解：（1）证明：如图，设AD与圆交于M，
连接BM．则∠AMB＝∠APB．
∵∠AMB＞∠ADB，∴∠APB＞∠ADB.
（2）∵∠APH＝60°，PH＝6m，
∵tan∠APH=AHPH，
∴AH=PH⋅tan60°=6×3=63（m），
∵∠APB＝30°，
∴∠BPH＝∠APH−∠APB＝60°−30°＝30°，
∵tan∠BPH=BHPH，∴BH=PH⋅tan30°=6×33=23（m），
∴AB=AH−BH=63−23=43≈4×1.73≈6.9(m)，
答：塑像AB的高约为6.9m．
山西省
20．【2024·山西】研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9米；……
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cs18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）．
解：延长CD交AB于点H，
由题意得，四边形CMBH为矩形，
∴CM＝HB＝20，
在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，∠ACH＝18.4°，
∴tan∠ACH=AHCH，
∴CH=AHtan∠ACH=AHtan18.4°≈AH0.33，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝37°，
∴tan∠ECH=EHCH，
∴CH=EHtan∠ECH=EHtan37°≈EH0.75，
设AH＝x．
∵AE＝9，∴EH＝x+9，
∴x0.33=x+90.75，解得x≈7.1，
∴AB＝AH+HB≈7.1+20＝27.1≈27（米）
答：点A到地面的距离AB的长约为27米．
陕西省
21．【2024·陕西】如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1600m，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度．他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角∠CAE＝42°，再在AE上选一点B，在点B处测得C点的仰角α＝45°，AB＝10m．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）
解：过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，
设BD＝x m，
∵AB＝10m，∴AD＝AB+BD＝（x+10）m，
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴CD＝BD•tan45°＝x（m），
在Rt△ACD中，∠A＝42°，
∴CD＝AD•tan42°≈0.9（x+10）m，
∴x＝0.9（x+10），解得x＝90，
∴CD＝90m.
∵小山顶的水平观景台的海拔高度为1600m，
∴山顶C点处的海拔高度约＝1600+90＝1690（m），
∴山顶C点处的海拔高度约为1690m．
江西省
1．【2024·江西19题】图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量ME＝FN＝20.0m，EF＝40.0m，BE＝2.4m，∠ABE＝152°．（结果精确到0.1m）
（1）求“大碗”的口径AD的长；
（2）求“大碗”的高度AM的长．
（参考数据：sin62°≈0.88，cs62°≈0.47，tan62°≈1.88）
解：（1）∵AM⊥MN，DN⊥MN，∴∠AMN＝∠DNM＝90°.
∵AD∥MN，∴∠DAM＝180°−∠AMN＝90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴AD＝MN＝ME+EF+FN＝20.0+40.0+20.0＝80.0（m），
∴“大碗”的口径AD的长为80.0m.
（2）延长CB交AM于点G，
由题意得：BE＝GM＝2.4m，BG＝ME＝20.0m，BG⊥AM，∠EBG＝90°，
∵∠ABE＝152°，
∴∠ABG＝∠ABE−∠EBG＝62°，
在Rt△ABG中，AG＝BG•tan62°≈20.0×1.88＝37.6（m），
∴AM＝AG+MG＝37.6+2.4＝40.0（m），
∴“大碗”的高度AM的长约为40.0m．
吉林省
22．【2024·吉林】图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB＝873m，如图②．从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔的高度CD（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin37°＝0.60，cs37°＝0.80，tan37°＝0.75）
解：如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵AB⊥BD，CF⊥AB，DC⊥BD，
∴∠CDB＝∠B＝∠CFB＝90°．
∴四边形CDBF是矩形．
∴BF＝CD，CF＝BD＝873m．
∵CF∥BD∥AE，
∴∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°．
在Rt△ACF中，
∵tan∠ACF=AFCF，
∴AF＝tan∠ACF•CF＝tan37°×873≈0.75×873≈654.75（m）．
在Rt△DBA中，∵tan∠ADB=ABBD，
∴AB＝tan∠ADB•BD＝tan45°×873＝1×873＝873（m）．
∴CD＝FB＝AB−AF＝873−654.75＝218.25≈218.3（m）．
答：吉塔的高度CD约为218.3m．
山东省
19．【2024·威海】某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．
（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设sinα≈0.86，csα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为 ．
解：（1）需要的数据为：AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f；
（2）过点A作AM⊥CB于点M，则∠AMB＝90°，
∵DE⊥CB，
∴DE∥AM，∴△CDE∽△CAM，
∴DEAM=CDCA，即eAM=fc，∴AM=ecf，
∴sinα=AMAB=ecfa=ecaf.
（3）∵sinα=ecaf，∴按键顺序为2ndF，sin，0，•，8，6，＝.
故答案为①．
1．【2024·烟台】根据手机的素材，探索完成任务．
解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即α＝14°，
故答案为：冬至，14°；
任务二：过E作EF⊥AB于F，则∠AFE＝90°，EF＝54米，BF＝DE，
在Rt△AFE中，tanα=AFEF，∴AF＝EF•tan14°≈54×0.25＝13.5（米），
∵AB＝11×3.3＝36.3（米），∴DE＝BF＝AB−AF＝36.3−13.5＝22.8（米），
∴22.8÷3.3≈7（层），
答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．
2．【2024·枣庄】【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1：
【问题解决】（1）计算A，P两点间的距离．
（参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cs79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．
（2）乙小组的方案用到了 ．（填写正确答案的序号）
①解直角三角形
②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．

解：（1）如图，过B作BH⊥AP于H，
∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cs79°≈0.19，
∴AH＝AB•cs79°≈60×0.19＝11.4（米），
BH＝AB•sin79°≈60×0.98＝58.8（米）.
∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，
∴∠APB＝180°−79°−64°＝37°，
∴tan∠APB=tan37°=BHPH≈0.75，
∴PH≈（米），
∴AP＝AH+PH＝11.4+78.4＝89.8（米），
即A，P两点间的距离为89.8米.
（2）∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，
∴∠ADP＝∠EDF，∴△ADP≌△EFD（ASA），
∴AP＝EF，∴只需测量EF即可得到AP长度；
∴乙小组的方案用到了②.
湖南省
24．【2024·湖南24题】某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段CE和BC的长度；
（2）求底座的底面ABCD的面积．
解：（1）∵GH⊥CE，EF的长为4米，∠CFG＝60.3°，
∴tan∠CFE=tan60.3°=CEEF≈1.75，∴CE＝7（米）.
∵∠BFG＝45°，
∴BE＝EF＝4米，∴CB＝CE−BE＝3（米）.
（2）过点A作AM⊥GH于点M，如图所示.
∵∠AFG＝21.8°，
∴tan∠AFG=tan21.8°=AMMF≈0.4，
∵AM＝BE＝4米，
∴MF＝10米，∴AB＝ME＝10−4＝6米，
∴底座的底面ABCD的面积为3×6＝18（平方米）．
江苏省
1．【2024·连云港】图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为22km，南门O设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A6A7在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在A1处测得雕塑在北偏东45°方向上，在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上．
（1）∠CA1A2＝ °，∠CA2A1＝ °；
（2）求点A1到道路BC的距离；
（3）若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？
（结果精确到0.1km，参考数据：2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，sin59°≈0.86，tan59°≈1.66）
解：（1）∵正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8，
∴外角=360°8=45°，
∴∠CA1A2＝45°+45°＝90°，∠CA2A1＝45°+（90°−59°）＝76°.
故答案为90；76.
（2）过点A1作A1D⊥BC于点D，
在Rt△CA2A1中，A2A1=22，∠CA2A1＝76°，
∴CA1=A1A2⋅tan76°≈22×4.00=22（km）.
在Rt△CA1D中，易知∠CA1D＝45°
∴A1D=CA1⋅cs45°=22×22=2.0(km).
答：点A1到道路BC的距离为2.0千米．
（3）连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8作A8F⊥BC于点F，
∵正八边形的外角均为45°，
∴在Rt△A7A8G中，A8G=12，∴FB=A8G=12.
又∵A8F＝A1D＝CD＝2，DF=A1A8=22，
∴CB=CD+DF+FB=5+22，
∵∠CFA8＝∠B，∠FCA8＝∠BCE，
∴△CA8F∽△CEB，∴CFCB=A8FEB，∴2+225+22=2EB.
∵2≈1.41，∴EB＝2.4（km）．
答：小李离点B不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
1．【2024·苏州】图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB＝10cm，BC＝20cm，AD＝50cm．
（1）如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）；
（2）如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα=34（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）．
解：（1）过点C作CE⊥AD，垂足为E，
由题意得：AB＝CE＝10cm，BC＝AE＝20cm，
∵AD＝50cm，
∴ED＝AD−AE＝50−20＝30（cm），
在Rt△CED中，CD=CE2+DE2=102+302=1010（cm），
∴可伸缩支撑杆CD的长度为1010cm；
（2）过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD′于点G，
由题意得：AB＝FG＝10cm，AG＝BF，∠AGD＝90°，
在Rt△ADG中，tanα=DGAG=34，
∴设DG＝3x cm，则AG＝4x cm，
∴AD=AG2+DG2=(4x)2+(3x)2=5x（cm），
∵AD＝50cm，
∴5x＝50，
解得：x＝10，
∴AG＝40cm，DG＝30cm，
∴DF＝DG+FG＝30+10＝40（cm），
∴BF＝AG＝40cm，
∵BC＝20cm，
∴CF＝BF−BC＝40−20＝20（cm），
在Rt△CFD中，CD=CF2+DF2=202+402=205（cm），
∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为205cm．
四川省
22．【2024·资阳】如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距1633海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．
（1）求B，C两处的距离；
（2）该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）
解：（1）由题意得，∠ACB＝∠ABC＝30°，
∴AB＝AC=1633海里.
过A作AH⊥BC于H，
∴∠AHC＝∠AHB＝90°，CH＝BH，
∴CH＝BH=32AB=32×1633=8（海里），
∴BC＝16海里.
答：B，C两处的距离为16海里.
（2）过D作DG⊥BC于G，
在Rt△BDG中，BG=DGtan27°≈DG0.5=2DG，
在Rt△CDG中，CG=DGtan65°≈DG2.1.
∵BC＝BG−CG，
∴2DG−DG2.1=16，∴DG＝10.5（海里），
∴CG＝5海里，∴BG＝BC+CG＝21（海里），
∴BD=BG2+DG2=2152（海里），
∴渔政船的航行时间为2152÷18=7512（小时）．
18．【2024·甘孜州】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
解：过P作PC⊥AB于C，
在Rt△APC中，∴∠A＝37°，AP＝100海里，
∴PC＝AP•sinA＝100×sin37°≈100×0.6＝60（海里），AC＝AP•cs37°＝100×0.8＝80（海里）.
在Rt△PBC中，∵∠B＝45°，
∴BC＝PC＝60（海里），
∴AB＝AC+BC＝80+60＝140（海里），
答：B处距离A处有140海里．
21．【2024·凉山州】为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展．2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（sū）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上A点处，测得塔顶C的仰角为30°，眼睛B距离地面1.8m，向塔前行67m，到达点D处，测得塔顶C的仰角为60°，求塔高CF． （参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果精确到0.01m）
解：由题意，知∠CBG＝30°，∠CEG＝60°，∠CGB＝∠CGE＝90°，GF＝ED＝BA＝1.8m，BE＝67m，
在Rt△CBG中，
BG=CGtan30°=3CG，
在Rt△CEG中，
EG=EGtan60°=33CG，
∵BG−EG＝BE，
∴3CG−33CG＝67，
解得CG≈58.02（m），
∴CF＝CG+GF＝58.02+1.8＝59.82（m），
答：塔高CF为59.82m．
23．【2024·乐山】我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
解：（1）如图，过点A′作A′B⊥OA于点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，OA＝OA′＝x尺，AB＝5−1＝4尺，A′B＝10尺，
∴OB＝OA−AB＝（x−4）尺．
在Rt△OA′B中，由勾股定理得：A′B2+OB2＝OA′2，
∴102+（x−4）2＝x2，
解得x＝14.5．
答：秋千绳索的长度为14.5尺；
（2）能．
由题可知，∠OPA′＝∠OQA″＝90°，OA′＝OA″＝OA．
在Rt△OA′P中，csα=OPOA′，
∴OP＝OA′•csα＝OA•csα，
同理，OQ＝OA″•csβ＝OA•csβ，
∵OQ−OP＝h，∴OA•csβ−OA•csα＝h，
∴OA•（csβ−csα）＝h，∴OA=ℎcsβ−csα．
22．【2024·宜宾】宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西18.17°方向上，测得点D在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西21.34°方向上，测得点D在北偏东18.17°方向上，测得AB＝100米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cs18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，cs21.34°≈0.93，tan21.34°≈0.39）
解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵AB∥CD，∴AE＝BF，
由题意得：AB＝EF＝100 m，
设AE＝BF＝x m，
在Rt△ACE中，∠CAE＝18.17°，
∴CE＝AE•tan18.17°≈0.33x（m），
在Rt△BDF中，∠DBF＝18.17°，
∴DF＝BF•tan18.17°≈0.33x（m），
在Rt△AED中，∠EAD＝21.34°，
∴DE＝AE•tan21.34°≈0.39x（m），
∵DE＝EF+DF，∴0.39x＝100+0.33x，
解得x=50003，
∴CD＝CE+DE＝0.33x+0.39x＝0.72x＝1200（m），
∴长江口的宽度CD的值约为1200 m．
19．【2024·遂宁】小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时（图1），灯带的直射宽DE（BD⊥BC，CE⊥BC）为35cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．（结果保留1位小数）（sin9°≈0.16，cs9°≈0.99，tan9°≈0.16）
解：如图2中，过点C作CK⊥AE′于点K，交BM于点J．
如图1中，∵DB⊥BC，EC⊥BC，∴BD∥EC，
∵BM∥DE，∴四边形BDEM是平行四边形，
∴BM＝DE＝35 cm，
∴BC＝BM•cs9°＝35×0.99≈34.65（cm）.
如图2中，∵BM∥AE′，CK⊥AE′，
∴CJ⊥BM，∴CJ＝BC•sin30°≈17.32（cm）.
∵AB⊥AE′，∴BA＝JK＝30 cm，
∴CK＝CJ+JK＝17.32+30≈57.3（cm）．
答：台灯最高点C到桌面的距离约为57.3 cm．
23．【2024·广安】风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1），某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）．已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC＝30米，求该风力发电机塔杆AB的高度．（结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，3≈1.73）
解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H，
由题意得：DC＝20m，∠DCH＝60°，
在Rt△DCH中，
∵cs60°=CHCD，sin60°=DHCD，
∴CH＝CD•cs60°＝10m，
∴DH=CDsin60°=103m≈17.3m，
∵∠DFB＝∠B＝∠DHB＝90°，
∴四边形DFBH为矩形，∴BH＝FD，BF＝DH.
∵BH＝BC+CH＝（30+10）m＝40m，
∴FD＝40m.
在Rt△AFD中，AFFD=tan20°，
∴AF＝FD•tan20°＝40×0.36m＝14.4m，
∴AB＝AF+BF＝（17.3+14.4）m＝31.7m≈32m.
答：该风力发电机塔杆AB的高度为32m．
20．【2024·达州】“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图1），在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E、F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．（结果精确到0.1米，参考数据3≈1.73，2≈1.41）
解：过点M作MN⊥AB，垂足为N．
由题意知，四边形CMNB是矩形．
∴CM＝BN＝1.5米，MN＝CB＝6米，AN＝AB−BN＝6.3−1.5＝4.8（米）．
在Rt△DMN中，∵tan∠DMN=DNMN，
∴DN＝tan∠DMN•MN＝tan30°×MN=33×6＝23（米）．
在Rt△AEF中，∵sin∠AEF=AFEF，
∴AF＝sin∠AEF•EF＝sin45°×EF=22×4＝22（米）．
∵AF+DN＝AN+DF，
∴DF＝23+22−4.8≈2×1.73+2×1.41−4.8＝3.46+2.82−4.8＝1.48≈1.5（米）．
答：中轴上DF的长度为1.5米．
1．【2024·泸州】如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
解：如图，过C作CH⊥AB于H.
∵∠CAB＝45°，AC＝30n mile，
∴AH＝CH＝152n mile，
∵∠CBH＝60°，
∴BC=CHsin60°=15232=106（n mile），
过D作DG⊥AB于G，
∴∠DBG＝180°−60°−30°−60°＝30°，
∴∠BDG＝60°，∴∠CDB＝60°，
∴CD=BCsin60°=10632=202（n mile），
答：C，D间的距离为202n mile．
2．【2024·成都】中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8尺．在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD．已知∠ACB＝73.4°，∠ADB＝26.6°，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：sin26.6°≈0.45，cs26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96，cs73.4°≈0.29，tan73.4°≈3.35）
解：在Rt△ABC中，AB＝8尺，∠ACB＝73.4°，
∴tan73.4°=8BC.
∵tan73.4°≈3.35，∴BC≈83.35≈2.4（尺）.
在Rt△ABD中，AB＝8尺，∠ADB＝26.6°，∴tan26.6°=8BD.
∵tan26.6°≈0.50，
∴BD≈16.0（尺）.∴CD＝BD−BC＝16.0−2.4＝13.6（尺）.
观察可知，春分和秋分时日影顶端为CD的中点，
∵2.4+13.62=9.2（尺），
∴春分和秋分时日影长度为9.2尺．
广东省
22．【2024·广州】2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD＝17米，BD＝10米．
（1）求CD的长；
（2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间．
参考数据：sin36.87°≈0.60，cs36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75．
解：（1）如图：
由题意得：AC⊥CD，BE∥CD，
∴∠EBD＝∠BDC＝36.87°，
在Rt△BCD中，BD＝10米，
∴CD＝BD•cs36.87°≈10×0.80＝8（米），
∴CD的长约为8米.
（2）在Rt△BCD中，BD＝10米，∠BDC＝36.87°，
∴BC＝BD•sin36.87°≈10×0.6＝6（米），
在Rt△ACD中，AD＝17米，CD＝8米，
∴AC=AD2−CD2=172−82=15（米），
∴AB＝AC−BC＝15−6＝9（米），
∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，
∴模拟装置从A点下降到B点的时间＝9÷2＝4.5（秒），
∴模拟装置从A点下降到B点的时间约为4.5秒．
18．【2024·广东】中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据3≈1.73）
（1）求PQ的长；
（2）该充电站有20个停车位，求PN的长．
解：（1）∵四边形PQMN是矩形，
∴∠Q＝∠P＝90°，
在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4m，
∴AQ＝AB•sin∠ABQ=27310m，∠QAB＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°，
∴∠CBE＝30°，∴BC=CEtan∠CBE=835m，
∴AD=835m，
∵∠PAD＝180°−30°−90°＝60°，
∴AP=AD⋅cs∠PAD=435m，
∴PQ=AP+AQ=35310≈6.1m；
（2）在Rt△BCE中，BE=CEsin∠CBE=3.2m，
在Rt△ABQ中，BQ＝AB•cs∠ABQ＝2.7m，
∵该充电站有20个停车位，∴QM＝QB+20BE＝66.7m，
∵四边形ABCD是矩形，∴PN＝QM＝66.7m．
贵州省
22．【2024·贵州22题】综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin32°≈0.52，cs32°≈0.84，tan32°≈0.62）
解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°，
∴∠B＝45°，
∴BC＝AC＝20cm.
（2）由题可知ON＝EC=12AC＝10cm，∴NB＝ON＝10cm.
又∵∠DON＝32°，
∴DN＝ON•tan∠DON＝10•tan32°≈10×0.62＝6.2cm，
∴BD＝BN−DN＝10−6.2＝3.8cm．
甘肃省
25. 【2024·兰州】单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到）
参考数据：，．
解：∵，，；
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴的长为.
22．【2024·临夏州】乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE＝1.6米）测得A点仰角为37°，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
解：如图，过E作EF⊥AB于F.
设FG＝x m，在Rt△AEF中，∵∠AEF＝37°，∴tan37°=AFEF，
∴AF＝EF•tan37°＝0.75（x+16.5）＝（0.75x+10.875）m，
在Rt△AGF中，∵∠AGF＝45°，
∴tan45°=AFGF，∴AF＝GF＝x m，
∴0.75x+10.875＝x，∴x≈44，
∴AB＝AF+BF＝44+1.6≈46（m）
答：乾元塔的高度AB约为46m．
22．【2024·甘肃22题】习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6m，点C与点E相距182m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°．求风电塔简AH的高度．（参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43．）
解：如图，连接DF交AH于点G，
由题意得：CD＝EF＝GH＝1.6m，DF＝CE＝182m，DF⊥AH，
设DG＝x m，∴FG＝DF−DG＝（182−x）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，
∴AG＝DG•tan45°＝x（m），
在Rt△AFG中，∠AFG＝53°，∴AG＝FG•tan53°≈43（182−x）m，
∴x=43（182−x），解得x＝104，
∴AG＝104m，∴AH＝AG+GH＝104+1.6＝105.6（m），
∴风电塔简AH的高度约为105.6m．
黑龙江省
20．【2024·牡丹江】如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC，对垂直于地面CD的建筑物AD的高度进行测量，BC⊥CD于点C．在B处测得A的仰角∠ABE＝45°，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至FG处，FG⊥CD于点G，测得A的仰角∠AFE＝58°，BF的延长线交AD于点E，求建筑物AD的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
解：根据题意可知四边形BEDC是矩形，∴DE＝BC＝1.5m．
由题意得∠ABE＝45°，∠AFE＝58°．
∵tan∠ABE=AEBE，tan∠AFE=AEEF，
∴AE=BE⋅tan45°=BE，EF=AEtan58°．
∵BE＝EF+BF，∴AE=6+AEtan58°
∴AE≈16．∴AD＝AE+DE＝17.5（米）.
答：建筑物AD的高度约为17.5米．
辽宁省
20．【2024·辽宁】如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°，停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（1）求AB的长；
（2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
解：（1）如图2，在Rt△ABC中，AC＝3m，∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝6m，则AB的长为6m.
（2）在Rt△ABC中，AB＝6m，AC＝3m，
根据勾股定理得BC=AB2−AC2=62−32=33m，
在Rt△BCD中，∠CDB＝37°，sin37°≈0.60，3≈1.73，
∴sin∠CDB=BCBD，即3×1.73BD≈0.60，
∴BD≈8.65m，∴CE＝BD−BA＝8.65−6＝2.65≈2.7（m），
则物体上升的高度CE约为2.7m．
青海省
20．【2024·青海】如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角α是17°，识别到最近点B的俯角β是45°，该摄像头安装在距地面5m的点C处，求最远点与最近点之间的距离AB（结果取整数，参考数据：sin17°≈0.29，cs17°≈0.96，tan17°≈0.31）
解：根据题意，得CE∥AD，CD＝5m，
∵CE∥AD，∴∠A＝∠α＝17°．∠CBD＝∠β＝45°.
在Rt△ACD中，∵CD＝5，
∴CDAD=tan17°=0.31，∴AD＝5×0.31＝16.1（m）.
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝45°，
∴∠BCD＝90°−45°＝45°，
∴∠BCD＝∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝5（m），
∴AB＝AD−BD≈16.1−5＝11.1＝11（m）.
答：最远点与最近点之间的距离AB约是11m．
内蒙古
20．【2024·兴安盟、呼伦贝尔市】综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是多少米？（点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：3≈1.7）
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F.
则四边形BCFE是矩形，
由题意得，AB＝80米，DE＝40米，∠ADE＝90°−30°＝60°，∠CDF＝90°−45°＝45°．
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∵tan∠ADE=AEDE=tan60°=3，
∴AE=3DE＝403（米），∴BE＝AB−AE＝（80−403）米.
∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝（80−403）米.
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∠CDF＝∠DCF＝45°，
∴DF＝CF＝（80−403）米，
∴BC＝EF＝DE−DF＝40−80+403≈28（米）．
答：楼BC高约28米．
20．【2024·通辽20题】在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度（精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，参考数据：3≈1.73）．
解：延长AB交DC于H，则∠AHD＝90°，
∵∠BCH＝30°，BC＝6米，
∴BH=12BC＝3米，CH=32BC＝33米，
∵∠ADC＝45°，
∴AH＝DH＝CD+CH＝（4+33）米，
∴AB＝AH−BH＝4+33−3＝1+33≈6.2（米），
答：杨树AB的高度约为6.2米．
19．【2024·包头】如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．
（1）请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标证所画的图形上（测出的距离用m，n等表示，测出的角用α，β等表示），并对设计进行说明；
（2）根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度（用字母表示）．
解：（1）如图，在地面上取C，测量BC＝m，测量∠ACB＝α，
根据tanα=ABBC，即可得出AB的长度．
（2）∵∠ABC＝90°，∴tanα=ABBC，∴AB＝BC×tanα＝mtanα．
新疆
20．【2024·新疆生产建设兵团】数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：
（1）准备测量工具
①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角；
②皮尺．
（2）实地测量数据
①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）；
②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为16.8m，眼睛到地面的距离为1.6m．
（3）计算旗杆高度
①根据图3中测角仪的读数，得出仰角α的度数为 ；
②根据测量数据，画出示意图4，AB＝1.6m，BC＝16.8m，求旗杆CD的高度（精确到0.1m）；
（参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43）
③若测量者仍站在原处（B点），能否用三角板替代测角仪测出仰角α？若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角α，请写出测量方法．
解：（1）根据测角仪得出度数为55°，所以α为90°−55°＝35°.故答案为：35°.
（2）∵BC＝16.8m，∴AE＝16.8m，
在Rt△ADE中，tanα=DEAE，
∴DE＝AE•tanα≈16.8×0.7≈11.76m，
∴CD＝CE+DE≈13.4m．
即旗杆的高度CD为13.4m．
（3）∵三角板只有30°、60°的三角板和45°的三角板，而B点的仰角为35°，
∴三角板测不出仰角α的度数；
如图，作EF＝DE，则△DEF为等腰直角三角形，∠DFE＝45°，
∴DE＝EF＝11.8m，
∵AE＝16.8m，∴AF＝AE−EF＝5m，
∴向右走5m，用45°直角三角板测量即可（答案不唯一，向左走用30°三角板测量也可以）．
课题
测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员
组长：×××ㅤㅤ组员：×××，×××，×××
测量工具
竹竿，米尺
测量示意图

说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面
的距离．∠α是要测量的倾斜角
测量数据
……
……
探究太阳能热水器的安装
素材一
太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．

素材二
某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76°．
sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25
sin29°≈0.48，cs29°≈0.87，tan29°≈0.55
sin43°≈0.68，cs43°≈0.73，tan43°＝0.94
sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.01
素材三
如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．AE为某时刻的太阳光线．

问题解决
任务一
确定使用数据
要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 日（填冬至或夏至）时，α为 （填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．
任务二
探究安装范围
利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．
活动主题
测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具
皮尺、测角仪、计算器等
活动过程
模型抽象
某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：
测绘过程与数据信息
①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米；
③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；
④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cs60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cs21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40．
实验主题
探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具
摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明
如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）
如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示