专题1.3 不等关系与不等式性质（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc22276" 【题型1 不等式性质的应用】 PAGEREF _Tc22276 \h 2
\l "_Tc17274" 【题型2 比较数（式）的大小】 PAGEREF _Tc17274 \h 3
\l "_Tc1419" 【题型3 证明不等式】 PAGEREF _Tc1419 \h 5
\l "_Tc26929" 【题型4 利用不等式的性质求目标式的取值范围】 PAGEREF _Tc26929 \h 7
\l "_Tc16419" 【题型5 不等式的综合问题】 PAGEREF _Tc16419 \h 9
\l "_Tc30541" 【题型6 糖水不等式】 PAGEREF _Tc30541 \h 12
1、不等关系与不等式性质
【知识点1 等式性质与不等式性质】
1．等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
2．不等式的性质
(1)如果a>b，那么bb⇔bb，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，cd，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
3．比较大小的基本方法
【方法技巧与总结】
1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.
2．比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性，需要灵活运用方法求解.
【题型1 不等式性质的应用】
【例1】（2024·上海杨浦·二模）已知实数a，b，c，d满足：a>b>0>c>d，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．a+d>b+cB．ad>bcC．a+c>b+dD．ac>bd
【解题思路】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.
【解答过程】对于ABD，取a=2,b=1,c=−2,d=−4，满足a>b>0>c>d，
显然a+d=−20>c>d，则a+c>b+d，C正确.
故选：C.
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）“xx2+y2，则xyb时，a2>b2,a>b不一定成立，故A,C不符合题意；
因为fx=x3是定义在R上单调递增的奇函数，
所以当实数a,b满足a>b时，则a3>b3，故B符合题意；
因为fx=x−1在−∞,0,0,+∞上单调递减，
所以当实数a,b满足a>b时，a−1>b−1不一定成立，不符合题意.
故选：B.
【变式1-3】（2023·贵州遵义·模拟预测）已知a,b,x均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）
A．若a0，但无法判定a−b与1的大小，所以B错误；
当c≤0时，ac≤bc，故D错误；
因为a−b>0，所以5a−b>50=1，故C正确.
故选：C.
【变式2-2】（2023·北京东城·一模）已知x0B．x+1x0D．csx+x>0
【解题思路】利用作差法可判断A、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.
【解答过程】∵x0，x+1x+2=x2+2x+1x=x+12x0，csx+xb>a>0，则（ ）
A．abbc>acbbB．2lnbb−cbD．lgac>lgbc
【解题思路】利用不等式的基本性质，并对选项化简，转化，判断对错即可.
【解答过程】解：选项A中，由于abbcacbb=ab−cbc−b=abb−c>1，所以abbc>acbb成立；故A正确；
选项B中，2lnb=lnb2，lna+lnc=lnac，b2与ac大小不能确定，故B错误；
选项C中，由于a−ca−b−cb=a−b1+caba+b.
【解题思路】根据题意，化简得到a2b+b2a−a+b=(a−b)2(a+b)ab，结合不等式的性质，即可得证.
【解答过程】证明：因为a2b+b2a−a+b=a3+b3−a2b−ab2ab=a2(a−b)−b2(a−b)ab=(a−b)2(a+b)ab，
又因为a>0,b>0，所以(a−b)2(a+b)ab≥0，当且仅当a=b时等号成立，
所以a2b+b2a>a+b.
【变式3-1】（22-23高一上·全国·课后作业）证明下列不等式：
(1)已知a>b，e>f，c>0，求证f−acb>0,cbc，∴−acf，即fb，
故选：D.
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知1