专题1.4 等式与不等式的性质（练习+答案）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

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目录1
一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析4
【课程标准】4
【考情分析】4
【2026考向预测】5
三、知识点•逐点夯实5
知识点1、比较大小的基本方法5
知识点2、不等式的性质5
四、重点难点•分类突破6
考点1 不等式性质的应用6
考点2 比较大小与证明不等式8
考点3 二次不等式及其恒成立问题10
考点4 不等式的综合问题14
考点5 糖水不等式18
五、分层训练21
A、基础保分21
B、综合提升26
一、5年高考•真题感悟
1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
1．掌握等式与不等式的性质．
2．会比较两个数的大小．
3．理解不等式的性质，并能简单应用．
【5年考情分析】
【2026考向预测】
高考对不等式的性质的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容．
三、知识点•逐点夯实
知识点1、比较大小基本方法
知识点2、不等式的性质
（1）基本性质
【解题方法总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．
四、重点难点•分类突破
考点1 不等式性质的应用
例1．（2025·四川成都·三模）下列四个条件中，使成立的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2025·河南·三模）（多选题）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1】．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练2】．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
考点2 比较大小与证明不等式
例3．（2025·湖南永州·三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
例4．（2025·北京延庆·一模）设x，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3】．（2023·广东·二模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练4】．（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（ ）
A．B．C．D．
考点3 二次不等式及其恒成立问题
例5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
例6（2024·上海奉贤·一模）已知，则不等式的解集为 ．
例7．（23-24高三上·河南·阶段练习）若命题“，”为假命题，则的取值范围为 .
例8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练5】．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6】．（23-24高三上·天津北辰·期中）集合，，则 ．
【变式训练7】．（2024·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ．
【变式训练8】．（2025·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点4 不等式的综合问题
例9．（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
例10．（2025·北京·模拟预测）不等式的解集为 .
例11．已知，当时，恒成立，则b的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练9】．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练10】．函数的定义域为 .
【变式训练11】．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
考点5 糖水不等式
例12．（2024高二下·湖北·学业考试）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（ ）
A．B．
C．D．
例13．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练12】．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练13】．（多选题）（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
五、分层训练
1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·浙江·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·四川成都·三模）下列四个条件中，使成立的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）命题：，为真的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·江西九江·三模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则下列不等式恒成立的有（ ）
A．B．
C．D．
10．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知正数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2025·江西上饶·二模）若不等式恒成立，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
13．（多选题）下列叙述不正确的是（ ）
A．的解是
B．“”是“”的充要条件
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件
D．函数的最小值是
14．（多选题）已知正数满足，则（ ）
A．B．
C．D．5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度
2025年新Ⅱ卷，第4题,5分
分式不等式的解法
简单
2022年新Ⅱ卷，第12题，5分
掌握不等式的性质与会比较两个数的大小．
较难
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向
可加性
同向同正
可乘性
可乘方性