专题5.3 平面向量的数量积及应用-2022年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 平面向量数量积的运算1
题型二 平面向量数量积的性质3
命题角度一 平面向量的模3
命题角度二 平面向量的夹角4
命题角度三 两向量垂直问题5
题型三 向量数量积的综合应用6
命题角度一 平面向量在平面几何中的应用6
命题角度二 平面向量与函数、不等式的综合应用7
命题角度三 平面向量与解三角形的综合应用8
命题角度四 平面向量与解析几何的综合应用10
题型四 平面向量与三角函数11
二、高效训练突破13
一、题型全归纳
题型一 平面向量数量积的运算
【题型要点】平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
【易错提醒】解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．
【例1】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq \f(π,4)，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝________．
【例2】(2020·西安调研)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝DA＝2，若E为BC的中点，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝( )
A.eq \r(3) B．3
C．2eq \r(3) D．12
题型二 平面向量数量积的性质
命题角度一 平面向量的模
【题型要点】求向量的模的方法
(1)公式法：利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积的运算．
(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
【例1】已知平面向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，且|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋2b，eq \(AC,\s\up6(→))＝2a－6b，D为BC的中点，则|eq \(AD,\s\up6(→))|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【例2】．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为eq \f(2π,3)，且a＋b＋c＝0，则|c|＝________.
命题角度二 平面向量的夹角
【题型要点】(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0°或180°；求角时，注意向量夹角的取值范围是[0°，180°]；若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))求解．
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．
【例3】已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－eq \r(5)b，则cs〈a，c〉＝________.
【例4】．已知向量a＝(λ，－6)，b＝(－1,2)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．
命题角度三 两向量垂直问题
【题型要点】(1)当向量a与b是坐标形式时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a·b＝0.
(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
【例5】已知向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．
【例6】(2020·华南师大附中一模)已知向量|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(BC,\s\up6(→))＝(m－n)eq \(OA,\s\up6(→))＋(2n－m－1)eq \(OB,\s\up6(→))，若eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，且eq \(OC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，则实数eq \f(m,n)的值为( )
A.eq \f(8,7) B.eq \f(4,3)
C.eq \f(6,5) D.eq \f(1,6)
题型三 向量数量积的综合应用
命题角度一 平面向量在平面几何中的应用
【题型要点】向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
【例1】(2020·开封模拟)已知eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))是非零向量，且满足(eq \(AB,\s\up6(→))－2eq \(AC,\s\up6(→)))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，(eq \(AC,\s\up6(→))－2eq \(AB,\s\up6(→)))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【例2】已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
命题角度二 平面向量与函数、不等式的综合应用
【题型要点】通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时也要注意平面向量的坐标运算在这方面的应用．
【例3】已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－eq \f(1,2)，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为________．
命题角度三 平面向量与解三角形的综合应用
【题型要点】(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．
【例4】已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝18，求c.
命题角度四 平面向量与解析几何的综合应用
【题型要点】向量在解析几何中的2个作用
【例6】若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最大值为________．
【例7】已知F为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(FA,\s\up6(→))，则此双曲线的离心率为________．
题型四 平面向量与三角函数
【题型要点】平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
【例1】(2020·江西上饶重点中学六校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cs(A－B)，sin(A－B))，n＝(cs B，－sin B)，且m·n＝－eq \f(3,5).
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4eq \r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影．
【例2】已知两个不共线的向量a，b满足a＝(1，eq \r(3))，b＝(cs θ，sin θ)，θ∈R.
(1)若2a－b与a－7b垂直，求|a＋b|的值；
(2)当θ∈时，若存在两个不同的θ，使得|a＋eq \r(3)b|＝|ma|成立，求正数m的取值范围．
二、高效训练突破
一、选择题
1．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
2.已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
3．(2020·河北衡水模拟三)已知向量a＝(1，k)，b＝(2，4)，则“k＝－eq \f(1,2)”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.(2020·河南安阳二模)如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若eq \(CE,\s\up6(→))＝－7eq \(DE,\s\up6(→))，3eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))，则eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝( )
A．11 B．10
C．－10 D．－11
5．已知向量|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，若eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，且eq \(OC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，则实数eq \f(m,n)的值为( )
A.eq \f(1,6) B．eq \f(1,4)
C．6 D．4
6.(2020·漯河高级中学月考)已知向量a＝(－2，m)，b＝(1,2)，若向量a在向量b方向上的投影为2，则实数m＝( )
A．－4 B．－6
C．4 D.eq \r(5)＋1
7．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
8．(2020·黑龙江大庆实验中学高考模拟)在矩形ABCD中，AB＝eq \r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \r(2)，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))的值为( )
A.eq \r(2) B．2
C．0 D．1
9．(2020·南昌模拟)已知a＝(csα，sinα)，b＝(cs(－α)，sin(－α))，那么a·b＝0是α＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10.(2020·天津市宁河区芦台第一中学高考模拟)如图所示，等边△ABC的边长为2，D为边AC上的一点，且eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，△ADE也是等边三角形，若eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(44,9)，则λ的值是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,3)
11.(2020·安徽滁州一模)△ABC中，AB＝5，AC＝10，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝25，点P是△ABC内(包括边界)的一动点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,5)λeq \(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的最大值是( )
A.eq \f(3\r(3),2) B．eq \r(37)
C.eq \r(39) D．eq \r(41)
12.(2020·广东广雅中学模拟)如图所示，等边△ABC的边长为2，AM∥BC，且AM＝6.若N为线段CM的中点，则eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝( )
A．24 B．23 C．22 D．18
二、填空题
1．(2020·河南郑州一模)已知e1，e2为单位向量且夹角为eq \f(2π,3)，设a＝3e1＋2e2，b＝3e2，则a在b方向上的投影为________．
2．(2020·江西临川九校3月联考)已知平面向量a＝(2m－1，2)，b＝(－2，3m－2)，且a⊥b，则|2a－3b|＝________．
3．(2020·石家庄质量检测(一))已知eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为90°，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，且eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，则eq \f(λ,μ)的值为________．
4.已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(cs23°，cs67°)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2cs68°，2cs22°)，则△ABC的面积为________．
5.(2020·青岛摸底)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，若(a＋λb)∥(2a＋b)，则λ＝________；若(a＋μb)⊥(2a＋b)，则μ＝________.
6.已知eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝0，则|eq \(BD,\s\up6(→))|的最大值为________．
三 解答题
1．已知向量m＝(sin α－2，－cs α)，n＝(－sin α，cs α)，其中α∈R.
(1)若m⊥n，求角α；
(2)若|m－n|＝eq \r(2)，求cs 2α的值．
2．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．
3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cs B，2cs2 eq \f(C,2)－1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(7)，c＝2eq \r(3)，求△ABC的面积．
4.已知向量a＝(sinθ，csθ－2sinθ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求eq \f(sinθ·csθ,1＋3cs2θ)的值；
(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．
载体
作用
向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题
工具
作用
利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法