新高考数学一轮复习(举一反三)重难点题型精练专题5.5 平面向量的数量积及其应用（2份打包，原卷版+解析版）

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1．向量的数量积
(1)向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移 SKIPIF 1 < 0 ，那么力 SKIPIF 1 < 0 所做的功W=| SKIPIF 1 < 0 || SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，O是平面上的任意一点，作 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，则∠AOB= SKIPIF 1 < 0 (0≤ SKIPIF 1 < 0 ≤
π)叫做向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角，也常用 SKIPIF 1 < 0 表示.

(3)两个向量数量积的定义
已知两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，它们的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，我们把数量| SKIPIF 1 < 0 || SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量积(或内积)，记作 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =| SKIPIF 1 < 0 || SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0 SKIPIF 1 < 0 =0.
(4)向量的投影
如图，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个非零向量， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，我们考虑如下的变换：过 SKIPIF 1 < 0 的起点A和终点B，分
别作 SKIPIF 1 < 0 所在直线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，我们称上述变换为向量 SKIPIF 1 < 0 向向量 SKIPIF 1 < 0 投影， SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量.

2．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是非零向量，它们的夹角是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是与 SKIPIF 1 < 0 方向相同的单位向量，则
① SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
② SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =0.
③当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =- SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
特别地， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
④|a SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，即 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
⑤ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和实数 SKIPIF 1 < 0 ，有
①交换律： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
②数乘结合律：( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )；
③分配律：( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
3．向量数量积的常用结论
(1) SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 ；
(4) SKIPIF 1 < 0 ；
(5) SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向共线时右边等号成立， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
4．平面几何中的向量方法
(1)用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将
几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面几何中常见的应用
①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =0 ( SKIPIF 1 < 0 ≠0).
②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =0.
③求夹角问题，利用夹角公式： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：| SKIPIF 1 < 0 |= SKIPIF 1 < 0 或|AB|=| SKIPIF 1 < 0 |=
SKIPIF 1 < 0 .
(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”
5．向量在物理中的应用
(1)力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.
(2)速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
(3)向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.
①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=| SKIPIF 1 < 0 || SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0 .功是一个实数,它可正,可负,也可
为零.
②动量涉及物体的质量m，物体运动的速度 SKIPIF 1 < 0 ，因此动量的计算是向量的数乘运算.
【题型1 向量的投影】
【方法点拨】
根据向量的投影的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】（2022·浙江杭州·高三期中）已知，，则在上投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用投影向量公式可求得在上投影向量.
【解答过程】由题意可知，在上投影向量为.
故选：B.
【变式1-1】（2022·广东佛山·高三期中）已知向量，，若，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据平面向量线性运算的坐标表示求出、，即可得到，，再根据计算可得.
【解答过程】解：因为，，所以，
又，所以，解得，所以，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为；
故选：C.
【变式1-2】（2022·天津河西·高三期中）已知点，，，，则向量在方向上的投影向量的长度为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据投影向量的定义、向量的模计算求解即可.
【解答过程】因为，，
所以向量在方向上的投影向量为，
投影向量的长度为，
故选：A.
【变式1-3】（2022·广西南宁·模拟预测（文））已知向量，若，则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用坐标运算求出，然后求投影即可.
【解答过程】，，则，则在方向上的投影为.
故选：B.
【题型2 向量数量积的计算】
【方法点拨】
解决向量数量积的计算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊
夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.
【例2】（2022·辽宁·高三期中）已知向量，，则（ ）
A．3B．C．1D．0
【解题思路】根据向量的坐标运算求解即可.
【解答过程】解：因为，，
所以，
所以，
故选：D.
【变式2-1】（2022·湖北·高三期中）已知平面向量，，满足，，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【解题思路】根据题意将两边平方，结合数量积以及模的运算，即可求得答案.
【解答过程】由可得，即，
即，所以，
故选：D.
【变式2-2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）在平行四边形ABCD中，，，，点E在边CB的延长线上，若，（ ）.
A．4B．8C．10D．12
【解题思路】用基底表示目标向量，根据向量的数量积运算，结合四边形的几何特点，即可求得结果.
【解答过程】根据题意，连接，作图如下：
因为，四边形为平行四边形，故可得，
又，故三角形为等边三角形，则；
又，
，
故
.
故选：A.
【变式2-3】（2022·河南·模拟预测（理））若向量，，满足，，，，，则（ ）．
A．5B．6C．3D．4
【解题思路】由等式两边同乘以向量和，根据数量积的性质分别求即可.
【解答过程】因为，所以，又，，，所以，
因为，所以，又，，，所以，
所以，
故选：A.
【题型3 夹角与垂直】
【方法点拨】
(1)夹角问题：求两非零向量的夹角 SKIPIF 1 < 0 或其余弦值一般利用夹角公式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 求解.
(2)垂直问题：根据两向量垂直，向量的数量积为0，进行求解即可.
【例3】（2022·江苏连云港·高三期中）已知，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据已知求得，平方可得，继而求出，根据向量的夹角公式即可求得答案.
【解答过程】由可得，
则，即得，故，
则，
故，
由于，故，
故选：B.
【变式3-1】（2022·贵州贵阳·高三阶段练习（理））已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先由题意得到，再利用向量的数量积运算分别求得选项中的向量与的数量积，从而可判断是否垂直.
【解答过程】因为，是单位向量，且夹角为，
所以，
对于A，因为，所以与不垂直，故A错误；
对于B，因为，所以与不垂直，故B错误；
对于C，因为，所以与不垂直，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：D.
【变式3-2】（2022·北京·高三期中）已知向量，若，则（ ）
A．1B．C．2D．
【解题思路】因，则=0，后由数量积的坐标运算法则可得答案.
【解答过程】因，
则 ，得.
故选：C.
【变式3-3】（2022·福建省高二阶段练习）已知向量 是单位向量， 且，则向量与的夹角是（ ）
A．​B．​C．​D．​
【解题思路】设向量 的夹角为，，再利用数量积的公式和运算化简已知等式求解.
【解答过程】设向量 的夹角为，，
因为为单位向量，
，
因为，
所以，
所以.
因为，所以.
故选：B.
【题型4 平面向量的模】
【方法点拨】
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数
量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，注意利用图形
的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.
【例4】（2022·广东·高一期中）已知，是单位向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用得到，然后计算即可求得答案
【解答过程】因为，所以，
因为，是单位向量，所以，所以，
所以，
所以，
故选：D.
【变式4-1】（2022·浙江绍兴·一模）已知向量，满足，，，则（ ）
A．2B．C．1D．
【解题思路】根据题意得，再解方程即可.
【解答过程】解：因为，
所以，
因为，，
所以，即，解得 或（舍），
所以， ，
故选：D.
【变式4-2】（2022·山西忻州·高三阶段练习）已知平面向量与的夹角为，若，，则（ ）
A．2B．3C．D．4
【解题思路】由两边平方化简可求得答案
【解答过程】由平方可得，
因为，平面向量与的夹角为，
所以即，
解得或（舍去），
故选：D.
【变式4-3】（2022·辽宁二模）若存在单位向量，满足，，则的值为（ ）．
A．1B．或1C．0D．1或0
【解题思路】把给定的两个等式两边平方，联立消去得关于k的方程，求解即得.
【解答过程】，是单位向量，则，
，
于是有，即，显然，则或1，
所以的值为为1或0．
故选：D.
【题型5 向量数量积的最值问题】
【方法点拨】
先进行数量积的有关运算，将数量积的最值问题转化为函数的最值问题或几何量的最值问题，利用求函数
最值的基本方法求出相关的最大值或最小值，或利用图形直观求出相关的最值.
【例5】（2022·江苏南京·高二期中）在矩形中，为线段上的动点，过作的垂线，垂足为，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．4
【解题思路】分别以为轴建立平面直角坐标系，设（），设，由垂直求得，再计算得出关于的表达式，利用基本不等式可得最小值．
【解答过程】分别以为轴建立平面直角坐标系，，，，，
在线段上，设（），，
设，则，
因为，所以，，
，
，
时，，
时，，当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值．
综上，的最小值是1.
故选：A．
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用向量运算化简，从而求得其最小值.
【解答过程】，
，
当时，取得最小值为.
故选：B.
【变式5-2】（2022·全国·模拟预测）已知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】借助单位圆建立直角坐标系，用向量数量积的坐标运算求最小值.
【解答过程】知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，
，为O为原点，OA为x轴建立如图所示的直角坐标系：
则，，设，则有，
，，
，，
，
化简得，
由，当时，有最大值6.
故选：C.
【变式5-3】（2022·河南·高三阶段练习（理））圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．如图，AB是圆O的一条直径，且．C，D是圆O上的任意两点，，点P在线段CD上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解.
【解答过程】如图，为圆心，连接，则
.
因为点在线段上且，则圆心到直线的距离，
所以，
所以，则，即的取值范围是.
故选：A.
【题型6 平面向量的综合应用】
【方法点拨】
平面向量的综合应用的方法和思想
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代
数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行
求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量
为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
【例6】（2022·北京·高一期末）在△中，，，，为△内部（包含边界）的动点，且.
(1)求；
(2)求的取值范围.
【解题思路】（1）由余弦定理求得，再由平方即可求出；
（2）以A为原点建立直角坐标系，设，则可得，即可求出范围.
【解答过程】(1)
在中，由余弦定理，，
即，解得或（舍），
所以.
所以.
(2)
以A为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
设，则点坐标为.
由（1）知，，，
所以点坐标为，点坐标为.
所以.
所以.
因为，所以.
所以，所以.
所以的取值范围是所以.
【变式6-1】（2022·浙江·高一期中）在△中，已知，，，设点为边上一点，点为线段延长线上的一点，且.
(1)当且是边上的中点时，设与交于点，求线段的长；
(2)若，求的最小值.
【解题思路】（1）根据点是三角形的重心，结合三角形重心的向量表示以及数量级运算，即可求得结果；
（2）设，根据平面向量的线性运算结合题意，求得与的关系，再求得关于的函数关系，求该函数的最小值即可.
【解答过程】（1）设，，当，是的中点时，则是△的重心，
,
.
（2）设，则，
，
，
由，得：.
∴，因为，，
所以，，
令，则
当且仅当时取到等号，所以的最大值是
又，在上单调递减，
所以
.
故的最小值为.
【变式6-2】（2022·辽宁·沈阳市高三期中）在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.
(1)求A；
(2)若，，AD是的中线，求AD的长.
【解题思路】（1）由正弦定理和二倍角的正弦公式即可求解.
（2）由可得，根据以及余弦定理即可求出.
【解答过程】（1），
所以，
由正弦定理得：，
，，
，，
得，即，
.
（2）,
,得，
由余弦定理得：，
，
，
所以，
即AD的长为.
【变式6-3】（2022·湖南·高一期末）在条件①：；条件②：；条件③：，这三个条件中选择一个条件，补充在下面的横线上，并解决以下问题.
问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为，且满足若，点D为AC边上的中点.
(1)求角B的大小；
(2)若B为锐角，，且 （从上面三个条件中选择一个条件补充到横线上），求BD的长度.
注：如果选择多种情况分别解答，则按第一种解答给分.
【解题思路】（1）由正弦定理化简得，结合辅助角公式即可求得角B；
（2）若选①，由面积求出，余弦定理求得，由平方即可求得；若选②，由求出，余弦定理求得，由平方即可求得；若选③，由求得，即可求出，由即可求出.
【解答过程】(1)
由正弦定理得，又，则，
即，又，则或；
(2)
若B为锐角，则，若选①，则，则，又，则；
易得，平方得，即，则；
若选②，，即，又，则；
易得，平方得，即，则；
若选③，，平方得，
则，则，
又，则，，.