人教版2024-2025年全国九年级数学2年中考真题汇编 4.4 全等三角形

这是一份人教版2024-2025年全国九年级数学2年中考真题汇编 4.4 全等三角形，共88页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．（2025·青海）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM=CN，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．SSSD．ASA
2．（2025·北京）如图，∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（ ）
A．80°B．100°C．110°D．120°
3．（2025·山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
4．（2025·山东威海）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是（ ）
A．BO=DO，AC⊥BDB．∠DAC=∠BAC，AD=AB
C．∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCAD．∠ADC=∠ABC，BO=DO
5．（2025·四川凉山）如图，AB=AC,AE=AD，点E在BD上，∠EAD=∠BAC,∠BDC=56°，则∠ABC的度数为（ ）
A．56°B．60°C．62°D．64°
6．（2024·山东青岛）如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．−1,−2B．−2,−1C．2,1D．1,2
7．（2024·山东济南）如图，已知△ABC≌△DEC,∠A=60°,∠B=40°，则∠DCE的度数为（ ）．
A．40°B．60°C．80°D．100°
8．（2024·湖北）如图，点A的坐标是−4,6，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（ ）
A．4,6B．6,4C．−6,−4D．−4,−6
9．（2024·山东东营）如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（ ）

A．O为矩形ABCD两条对角线的交点B．EO=FO
C．AE=CFD．EF⊥BD
10．（2024·广东广州）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（ ）
A．18B．92C．9D．62
11．（2024·广东广州）下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·湖北）平面坐标系xOy中，点A的坐标为−4,6，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．4,6B．6,4C．−4,−6D．−6,−4
13．（2024·河北）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．∠1=∠3，AASB．∠1=∠3，ASA
C．∠2=∠3，AASD．∠2=∠3，ASA
14．（2024·安徽）在凸五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（ ）
A．∠ABC=∠AEDB．∠BAF=∠EAF
C．∠BCF=∠EDFD．∠ABD=∠AEC
15．（2024·四川遂宁）如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A=∠A1，AC=A1C1，BC=B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在△ABC中，AB=AC，点D,E在线段BC上，且BE=CD，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
16．（2024·四川自贡）如图，在平面直角坐标系中，D(4,−2)，将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置，则点B坐标为（ ）

A．(2,4)B．(4,2)C．(−4,−2)D．(−2,4)
二、填空题
17．（2024·山东德州）如图，C是AB的中点，CD=BE，请添加一个条件 ，使△ACD≌△CBE．
18．（2024·黑龙江牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得AE=CE．（只添一种情况即可）
19．（2024·四川成都）如图，△ABC≌△CDE，若∠D=35°，∠ACB=45°，则∠DCE的度数为 ．
20．（2025·四川广元）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A−3,3，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，∠BAC=90°，则OB−OC= ．
21．（2025·福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA=2,OD=1，则△AOE与△DOF的面积之和为 ．
三、解答题
22．（2025·江苏淮安）已知：如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC上，∠B=∠ADE，AC=AE，∠BAD=∠CAE．求证：△ABC≌△ADE．
23．（2025·西藏）如图，AB=DC，AC=DB．求证：△ABC≌△DCB．
24．（2025·江苏无锡）如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE=CF，连接AE、DF．
求证：
(1)△ABE≌△DCF；
(2)∠EAD=∠FDA．
25．（2025·四川巴中）如图，P为⊙O外一点，PA和PB为⊙O的两条切线，A和B为切点，BC为直径．
(1)求证：
①△APO≌△BPO．
②PO∥AC．
(2)AC=2，OC=5，求OP的长．
26．（2025·青海西宁）如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE，将△EDC沿DE所在直线折叠，点C落在点F处，连接EF并延长交AB于点G，连接DG．
(1)求证：△ADG≌△FDG；
(2)若AB=25，求AG的长．
27．（2025·江苏镇江）如图，已知△ABC≌△DEF，边BC与EF、DF分别交于点O，M，AC与EF交于点N，OB=OE．求证：△MOF≌△NOC．
28．（2025·江苏常州）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，BD=CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)用直尺和圆规作∠DAE的平分线AF（保留作图痕迹，不要求写作法）．
29．（2025·四川乐山）如图，已知线段AC、BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．求证：AB=DC．
30．（2025·山东潍坊）如图，在△ABC中，点D、E、G分别是边AB、AC、BC的中点，DE与AG相交于点F，连接CF，AG=AC．证明：
(1)AFAG=DEBC；
(2)△ADF≌△CFE．
31．（2025·四川广元）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，2为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，画射线OC交MN于点E，连接MC，NC．
(1)求证：∠AOC=∠BOC；
(2)若∠AOB=60°，求ME的长．
32．（2025·广东广州）如图，BA=BE，∠1=∠2，BC=BD．求证：△ABC≌△EBD．
33．（2025·江苏苏州）如图，C是线段AB的中点，∠A=∠ECB,CD∥BE．
(1)求证：△DAC≌△ECB；
(2)连接DE，若AB=16，求DE的长．
34．（2025·新疆）（1）解方程组：3x−y=5①x+y=3②；
（2）如图，AD=BC,∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．
35．（2025·吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE,DF，∠BAE=∠CDF．
(1)求证：△ABE≌△DCF．
(2)当AB=12，DF=13时，求BE的长．
36．（2025·黑龙江）已知：如图，△ABC中，AB=AC，设∠BAC=α，点D是直线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE，连接DE、BE，过点E作EF⊥BC，交直线BC于点F．探究如下：
(1)若α=60°时，
如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF=DF+BC；
如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
(2)若α=120°，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF、DF、BC之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明．
37．（2025·广西）如图，已知AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，∠ABC=65°，BC=CD．
(1)求证：△BOC≌△DOC；
(2)求∠ABD的度数．
38．（2025·浙江）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上．
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．
(2)若裁剪过程中满足DE=DA，求“机翼角”∠BAE的度数．
39．（2025·河北）如图．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC=AD，∠ACB=∠ADB，点F在ED上，∠BAF=∠EAD．
(1)求证：△ABC≌△AFD；
(2)若BE=FE，求证：AC⊥BD．
40．（2025·陕西）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD=AB，DE∥AB，DE=BC．求证：BE=AC．
41．（2025·湖北）如图，AB=AD,AC平分∠BAD．求证：∠B=∠D．
42．（2025·四川宜宾）如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD=5．求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长．
43．（2025·福建）如图，点E，F分别在AB,AD的延长线上，∠CBE=∠CDF,∠ACB=∠ACD．求证：AB=AD．
44．（2025·云南）如图，AB与CD相交于点O，AC=BD, ∠C=∠D．求证：△AOC≌△BOD．
45．（2025·四川广安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10，DE=BF，连接AE,AF,CE,CF．
(1)求证：△ADE≌△CBF．
(2)若四边形AECF的周长为434，求EF的长．
46．（2025·四川内江）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC=DF,∠A=∠D,AB∥DE．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若BF=4,FC=3，求BE的长．
47．（2025·四川遂宁）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，且AF⊥AB，CE⊥CD．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)连接AE，CF，若∠ABD=30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
48．（2025·四川南充）如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC．
(1)求证：△ABC≌△AED．
(2)求证：∠BCD=∠EDC．
49．（2025·四川自贡）如图，∠ABE=∠BAF，CE=CF．求证：AE=BF．
50．（2025·重庆）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线．
小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在OB边上截取OF=OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为∠AOB的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：利用三角形全等证明她的猜想．
证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠OEP=∠OFP=90°．
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
① ¯ ② ¯，
∴Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)．
∴ ③ ．
∴OP平分∠AOB．
51．（2024·江苏淮安）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F在BD上，BE=DF．求证：△ABE≌△CDF．
52．（2024·陕西）如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DFE的顶点都在格点上．求证：∠ABC=∠DFE．
53．（2024·四川乐山）如图，AB是∠CAD的平分线，AC=AD．试说明：∠C=∠D．
54．（2024·西藏）如图，点C是线段AB的中点，AD=BE，∠A=∠B．求证：∠D=∠E．
55．（2024·江苏徐州）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．
(1)求证：△EAB≌△ECB；
(2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE．
56．（2024·江苏南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF=DE．求证CF∥AB．
57．（2024·江苏镇江）如图，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB．

(1)求证：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB=70°，则∠CAB=__________°．
58．（2024·山东济南）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E,CF⊥AD，垂足为F．
求证：AF=CE．
59．（2024·山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
(1)△AEH≌△CFG；
(2)四边形EGFH为平行四边形．
60．（2024·江苏无锡）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE．求证：
(1)△ABE≌△DCE；
(2)∠EAD=∠EDA．
61．（2024·四川雅安）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
(1)求证：△ODE≌△OBF；
(2)当EF⊥BD时，DE=15cm，分别连接BE，DF，求此时四边形BEDF的周长．
62．（2024·湖南长沙）如图，点C在线段AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC=60°，求∠ACE的度数．
63．（2024·福建）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠BAF=∠DAE，求证：BE=DF．
64．（2024·吉林）如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E，求证：AE=BC．
65．（2024·湖北武汉）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）
66．（2024·陕西）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE=CF．求证：AF=DE．
67．（2024·江苏苏州）如图，△ABC中，AB=AC，分别以B，C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于点E．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若BD=2，∠BDC=120°，求BC的长．
68．（2024·云南）如图，在△ABC和△AED中，AB=AE，∠BAE=∠CAD，AC=AD．
求证：△ABC≌△AED．
69．（2024·江苏盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AE=BF．
若________，则AB=CD．
请从①CE∥DF；②CE=DF；③∠E=∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
70．（2024·四川内江）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE，AC=DF，BC=EF
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度数．
71．（2024·江苏连云港）如图，AB与CD相交于点E，EC=ED，AC∥BD．
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点M在AC上，点N在BD上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
72．（2024·四川南充）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E．
(1)求证：△BDE≌△CDA．
(2)若AD⊥BC，求证：BA=BE
73．（2024·四川泸州）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE=BF．求证：∠1=∠2．
74．（2024·四川宜宾）如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD=CE，BE与AD交于点F．求证：AD=BE．
参考答案与解析
一、选择题
1．（2025·青海）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM=CN，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．SSSD．ASA
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得MO=NO，NC=MC，再加上公共边CO=CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
【详解】解：在△ONC和△OMC中
MO=NOMC=NCOC=OC，
∴△MOC≌△NOCSSS，
∴∠BOC=∠AOC，
故选：C．
2．（2025·北京）如图，∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（ ）
A．80°B．100°C．110°D．120°
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
连接AB,AC,BC，则由作图可得OA=OB,AC=BC=AB，那么△ABC为等边三角形，可证明△OAC≌△OBCSSS，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解∠OAC．
【详解】解：如图，连接AB,AC,BC，
由作图可得，OA=OB,AC=BC=AB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵OC=OC，
∴△OAC≌△OBCSSS，
∴∠1=∠2=12∠ACB=12×60°=30°，∠3=∠4=12∠AOB=12×100°=50°，
∴∠OAC=180°−∠1−∠3=180°−30°−50°=100°，
故选：B．
3．（2025·山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由SAS即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键．
【详解】在△AOB与△COD，
∵AO=CO∠AOB=∠CODBO=DO，
∴△AOB≌△CODSAS，
∴△AOB与△COD全等的依据是SAS，
故选：B．
4．（2025·山东威海）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是（ ）
A．BO=DO，AC⊥BDB．∠DAC=∠BAC，AD=AB
C．∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCAD．∠ADC=∠ABC，BO=DO
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识；
根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明△ADC≌△ABC可判断B、C选项，由∠ADC=∠ABC，BO=DO不能判断AB=AD，CB=CD即可判断D选项，进而可得答案.
【详解】解：A、∵BO=DO，AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴AD=BD,CD=CB，
∴四边形ABCD是筝形；
B、∵AD=AB，∠DAC=∠BAC，AC=AC，
∴△ADC≌△ABC，
∴CB=CD，
∴四边形ABCD是筝形；
C、∵∠DAC=∠BAC，AC=AC，∠DCA=∠BCA，
∴△ADC≌△ABC，
∴AB=AD，CB=CD，
∴四边形ABCD是筝形；
D、由∠ADC=∠ABC，BO=DO不能判断AB=AD，CB=CD，故不能判断四边形ABCD是筝形；
故选：D.
5．（2025·四川凉山）如图，AB=AC,AE=AD，点E在BD上，∠EAD=∠BAC,∠BDC=56°，则∠ABC的度数为（ ）
A．56°B．60°C．62°D．64°
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明∠BAE=∠CAD，再利用SAS可证明△BAE≌△CAD得到∠ABE=∠ACD，利用三角形内角和定理可证明∠BAO=∠CDO=56°，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案．
【详解】解：∵∠EAD=∠BAC，
∴∠EAD−∠CAE=∠BAC−∠CAE，即∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△BAE≌△CADSAS，
∴∠ABE=∠ACD；
如图所示，设AC，BD交于O，
∵∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°，∠COD+∠DCO+∠COD=180°，
∠AOB=∠COD，
∴∠BAO=∠CDO=56°，
∵AB=AC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ABC=∠ACB=180°−∠BAC2=180°−56°2=62°，
故选：C．
6．（2024·山东青岛）如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．−1,−2B．−2,−1C．2,1D．1,2
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为2,−1；如图所示，设E2,−1绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明△HFO≌△GOEAAS，得到OH=GE=1，HF=OG=2，则F−1,−2，即点A的对应点A′的坐标是−1,−2．
【详解】解：由题意得，平移前B−3,0，A−1,−1，
∵将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，
∴平移方式为向右平移3个单位长度，
∴平移后点A的对应点坐标为2,−1，
如图所示，设E2,−1绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，
∴∠OHF=∠OGE=90°，
由旋转的性质可得∠EOF=90°，OE=OF，
∴∠HOF+∠HFO=∠GOE+∠HOF，
∴∠HFO=∠GOE，
∴△HFO≌△GOEAAS，
∴OH=GE，HF=OG，
∵E2,−1，
∴OH=GE=1，HF=OG=2，
∴F−1,−2，
∴点A的对应点A′的坐标是−1,−2，
故选：A．
7．（2024·山东济南）如图，已知△ABC≌△DEC,∠A=60°,∠B=40°，则∠DCE的度数为（ ）．
A．40°B．60°C．80°D．100°
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键．
先根据三角形内角和定理求得∠ACB，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=60°,∠B=40°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=80°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE=∠ACB=80°．
故选C．
8．（2024·湖北）如图，点A的坐标是−4,6，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（ ）
A．4,6B．6,4C．−6,−4D．−4,−6
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOM+∠BON=∠A+∠AOM=90°，
∴∠A=∠BON．
在△AOM和△OBN中，
∠A=∠BON∠AMO=∠ONBOA=OB，
∴△AOM≌△OBN(AAS)，
∴BN=MO，ON=AM．
∵点A的坐标为(−4,6)，
∴BN=MO=4，ON=AM=6，
∴点B的坐标为(6,4)．
故选：B．
9．（2024·山东东营）如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（ ）

A．O为矩形ABCD两条对角线的交点B．EO=FO
C．AE=CFD．EF⊥BD
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键．
由矩形的性质得出AD=BC AD∥BC，再由平行线的性质得出∠OBF=∠ODE，∠OFB=∠OED，然后由全等三角形的判定逐一判定即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC AD∥BC，
∴∠OBF=∠ODE，∠OFB=∠OED，
A、∵O为矩形ABCD两条对角线的交点，
∴OB=OD，
在△BOF和△DOE中，
∠OFB=∠OED∠OBF=∠ODEOB=OD，
∴△BOF≌△DOEAAS，
故此选项不符合题意；
B、在△BOF和△DOE中，
∠OFB=∠OED∠OBF=∠ODEFO=EO，
∴△BOF≌△DOEAAS，
故此选项不符合题意；
C、∵AE=CF，
∴BC−CF=AD−AE，
即BF=DE，
在△BOF和△DOE中，
∠OFB=∠OEDBF=DE∠OBF=∠ODE，
∴△BOF≌△DOEASA，
故此选项不符合题意；
D、∵EF⊥BD，
∴∠BOF=∠DOE=90°，
两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定△BOF≌△DOE，
故此选项符合题意；
故选：D．
10．（2024·广东广州）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（ ）
A．18B．92C．9D．62
【答案】C
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接AD，根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出△ADE≌△CDF，将四边形AEDF的面积转化为三角形ADC的面积再进行求解．
【详解】解：连接AD，如图：
∵∠BAC=90°，AB=AC=6，点D是BC中点，AE=CF
∴∠BAD=∠B=∠C=45°,AD=BD=DC
∴△ADE≌△CDF，
∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=12S△ABC
又∵S△ABC=6×6×12=18
∴S四边形AEDF=12S△ABC=9
故选：C
11．（2024·广东广州）下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点O判断即可．
【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点O对称的是C，
故选：C．
12．（2024·湖北）平面坐标系xOy中，点A的坐标为−4,6，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．4,6B．6,4C．−4,−6D．−6,−4
【答案】B
【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点A和点A′分别作x轴的垂线，证明△AOB≌△OA′CAAS，得到A′C=OB=4，OC=AB=6，据此求解即可．
【详解】解：过点A和点A′分别作x轴的垂线，垂足分别为B，C，
∵点A的坐标为−4,6，
∴OB=4，AB=6，
∵将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，
∴OA=OA′，∠AOA′=90°，
∴∠AOB=90°−∠A′OC=∠OA′C，
∴△AOB≌△OA′CAAS，
∴A′C=OB=4，OC=AB=6，
∴点A′的坐标为6,4，
故选：B．
13．（2024·河北）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A．∠1=∠3，AASB．∠1=∠3，ASA
C．∠2=∠3，AASD．∠2=∠3，ASA
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得∠ABC=∠3，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得∠2=∠3，证明△MAD≌△MCB，得到MD=MB，再结合中点的定义得出MA=MC，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．
∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，
∴①∠2=∠3．
又∵∠4=∠5，MA=MC，
∴△MAD≌△MCB（②ASA）．
∴MD=MB．∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
14．（2024·安徽）在凸五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（ ）
A．∠ABC=∠AEDB．∠BAF=∠EAF
C．∠BCF=∠EDFD．∠ABD=∠AEC
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键．
利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论．
【详解】解：A、连接AC、AD，

∵∠ABC=∠AED，AB=AE，BC=DE，
∴△ACB≌△ADE(SAS)，
∴AC=AD
又∵点F为CD的中点
∴AF⊥CD，故不符合题意；
B、连接BF、EF，

∵AB=AE，∠BAF=∠EAF，AF=AF，
∴△ABF≌△AEF(SAS)，
∴BF=EF， ∠AFB=∠AFE
又∵点F为CD的中点，
∴CF=DF，
∵BC=DE,
∴△CBF≌△DEF(SSS)，
∴∠CFB=∠DFE，
∴∠CFB+∠AFB=∠DFE+∠AFE=90°，
∴AF⊥CD，故不符合题意；
C、连接BF、EF，

∵点F为CD的中点，
∴CF=DF，
∵∠BCF=∠EDF，BC=DE，
∴△CBF≌△DEF(SAS)，
∴BF=EF， ∠CFB=∠DFE，
∵AB=AE，AF=AF，
∴△ABF≌△AEF(SSS)，
∴∠AFB=∠AFE，
∴∠CFB+∠AFB=∠DFE+∠AFE=90°，
∴AF⊥CD，故不符合题意；
D、∠ABD=∠AEC，无法得出题干结论，符合题意；
故选：D．
15．（2024·四川遂宁）如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A=∠A1，AC=A1C1，BC=B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在△ABC中，AB=AC，点D,E在线段BC上，且BE=CD，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【答案】D
【分析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD和△ABE中，∠B=∠B,AB=AB,AD=AE，
在△ACE,△ACD中，∠C=∠C,AC=AC,AE=AD，
在△ABD,△ACD中，∠B=∠C,AB=AC,AD=AD，
在△ACE,△ABE中，∠B=∠C,AE=AE,AC=AB
综上所述，共有4对“伪全等三角形”，
故选：D．
16．（2024·四川自贡）如图，在平面直角坐标系中，D(4,−2)，将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置，则点B坐标为（ ）

A．(2,4)B．(4,2)C．(−4,−2)D．(−2,4)
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．由旋转的性质得到Rt△OCD≌Rt△△OAB，推出OA=OC=4，AB=CD=2即可求解．
【详解】解：∵D(4,−2)，
∴OC=4，CD=2，
∵将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB，
∴Rt△OCD≌Rt△△OAB，
∴OA=OC=4，AB=CD=2，
∴点B坐标为(2,4)，
故选：A．
二、填空题
17．（2024·山东德州）如图，C是AB的中点，CD=BE，请添加一个条件 ，使△ACD≌△CBE．
【答案】AD=CE或∠ACD=∠B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键．
要使△ACD≌△CBE，已知AC=BC，CD=BE，则可以添加一对边AD=CE，从而利用SSS来判定其全等，或添加一对夹角∠ACD=∠B，从而利用SAS来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）．
【详解】解：∵C是AB的中点，
∴AC=BC，
∵CD=BE，
∴添加AD=CE或∠ACD=∠B，
可分别根据SSS、SAS判定△ACD≌△CBE（填一个即可，答案不唯一）．
故答案为：AD=CE或∠ACD=∠B．
18．（2024·黑龙江牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得AE=CE．（只添一种情况即可）
【答案】DE=EF或AD=CF（答案不唯一）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．
【详解】解：∵CF∥AB
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，
∴添加条件DE=EF，可以使得△ADE≌△CFEAAS，
添加条件AD=CF，也可以使得△ADE≌△CFEASA，
∴AE=CE；
故答案为：DE=EF或AD=CF（答案不唯一）．
19．（2024·四川成都）如图，△ABC≌△CDE，若∠D=35°，∠ACB=45°，则∠DCE的度数为 ．
【答案】100°/100度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出∠CED=∠ACB=45°，再利用三角形内角和求出∠DCE的度数即可．
【详解】解：由△ABC≌△CDE，∠D=35°，
∴∠CED=∠ACB=45°，
∵∠D=35°，
∴∠DCE=180°−∠D−∠CED=180°−35°−45°=100°，
故答案为：100°
20．（2025·四川广元）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A−3,3，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，∠BAC=90°，则OB−OC= ．
【答案】6
【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系、正方形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
作AE⊥x轴于点E，AF⊥y轴于点F，连接BC，证明△ABE≌△ACFASA，得到BE=CF，拆分线段即可求解．
【详解】解：作AE⊥x轴于点E，AF⊥y轴于点F，连接BC，如图，
∵A−3,3，
∴AE=AF=3，∠FAE=90°，
∴四边形AEOF为正方形，
∴OE=OF=3，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠EAC=∠FAC+∠EAC=90°，
即∠BAE=∠FAC，
在△ABE和△ACF中，
∠AEB=∠AFCAE=AF∠BAE=∠CAF，
∴△ABE≌△ACFASA，
∴BE=CF，
∵BE=OB−OE，CF=OC+OF，
∴OB−OE=OC+OF，
∴OB−OC=OF+OE=3+3=6．
故答案为：6．
21．（2025·福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA=2,OD=1，则△AOE与△DOF的面积之和为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出S菱形ABCD=12AC⋅BD=4，∠OAB=∠OCD，然后证明△AOE≌△COFASA即可求解．
【详解】解：∵菱形ABCD，OA=2,OD=1，
∴AC=4,BD=2，OA=OC，AB∥CD，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=4，∠OAB=∠OCD．
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COFASA，
∴S△AOE=S△COF，
∴S△AOE+S△COF=14S菱形ABCD=1，
故答案为：1．
三、解答题
22．（2025·江苏淮安）已知：如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC上，∠B=∠ADE，AC=AE，∠BAD=∠CAE．求证：△ABC≌△ADE．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据∠BAD=∠CAE，得到∠BAC=∠DAE，利用AAS，即可得证．
【详解】证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即：∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE∠B=∠ADEAC=AE，
∴△ABC≌△ADE．
23．（2025·西藏）如图，AB=DC，AC=DB．求证：△ABC≌△DCB．
【答案】证明见详解
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理SSS，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在△ABC和△DCB中，已知AB=DC，AC=BD，同时还隐含条件BC=BC这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等．
【详解】证明：在△ABC和△DCB中，
AB=DCAC=DBBC=CB，
∴△ABC≌△DCBSSS．
24．（2025·江苏无锡）如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE=CF，连接AE、DF．
求证：
(1)△ABE≌△DCF；
(2)∠EAD=∠FDA．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1） 结合矩形的性质，根据“边角边”证明△ABE≌△DCF；
（2）根据全等三角形的对应边相等得∠BAE=∠CDF，结合∠CDA=∠BAD=90°，可得∠EAD=∠FDA．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=∠DCB=∠CDA=∠BAD=90°，AB=DC，
∴ ∠ABE=∠DCF=90°，
在△ABE和△DCF中，
AB=DC∠ABE=∠DCFBE=CF，
∴ △ABE≌△DCFSAS；
（2）证明：∵ △ABE≌△DCF，
∴ ∠BAE=∠CDF，
又∵ ∠CDA=∠BAD=90°，
∴ ∠BAE+∠BAD=∠CDF+∠CDA，
∴ ∠EAD=∠FDA．
25．（2025·四川巴中）如图，P为⊙O外一点，PA和PB为⊙O的两条切线，A和B为切点，BC为直径．
(1)求证：
①△APO≌△BPO．
②PO∥AC．
(2)AC=2，OC=5，求OP的长．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)5
【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）根据切线长定理得出∠PAO=∠PBO=90°，结合AO=BO，PO=PO，即可证明．
（2）根据圆周角定理得出∠AOB=2∠C，由①可知：Rt△PAO≌Rt△PBO，得出∠AOP=∠BOP=12∠AOB，即可证明∠BOP=∠C，进而得到PO∥AC．
（3）连接AB．根据圆周角定理得出∠BAC=90°，证明△ACB∽△AOP，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）①证明：∵PA、PB是⊙O切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
又∵AO=BO，PO=PO，
∴Rt△PAO≌Rt△PBOHL．
②证明：∵点C在⊙O上．
∴∠AOB=2∠C，
由①可知：Rt△PAO≌Rt△PBO，
∴∠AOP=∠BOP=12∠AOB，
∴∠BOP=∠C，
∴AC∥PO．
（2）解：连接AB．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
又∵∠PAO=90°，∠AOP=∠C=∠BOP，
∴△ACB∽△AOP．
∴ACCB=AOOP，
∴225=5OP，
∴OP=5．
26．（2025·青海西宁）如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE，将△EDC沿DE所在直线折叠，点C落在点F处，连接EF并延长交AB于点G，连接DG．
(1)求证：△ADG≌△FDG；
(2)若AB=25，求AG的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)AG=253
【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由正方形的性质与折叠可得AD=FD，△DAG与△DFG都是直角三角形，根据 “HL”即可证明Rt△DAG≌Rt△DFG；
（2）由中点的定义得到BE=CE=12BC=5，由折叠得到EF=CE=5，设AG=FG=x，则GB=AB−AG=25−x，GE=GF+EF=x+5，在Rt△GBE中，根据勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=AD，
由折叠可得DF=DC，∠DFE=∠C=90°，
∴AD=FD，∠DFG=180°−∠DFE=90°，
∴在Rt△DAG和Rt△DFG中
DG=DGDA=DF
∴Rt△DAG≌Rt△DFGHL；
（2）解：∵BC=AB=25，点E是BC的中点，
∴BE=CE=12BC=5，
由折叠得到EF=CE=5，
∵Rt△DAG≌Rt△DFG ，
∴AG=FG
设AG=FG=x，则GB=AB−AG=25−x，GE=GF+EF=x+5
∵在Rt△GBE中，GB2+BE2=GE2，
∴25−x2+52=5+x2
解得x=253
∴AG=253．
27．（2025·江苏镇江）如图，已知△ABC≌△DEF，边BC与EF、DF分别交于点O，M，AC与EF交于点N，OB=OE．求证：△MOF≌△NOC．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质可得BC=EF，∠F=∠C，再结合题意得到OC=OF，根据ASA即可证明△MOF≌△NOC．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，∠F=∠C，
∵OB=OE，
∴BC−OB=EF−OE，即OC=OF，
在△MOF和△NOC中，
∠MOF=∠NOC∠F=∠COC=OF，
∴△MOF≌△NOCASA．
28．（2025·江苏常州）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，BD=CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)用直尺和圆规作∠DAE的平分线AF（保留作图痕迹，不要求写作法）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图−作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键．
（1）先利用AB=AC得出∠B=∠C，再利用SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）利用根据角平分线的作图方法作图即可．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠B=∠CBD=CE，
∴△ABD≌△ACESAS；
（2）解：如图，AF即为所求作．
29．（2025·四川乐山）如图，已知线段AC、BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．求证：AB=DC．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法及性质是解题的关键．
根据“边角边”证明△AEB≌△DEC，再由全等三角形对应边相等即可证明．
【详解】证明：∵线段AC、BD相交于点E，
∴∠AEB=∠DEC，
∵AE=DE，BE=CE，
∴△AEB≌△DECSAS，
∴AB=DC．
30．（2025·山东潍坊）如图，在△ABC中，点D、E、G分别是边AB、AC、BC的中点，DE与AG相交于点F，连接CF，AG=AC．证明：
(1)AFAG=DEBC；
(2)△ADF≌△CFE．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）由点D、E分别是边AB、AC的中点，则有DE∥BC，DEBC=12，所以∠ADF=∠B，∠AFD=∠AGB，从而可得△ADF∽△ABG，然后根据性质即可求证；
（2）连接DG，GE，证明四边形ADGE为平行四边形，所以DF=EF，AF=FG，又AG=AC，E为AC中点，故有AF=AE=CE，所以∠AFE=∠AEF，∠AFD=∠CEF，然后通过“SAS”证明△ADF≌△CFE即可．
【详解】（1）证明：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DEBC=12，
∴DF∥BG，
∴∠ADF=∠B，∠AFD=∠AGB，
∴△ADF∽△ABG，
∴AFAG=ADAB=12，
∴AFAG=DEBC；
（2）证明：连接DG，GE，
∵点D、E、G分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DG∥AC，DG=12AC=AE，
∴四边形ADGE为平行四边形，
∴DF=EF，AF=FG，
∵AG=AC，E为AC中点，
∴AF=AE=CE，
∴∠AFE=∠AEF，
∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AEF+∠CEF=180°,
∴∠AFD=∠CEF，
∴△ADF≌△CFESAS．
31．（2025·四川广元）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，2为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，画射线OC交MN于点E，连接MC，NC．
(1)求证：∠AOC=∠BOC；
(2)若∠AOB=60°，求ME的长．
【答案】(1)见解析
(2)π3
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，求弧长，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由作图方法可得OM=ON，MC=NC，再利用SSS可证明△MOC≌△NOC，据此可证明结论；
（2）根据（1）所求可得∠MOE=30°，再根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：由作图方法可得OM=ON，MC=NC，
又∵OC=OC，
∴△MOC≌△NOCSSS，
∴∠MOC=∠NOC，即∠AOC=∠BOC；
（2）解：∵∠AOB=60°，
∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=30°，
又∵OM=2，
∴ME的长=30π×2180=π3．
32．（2025·广东广州）如图，BA=BE，∠1=∠2，BC=BD．求证：△ABC≌△EBD．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明∠ABC=∠EBD，进而根据SAS即可证明△ABC≌△EBD．
【详解】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EBC=∠2+∠EBC，即∠ABC=∠EBD，
在△ABC和△EBD中，
BA=BE∠ABC=∠EBDBC=BD
∴△ABC≌△EBDSAS
33．（2025·江苏苏州）如图，C是线段AB的中点，∠A=∠ECB,CD∥BE．
(1)求证：△DAC≌△ECB；
(2)连接DE，若AB=16，求DE的长．
【答案】(1)详见解析
(2)8
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键：
（1）中点得到AC=BC，平行线的性质，得到∠ACD=∠B，利用ASA证明△DAC≌△ECB即可；
（2）根据△DAC≌△ECB，得到CD=BE，进而得到四边形CBED为平行四边形，进而得到DE=BC，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵C是线段AB的中点，
∴AC=CB=12AB．
∵CD∥BE，
∴∠DCA=∠B．
在△DAC和△ECB中，
∠A=∠ECB,AC=CB,∠DCA=∠B,
∴△DAC≌△ECB(ASA)．
（2）∵AB=16，C是线段AB的中点，
∴BC=12AB=8．
∵△DAC≌△ECB，
∴CD=BE．
又∵CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE=BC=8．
34．（2025·新疆）（1）解方程组：3x−y=5①x+y=3②；
（2）如图，AD=BC,∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．
【答案】
（1）x=2y=1
（2）证明过程见详解
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，全等三角形的判定和性质，掌握加减消元法，全等三角形的判定和性质是关键．
（1）运用加减消元法求解即可；
（2）根据题意证明△ABD≌△BACSAS，即可求解．
【详解】解：（1）3x−y=5①x+y=3②；
①+②得，4x=8，
解得，x=2，
把x=2代入②得，2+y=3，
解得，y=1，
∴原方程组的解为x=2y=1；
（2）证明：∵AD=BC∠DAB=∠CBAAB=BA，
∴△ABD≌△BACSAS，
∴AC=BD．
35．（2025·吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE,DF，∠BAE=∠CDF．
(1)求证：△ABE≌△DCF．
(2)当AB=12，DF=13时，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据矩形得到AB=CD,∠B=∠C=90°，再结合已知条件由ASA即可证明全等；
（2）根据全等三角形得到AE=DF=13，再由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,∠B=∠C=90°，
∵∠BAE=∠CDF，
∴△ABE≌△DCFASA；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴AE=DF=13，
∵∠B=90°，AB=12，
∴BE=AE2−AB2=5．
36．（2025·黑龙江）已知：如图，△ABC中，AB=AC，设∠BAC=α，点D是直线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转α至AE，连接DE、BE，过点E作EF⊥BC，交直线BC于点F．探究如下：
(1)若α=60°时，
如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF=DF+BC；
如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
(2)若α=120°，点D在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF、DF、BC之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明．
【答案】(1)①证明见解析；②BF=DF−BC，理由见解析
(2)3BF=DF+BC
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，综合运用相关知识是解题的关键．
（1）①由AB=AC，∠BAC=α=60°，得到△ABC是等边三角形，从而∴∠ABC=∠BCA=∠ACB=60°，进而推出∠BAE=∠CAD，因此可证明△ABE≌△ACDSAS，得到BE=CD，∠ABE=∠ACD=60°，求得∠EBF=60°，因此BE=2BF，由CD=BD+BC=BF+DF+BC即可得到结论BF=DF+BC；②由AB=AC，∠BAC=α=60°，得到△ABC是等边三角形，从而∠ABC=∠BCA=60°，进而推出∠BAE=∠CAD，因此可证明△ABE≌△ACDSAS，得到BE=CD，∠ABE=∠ACD=120°，求得∠BEF=∠ABE−∠ABC=60°，因此BE=2BF，由CD=BD−BC=BF+DF−BC即可得到结论BF=DF−BC；
（2）同（1）思路即可求解．
【详解】（1）①证明：∵AB=AC，∠BAC=α=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BCA=∠ACB=60°，
∵∠BAC=∠EAD=α=60°，
∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD，
即∠BAE=∠CAD，
∴在△ABE和△ACD中
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACDSAS，
∴BE=CD，∠ABE=∠ACD=60°，
∴∠EBF=180°−∠ABE−∠ABC=180°−60°−60°=60°，
∵EF⊥BC，
∴在Rt△BEF中，BE=BFcs∠EBF=BFcs60°=2BF，
∵CD=BD+BC=BF+DF+BC，
CD=BE=2BF，
∴2BF=BF+DF+BC，
∴BF=DF+BC．
②解：BF=DF−BC，理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=α=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BCA=60°，
∴∠ACD=180°−∠BCA=120°．
∵∠BAC=∠EAD=α=60°，
∴∠BAC−∠EAC=∠EAD−∠EAC，
即∠BAE=∠CAD，
∴在△ABE和△ACD中
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACDSAS，
∴BE=CD，∠ABE=∠ACD=120°，
∴∠EBF=∠ABE−∠ABC=120°−60°=60°，
∵EF⊥BC，
∴在Rt△BEF中，BE=BFcs∠BEF=BFcs60°=2BF，
∵CD=BD−BC=BF+DF−BC，
CD=BE=2BF，
∴2BF=BF+DF−BC，
∴BF=DF−BC．
（2）解：∵AB=AC，∠BAC=α=120°，
∴∠ABC=∠BCA=12180°−∠BAC=30°，
∵∠BAC=∠EAD=α=120°，
∴∠BAC−∠BAD=∠EAD−∠BAD，
即∠DAC=∠EAB，
∴在△ABE和△ACD中
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACDSAS，
∴BE=CD，∠ABE=∠ACD=30°，
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=30°+30°=60°，
∵EF⊥BC，
∴在Rt△BEF中，BE=BFcs∠BEF=BFcs60°=2BF，
∵CD=BC−BD=DF−BF+BC，
CD=BE=2BF，
∴2BF=DF+BC−BF，
∴3BF=DF+BC．
37．（2025·广西）如图，已知AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，∠ABC=65°，BC=CD．
(1)求证：△BOC≌△DOC；
(2)求∠ABD的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)40°
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据已知条件利用SSS证明全等即可；
（2）根据OC=OB，求出∠COB，再利用全等求出∠DOB，最后利用等边对等角即可求．
【详解】（1）证明：∵⊙O的半径为OD,OB,OC,OA，
∴OA=OB=OD=OC，
∵OC=OC，BC=CD，
∴△BOC≌△DOCSSS；
（2）解：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC=65°，
∴∠COB=180°−65°×2=50°，
∵△BOC≌△DOC，
∴∠DOC=∠COB=50°，
∴∠DOB=100°，
∵OD=OB，
∴△DOB是等腰三角形，
∴∠ABD=∠ODB=180°−∠DOB2=40°．
38．（2025·浙江）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上．
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．
(2)若裁剪过程中满足DE=DA，求“机翼角”∠BAE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)22.5°
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由正方形的性质可得AB=CB，∠ABD=∠CBD，据此可利用SAS证明△ABE≌△CBE；
（2）由正方形的性质可得∠BAD=90°，∠ADB=45°，再由等边对等角和三角形内角和定理求出∠DAE的度数即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBESAS；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ADB=45°，
∵DE=DA，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°，
∴∠DAE=∠DEA=67.5°，
∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=22.5°．
39．（2025·河北）如图．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC=AD，∠ACB=∠ADB，点F在ED上，∠BAF=∠EAD．
(1)求证：△ABC≌△AFD；
(2)若BE=FE，求证：AC⊥BD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；
（1）先证明∠BAC=∠FAD，结合AC=AD，∠ACB=∠ADB，即可得到结论；
（2）先证明AB=AF，结合BE=FE即可得到结论.
【详解】（1）证明：∵∠BAF=∠EAD，
∴∠BAF−∠CAF=∠EAD−∠CAF，即∠BAC=∠FAD，
又∵AC=AD，∠ACB=∠ADB，
∴△ABC≌△AFD；
（2）证明：∵△ABC≌△AFD，
∴AB=AF，
∵BE=FE，
∴AE⊥BF，即AC⊥BD.
40．（2025·陕西）如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，BD=AB，DE∥AB，DE=BC．求证：BE=AC．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
先根据平行得到∠BDE=∠ABC，再证明△BDE≌△ABCSAS即可．
【详解】证明：∵DE∥AB，
∴∠BDE=∠ABC，
∵BD=AB，DE=BC，
∴△BDE≌△ABCSAS，
∴BE=AC．
41．（2025·湖北）如图，AB=AD,AC平分∠BAD．求证：∠B=∠D．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
先根据角平分线得到∠BAC=∠DAC，再由SAS证明△BAC≌△DAC，即可得到∠B=∠D．
【详解】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，AC=AC，
∴△BAC≌△DACSAS，
∴∠B=∠D．
42．（2025·四川宜宾）如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD=5．求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长．
【答案】见解析，10
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到BC=AD=5，BC∥AD，则由平行线的性质可得∠EFC=∠EAD，∠ECF=∠EDA，再证明CE=DE，即可利用AAS证明△ADE≌△FCE，则可得到CF=AD=5，据此可得答案．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，BC∥AD，
∴∠EFC=∠EAD，∠ECF=∠EDA，
∵点E是平行四边形ABCD边CD的中点，
∴CE=DE，
∴△ADE≌△FCEAAS，
∴CF=AD=5，
∴BF=BC+CF=5+5=10．
43．（2025·福建）如图，点E，F分别在AB,AD的延长线上，∠CBE=∠CDF,∠ACB=∠ACD．求证：AB=AD．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明∠ABC=∠ADC，AAS证明△ABC≌△ADC，即可得出结论．
【详解】证明：∵∠CBE=∠CDF,∠ABC+∠CBE=180°,∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠ADC．
在△ABC和△ADC中，
∠ABC=∠ADC∠ACB=∠ACDAC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴AB=AD．
44．（2025·云南）如图，AB与CD相交于点O，AC=BD, ∠C=∠D．求证：△AOC≌△BOD．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用AAS证明△AOC≌△BOD即可．
【详解】证明；在△AOC和△BOD中，
∠C=∠D∠AOC=∠BODAC=BD，
∴△AOC≌△BODAAS．
45．（2025·四川广安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10，DE=BF，连接AE,AF,CE,CF．
(1)求证：△ADE≌△CBF．
(2)若四边形AECF的周长为434，求EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)EF的长为6
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键．
（1）正方形的性质，得到BC=AD，∠CBD=∠ADB=45°，结合DE=BF，即可证明△ADE≌△CBF；
（2）连接AC交BD于点O，根据正方形的性质结合中垂线的性质，推出AF=CF，AE=CE，由△ADE≌△CBF，可得：AF=CF=AE=CE，根据周长求出AF的长，勾股定理求出OF的长，进而求出BF,DE的长，再根据线段的和差关系求出EF的长即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AD=BC，∠ADE=∠CBF=45°
在△ADE和△CBF中，
AD=BC∠ADE=∠CBFBF=DE，
∴△ADE≌△CBFSAS；
（2）解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为正方形，BD=10，
∴BD垂直平分AC，OA=OC=OB=12BD=5，
∴AF=CF，AE=CE，
由（1）知△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∴AF=CF=AE=CE
∵四边形AECF的周长为434，
∴AF=14×434=34
在Rt△AOF中，OF=AF2−OA2=3
∴BF=DE=OB−OF=5−3=2，
∴EF=BD−BF−DE=6；
答：EF的长为6．
46．（2025·四川内江）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC=DF,∠A=∠D,AB∥DE．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若BF=4,FC=3，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)11
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SAS,AAS,ASA,SSS,HL，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先根据平行线的性质得到∠B=∠E，再由“AAS”直接证明即可；
（2）由△ABC≌△DEF，BC=EF，再由线段和差即可得到BF=CE，最后由BE=BF+FC+CE即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠E，
∵AC=DF,∠A=∠D，
∴△ABC≌△DEFAAS；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BF+FC=CE+FC，
∵BF=4,FC=3，
∴3+4=CE+3，
∴CE=4，
∴BE=BF+FC+CE=4+3+4=11．
47．（2025·四川遂宁）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，且AF⊥AB，CE⊥CD．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)连接AE，CF，若∠ABD=30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形AECF是菱形，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、菱形和平行四边形的判定等知识；
（1）根据垂直的定义可得∠BAF=∠DCE=90°，根据平行线的性质可得∠ABF=∠CDE，根据已知条件可得BF=DE，即可证明结论；
（2）根据△ABF≌△CDE可得AF=CE，∠AFB=∠CED，即得AF∥CE，进而可得四边形AECF是平行四边形，然后根据30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质证得AF=CF，即可得到结论.
【详解】（1）证明：∵AF⊥AB，CE⊥CD，
∴∠BAF=∠DCE=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵BE=EF=FD，
∴BF=DE，
∴△ABF≌△CDEAAS；
（2）解：四边形AECF是菱形，理由如下：
∵△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
在直角三角形ABF中，∵∠ABD=30°，
∴AF=12BF，
在直角三角形DCE中，∵EF=DF，
∴CF=12DE，
∵BF=DE，
∴AF=CF，
∴四边形AECF是菱形.
48．（2025·四川南充）如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC．
(1)求证：△ABC≌△AED．
(2)求证：∠BCD=∠EDC．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键．
（1）先说明∠BAC=∠EAD，再根据SAS即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠ACB=∠ADE，再根据等边对等角的性质可得∠ACD=∠ADC，然后根据角的和差即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD−∠CAD=∠EAC−∠CAD．
∴∠BAC=∠EAD．
在△ABC与△AED中，
AB=AE,∠BAC=∠EAD,AC=AD,
∴△ABC≌△AEDSAS．
（2）解：△ABC≌△AED，
∴∠ACB=∠ADE．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC．
∴∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC，
∴∠BCD=∠EDC．
49．（2025·四川自贡）如图，∠ABE=∠BAF，CE=CF．求证：AE=BF．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明AC=BC，结合∠ACE=∠BCF，CE=CF，证明△ACE≌△BCF即可.
【详解】证明：∵∠ABE=∠BAF，
∴AC=BC，
∵∠ACE=∠BCF，CE=CF，
∴△ACE≌△BCFSAS，
∴AE=BF.
50．（2025·重庆）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：
第一步：构造角平分线．
小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在OB边上截取OF=OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP，OP即为∠AOB的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
第二步：利用三角形全等证明她的猜想．
证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠OEP=∠OFP=90°．
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
① ¯ ② ¯，
∴Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)．
∴ ③ ．
∴OP平分∠AOB．
【答案】第一步：作图见解析；第二步：①PO=PO；②OE=OF；③∠EOP=∠FOP
【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
第一步：根据题意作出图形即可；
第二步：利用HL证明Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)，得出∠EOP=∠FOP即可解答．
【详解】解：第一步：作图如下：
；
第二步：证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠OEP=∠OFP=90°．
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
PO=POOE=OF，
∴Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)．
∴∠EOP=∠FOP,
∴OP平分∠AOB．
51．（2024·江苏淮安）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F在BD上，BE=DF．求证：△ABE≌△CDF．
【答案】见解析．
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定．利用SAS证明△ABE≌△CDF即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
52．（2024·陕西）如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DFE的顶点都在格点上．求证：∠ABC=∠DFE．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据网格图中，每个小正方形的边长为1，得到两个三角形的每条边长，从而得到两三角形对应边相等，得到两三角形全等，即可得到结果．
【详解】证明：如图，每个小正方形的边长均为1，
在Rt△BCE和Rt△DGF中，
∵BC=BE2+CE2=42+12=17，DF=DG2+GF2=12+42=17，
∴BC=DF，
同理可得：DE=AC=32+12=10，EF=AB=12+22=5，
在△ABC和△EFD中，
AC=EDAB=EFBC=FD
∴△ABC≌△EFDSSS，
∴∠ABC=∠DFE．
53．（2024·四川乐山）如图，AB是∠CAD的平分线，AC=AD．试说明：∠C=∠D．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，解题的关键是利用角平分线的性质找到证明三角形全等的条件．
根据角平分线的定义得到∠CAB=∠DAB，再结合已知的相等线段，利用全等三角形的判定定理证明△ABC△≌ABD(SAS)，最后根据全等三角形的性质得出结论．
【详解】解：∵ AB是∠CAD的平分线，
∴ ∠CAB=∠DAB．
在△ABC和△ABD中，
AC=AD∠CAB=∠DABAB=AB
∴ △ABC≌△ABD(SAS)，
∴ ∠C=∠D
54．（2024·西藏）如图，点C是线段AB的中点，AD=BE，∠A=∠B．求证：∠D=∠E．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由点C是线段AB的中点得出AC=BC，再利用SAS证明△ADC≌△BEC即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
在△ADC和△BEC中，
AC=BC∠A=∠BAD=BE，
∴△ADC≌△BECSAS，
∴∠D=∠E．
55．（2024·江苏徐州）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．
(1)求证：△EAB≌△ECB；
(2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出△EAB和△ECB的全等条件．
（1）根据正方形的性质证明AB=BC，∠ABE=∠CBE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出∠CED和∠DCE，然后进行证明即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠CBE=45°，
在△EAB和△ECB中，
AB=BC∠ABE=∠CBEBE=BE，
∴△EAB≌△ECB（SAS）；
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC=12∠CDA=45°，
∵△EAB≌△ECB，∠AEC=45°，
∴∠CED=∠AED=12∠AEC=22.5°，
∵∠BDC=∠CED+∠DCE=45°，
∴∠DCE=45°−22.5°=22.5°，
∴∠CED=∠DCE，
∴DC=DE．
56．（2024·江苏南通）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF=DE．求证CF∥AB．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得AE=EC，即可证明△AED≌△CEF，有∠DAE=∠FCE成立，根据平行线的判定即可证明结论．
【详解】证明：∵点E为边AC的中点，
∴AE=EC，
∵EF=DE，∠AED=∠CEF，
∴△AED≌△CEFSAS，
∴∠DAE=∠FCE，
∴CF∥AB．
57．（2024·江苏镇江）如图，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB．

(1)求证：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB=70°，则∠CAB=__________°．
【答案】(1)答案见解析
(2)20
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）利用AAS即可证得△ABC≌△BAD；
（2）先根据三角形内角和定理求出∠DBA的度数，再根据全等三角形的性质即可得出∠CAB的度数．
【详解】（1）证明：在△ABC和△BAD中，
∠C=∠D=90°∠CBA=DABAB=BA，
∴△ABC≌△BAD(AAS)；
（2）解：∵∠DAB=70°，∠D=90°，
∴∠DBA=90°−70°=20°，
由（1）知△ABC≌△BAD，
∴∠CAB=∠DBA=20°，
故答案为：20．
58．（2024·山东济南）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E,CF⊥AD，垂足为F．
求证：AF=CE．
【答案】证明见解析．
【分析】本题主要考查了菱形的性质， 全等三角形的判定以及性质，由菱形的性质得出AD=CD，用AAS证明△AED≌△CFD，由全等三角形的性质可得出DE=DF， 由线段的和差关系即可得出AF=CE．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AD=CD
∵AE⊥CD,CF⊥AD
∴∠AED=∠CFD=90°
∵∠D=∠D
∴△AED≌△CFD
∴DE=DF
∴AD−DF=CD−DE
∴AF=CE
59．（2024·山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
(1)△AEH≌△CFG；
(2)四边形EGFH为平行四边形．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）由矩形的性质可得AD=BC，∠B=∠D=90°，AB∥CD，即得∠EAH=∠FCG，由折叠的性质可得AG=AD，CH=CB，∠CHE=∠B=90°，∠AGF=∠D=90°，即得CH=AG，∠AHE=∠CGF=90°，进而得AH=CG，即可由ASA证明△AEH≌△CFG；
（2）由（1）得∠AHE=∠CGF=90°，△AEH≌△CFG，即可得到EH∥FG，EH=FG，进而即可求证；
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠EAH=∠FCG，
由折叠可得，AG=AD，CH=CB，∠CHE=∠B=90°，∠AGF=∠D=90°，
∴CH=AG，∠AHE=∠CGF=90°，
∴AH=CG，
在△AEH和△CFG中，
∠EAH=∠FCGAH=CG∠AHE=∠CGF=90°，
∴△AEH≌△CFGASA；
（2）证明：由（1）知∠AHE=∠CGF=90°，△AEH≌△CFG，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EGFH为平行四边形．
60．（2024·江苏无锡）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE．求证：
(1)△ABE≌△DCE；
(2)∠EAD=∠EDA．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角．
（1）根据矩形的性质得出AB=DC,∠B=∠C=90°，再根据中点的定义得出BE=CE，即可根据SAS求证△ABE≌△DCE；
（2）根据全等的性质得出AE=DE，根据等边对等角即可求证．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC,∠B=∠C=90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△DCE中，
AB=DC∠B=∠CBE=CE，
∴△ABE≌△DCESAS
（2）证明：∵△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA．
61．（2024·四川雅安）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
(1)求证：△ODE≌△OBF；
(2)当EF⊥BD时，DE=15cm，分别连接BE，DF，求此时四边形BEDF的周长．
【答案】(1)见解析
(2)60cm
【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
（1）由题目中的▱ABCD中，O为对角线的中点，可以得出OD=OB，∠OED=∠OFB，结合∠DOE=∠BOF，可以证得两个三角形全等，进而得出结论；
（2）由（1）中得到的结论可以得到DE=BF，结合DE∥BF得出四边形BEDF是平行四边形，进而利用EF⊥BD证明出四边形BEDF为菱形，根据DE=15cm即可求出菱形的周长．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠OED=∠OFB，
∵点O是▱ABCD对角线的交点，
∴OD=OB，
在△△ODE和△OBF中，∠OED=∠OFB∠DOE=∠BOFOD=OB，
∴△ODE≌△OBFAAS．
（2）由（1）知，△ODE≌△OBF，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴▱BEDF是菱形，
∴DF=BF=BE=DE=15cm，
∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60cm，
∴四边形BEDF的周长为60cm．
62．（2024·湖南长沙）如图，点C在线段AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC=60°，求∠ACE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠ACE=60°
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明△ACE是等边三角形是解答的关键．
（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AC=AE，∠CAE=∠BAC=60°，再证明△ACE是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：在△ABC与△ADE中，
AB=AD∠B=∠DBC=DE，
所以△ABC≌△ADESAS；
（2）解：因为△ABC≌△ADE，∠BAC=60°，
所以AC=AE，∠CAE=∠BAC=60°，
所以△ACE是等边三角形．
所以∠ACE=60°．
63．（2024·福建）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠BAF=∠DAE，求证：BE=DF．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明∠BAE=∠DAF，再证明△BAE≌△DAF，从而可得结论．
【详解】证明：在菱形ABCD中，
AB=AD，∠B=∠D，
∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAE+∠EAF=∠EAF+∠DAF，
∴∠BAE=∠DAF，
在△BAE和△DAF中∠B=∠DAB=AD∠BAE=∠DAF，
∴△BAE≌△DAF，
∴BE=DF．
64．（2024·吉林）如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E，求证：AE=BC．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出∠OAE=∠OBC，∠OCB=∠E，再由线段中点的定义得到OA=OB，据此可证明△AOE≌△BOCAAS，进而可证明AE=BC．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAE=∠OBC，∠OCB=∠E，
∵点O是AB的中点，
∴OA=OB，
∴△AOE≌△BOCAAS，
∴AE=BC．
65．（2024·湖北武汉）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）
【答案】(1)见解析
(2)添加AF=BE（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；
（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，结合已知条件可得DF=BE，即可证明△ABE≌△CDF；
（2）添加AF=BE，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，
∵AF=CE，
∴AD−AF=BC−CE即DF=BE，
在△ABE与△CDF中，
AB=CD∠B=∠DBE=DF，
∴△ABE≌△CDFSAS；
（2）添加AF=BE（答案不唯一）
如图所示，连接EF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥BE，
当AF=BE时，四边形ABEF是平行四边形．
66．（2024·陕西）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE=CF．求证：AF=DE．
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠C=90°，再推出BF=CE，利用SAS证明△ABF≌△DCE，即可得到AF=DE．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°，
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∴△ABF≌△DCESAS，
∴AF=DE．
67．（2024·江苏苏州）如图，△ABC中，AB=AC，分别以B，C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于点E．
(1)求证：△ABD≌△ACD；
(2)若BD=2，∠BDC=120°，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)BC=23
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是：
（1）直接利用SSS证明△ABD≌△ACD即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出∠BDA=∠CDA=60°，利用三线合一性质得出DA⊥BC，BE=CE，在Rt△BDE中，利用正弦定义求出BE，即可求解．
【详解】（1）证明：由作图知：BD=CD．
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD．
∴△ABD≌△ACD．
（2）解：∵△ABD≌△ACD，∠BDC=120°，
∴∠BDA=∠CDA=60°．
又∵BD=CD，
∴DA⊥BC，BE=CE．
∵BD=2，
∴BE=BD⋅sin∠BDA=2×32=3，
∴BC=2BE=23．
68．（2024·云南）如图，在△ABC和△AED中，AB=AE，∠BAE=∠CAD，AC=AD．
求证：△ABC≌△AED．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“SAS”证明△ABC≌△AED，即可解决问题．
【详解】证明：∵ ∠BAE=∠CAD，
∴ ∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△AED中，
AB=AE∠BAC=∠EADAC=AD，
∴ △ABC≌△AEDSAS．
69．（2024·江苏盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AE=BF．
若________，则AB=CD．
请从①CE∥DF；②CE=DF；③∠E=∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出∠A=∠FBD,∠D=∠ECA，再由全等三角形的判定和性质得出AC=BD，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出△AEC≌△BFD(SAS)，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【详解】解：选择①CE∥DF；
∵AE∥BF，CE∥DF，
∴∠A=∠FBD,∠D=∠ECA，
∵AE=BF，
∴△AEC≌△BFD(AAS)，
∴AC=BD，
∴AC−BC=BD−BC，即AB=CD；
选择②CE=DF；
无法证明△AEC≌△BFD，
无法得出AB=CD；
选择③∠E=∠F；
∵AE∥BF，
∴∠A=∠FBD，
∵AE=BF， ∠E=∠F，
∴△AEC≌△BFD(ASA)，
∴AC=BD，
∴AC−BC=BD−BC，即AB=CD；
故答案为：①或③（答案不唯一）
70．（2024·四川内江）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE，AC=DF，BC=EF
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度数．
【答案】(1)见解析
(2)80°
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键.
（1）先证明AB=DE，再结合已知条件可得结论；
（2）证明∠A=∠FDE=55°，再结合三角形的内角和定理可得结论.
【详解】（1）证明：∵AD=BE
∴AD+DB=BE+DB，即AB=DE
∵AC=DF，BC=EF
∴△ABC≌△DEF SSS
（2）∵△ABC≌△DEF，∠A=55°，
∴∠A=∠FDE=55°，
∵∠E=45°，
∴∠F=180∘−∠FDE−∠E=80°
71．（2024·江苏连云港）如图，AB与CD相交于点E，EC=ED，AC∥BD．
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点M在AC上，点N在BD上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠A=∠B,∠C=∠D，结合EC=ED，利用AAS即可证明△AEC≌△BED；
（2）作CD的垂直平分线，分别交AC,BD于点M,N，连接DM,CN即可．
【详解】（1）证明：∵ AC∥BD，
∴∠A=∠B，∠C=∠D．
在△AEC和△BED中，∠A=∠B∠C=∠DEC=ED，
∴△AEC≌△BED(AAS)；
（2）解：∵MN是CD的垂直平分线，
∴MD=MC,DN=CN，
由（1）的结论可知，∠A=∠B,AE=BE,
又∵∠AEM=∠BEN,
则△AEM≅△BEN,
∴ME=NE,
∵ CD⊥MN，
∴CD是MN的垂直平分线，
∴DM=DN,CM=CN，
∴DM=DN=CN=CM，
∴四边形DMCN是菱形，
如图所示，菱形DMCN为所求．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键．
72．（2024·四川南充）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E．
(1)求证：△BDE≌△CDA．
(2)若AD⊥BC，求证：BA=BE
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：
（1）由中点，得到BD=CD，由BE∥AC，得到∠E=∠DAC,∠DBE=∠C，即可得证；
（2）由全等三角形的性质，得到ED=AD，进而推出BD垂直平分AE，即可得证．
【详解】（1）证明：∵D为BC的中点，
∴BD=CD．
∵BE∥AC,
∴∠E=∠DAC,∠DBE=∠C；
在△BDE和△CDA中，∠E=∠DAC∠DBE=∠C BD=CD
∴△BDE≌△CDAAAS；
（2）证明：∵△BDE≌△CDA,
∴ED=AD
∵AD⊥BC,
∴BD垂直平分AE，
∴BA=BE．
73．（2024·四川泸州）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE=BF．求证：∠1=∠2．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到AD=CB，AD∥CB，则∠ADE=∠CBF，再证明△ADE≌△CBFSAS，即可证明∠1=∠2．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠ADE=∠CBF，
又∵DE=BF，
∴△ADE≌△CBFSAS，
∴∠1=∠2．
74．（2024·四川宜宾）如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD=CE，BE与AD交于点F．求证：AD=BE．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，然后根据SAS证明△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明∶∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
又BD=CE，
∴△ABD≌△BCESAS，
∴AD=BE．
已知：如图，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．
∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，
∴①______．
又∵∠4=∠5，MA=MC，
∴△MAD≌△MCB（②______）．
∴MD=MB．∴四边形ABCD是平行四边形．
已知：如图，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．
∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，
∴①______．
又∵∠4=∠5，MA=MC，
∴△MAD≌△MCB（②______）．
∴MD=MB．∴四边形ABCD是平行四边形．