2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题1.4等式与不等式的性质(五类重难点题型精练)(学生版+解析)

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重难点题型1 不等式性质的应用
1．（2025·四川绵阳·三模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件.
2．（2025·全国·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2025·重庆·模拟预测）设 为均不为零的实数，且 ，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高一上·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三下·山西·阶段练习）（多选题）设，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2025高三·全国·专题练习）（多选题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
重难点题型2 比较数（或式）的大小与比较法证明不等式
1．（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2019·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2020高三·上海·专题练习）设，，则（ ）．
A．B．C．D．
5．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）（多选题）若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高三下·河北·开学考试）（多选题）已知则下列不等式中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
重难点题型3 已知不等式的关系，求目标式的取值范围
1．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·山东·阶段练习）下列选项说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．（24-25高一上·云南德宏·期末）（多选题）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
重难点题型4 糖水不等式及其应用
1．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）(多选题)生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则一定有
4．（2024高三·全国·专题练习）糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是 .（只需填满足题意的一个值即可）
重难点题型5 不等式的综合问题
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知实数满足，，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
序号
题型
重难点题型1
不等式性质的应用
重难点题型2
比较数（或式）的大小与比较法证明不等式
重难点题型3
已知不等式的关系，求目标式的取值范围
重难点题型4
糖水不等式及其应用
重难点题型5
不等式的综合问题
专题1.4 等式与不等式的性质
目录●重难点题型分布
重难点题型1 不等式性质的应用
1．（2025·四川绵阳·三模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断命题的必要不充分条件、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】结合不等式的基本性质及充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】当时，满足，但不满足；
当时，，则.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2025·全国·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断命题的必要不充分条件、由不等式的性质证明不等式
【分析】利用举反例的方法及不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断.
【详解】因为，为实数，当，时，满足，但是，
所以若则是假命题；
而由，当时，得；
当时，得，所以由得，
所以若则是真命题；
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2025·重庆·模拟预测）设 为均不为零的实数，且 ，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、绝对值三角不等式
【分析】对A，B，根据题意可得，当时易判断；对C，根据条件结合绝对值三角不等式求解判断；对D，举反例说明.
【详解】因为为均不为零的实数，且，
所以，
对于A，由，当时，得，故A错误；
对于B，由，当时，得，故B错误；
对于C，因为，所以，即，故C正确；
对于D，举反例，如，满足条件，但，故D错误.
故选：C.
4．（24-25高一上·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假.
【详解】令，，则，，
因为此时，故A不成立；
，故B不成立；
，故D不成立；
根据不等式的基本性质：，，故C成立.
故选：C
5．（24-25高三下·山西·阶段练习）（多选题）设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】利用不等式性质推理，结合特殊值法验证，逐个判断正误即可.
【详解】因为，，故，所以，故A正确；
不妨取，，则，故B错误；
因为，，所以，即，即，故C正确；
不妨取，，则，故D错误．
故选：AC.
6．（2025高三·全国·专题练习）（多选题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】由不等式的性质逐项判断即可；
【详解】对于A，取，则，A错误；
对B，由，则，则有，故B正确；
对C，由，则，则
即，等价于，
等价于，等价于，即C正确；
对D，由，则，
，即等价于，
由，即等价于，等价于，即，成立，故D正确．
故选：BCD
重难点题型2 比较数（或式）的大小与比较法证明不等式
1．（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】根据题意，由原式可得，然后由作差法分别比较与，与的大小关系，即可得到结果.
【详解】由，且可得，即，
则，
又，即，化简可得，
即，其中，
所以，即，所以，
所以，所以，
又，所以，
综上所述，.
故选：A
2．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小
【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C.
【详解】对A：若，，则有，，
此时，故A错误；
对B：若，，则有，，
此时，故B错误；
对C：，
由，故，，，故，
即，故C正确；
对D：若，，则，，
此时，故D错误.
故选：C.
3．（2019·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】作商法比较代数式的大小
【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果.
【详解】因为实数，，满足，，，
所以，
∴；
又，
∴；
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查作商法比较大小，属于基础题型.
4．（2020高三·上海·专题练习）设，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】作商法比较代数式的大小
【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小.
【详解】，
，
则
.
故，当且仅当时，取等号，
故选：D
【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题.
5．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）（多选题）若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【难度】0.4
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】利用作差法，适当放缩比较、和、的大小，得到、、的大小关系即可求解.
【详解】，，，
，
所以，
，
所以，所以，
所以B、C、D正确，A错误.
故选：BCD
6．（24-25高三下·河北·开学考试）（多选题）已知则下列不等式中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【难度】0.85
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小
【分析】利用作差法比较数的大小可判断AC；由已知可得，可判断B；利用基本不等式可求得，可判断D.
【详解】当时故A错误；
当时，，故B正确；
当时故C错误；
，故D正确.
故选：BD.
重难点题型3 已知不等式的关系，求目标式的取值范围
1．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小
【分析】易得，再结合已知可得，由，得，即可比较，利用作差法即可比较，即可得解.
【详解】由，得，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
因为，所以，
当时，，此时，，
这与矛盾，所以，
由，得，
所以，当且仅当时取等号，
由A选项知，当时，不符题意，
所以，
由，可得，
因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
由，得，
则，
因为，，
所以，
又因为，所以，所以，
综上所述，.
故选：A.
2．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】根据不等式的性质以及代入特殊值可求得结果.
【详解】对于A，令，则，故选项A错误；
对于B，因为，则，故选项B正确；
对于C，因为，则，故选项C错误；
对于D，因为，则，所以，故选项D错误；
故选：B
3．（24-25高三上·山东·阶段练习）下列选项说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】利用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.
【详解】对于A，反例，，则，故A错误；
对于B，反例，即，而，故B错误；
对于C，若，则，所以，故C错误；
对于D，，，则，所以，即，故D正确.
故选：D.
4．（24-25高一上·云南德宏·期末）（多选题）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【难度】0.85
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小
【分析】根据不等式的性质即可判断ABC；利用作差法即可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，故B正确；
对于C，由A选项知，，，
所以，故C错误；
对于D，，
因为，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD.
重难点题型4 糖水不等式及其应用
1．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即.
【详解】这一事实表示为一个不等式为．
证明：，
又，，
，即，
即.
故选：
2．（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得.
【详解】对于A，，，A错误；
对于B，，，则，B错误.
对于C，由，得，C正确；
对于D，，D错误；
故选：C
3．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）(多选题)生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则一定有
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小
【分析】由作差法可判断ABC，由不等式的性质可判断D
【详解】对于A，，，
，，故A错误，
对于B，，，
，，故B正确，
对于C，，，
，，
，
，故C正确，
对于D，，，
，，
，故D正确，
故选：BCD
4．（2024高三·全国·专题练习）糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是 .（只需填满足题意的一个值即可）
【答案】（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】解不等式得出不等式成立的取值范围即可.
【详解】由，得，即，解得或，
则当或时，不等式成立，
所以不成立的的值可以是（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）
重难点题型5 不等式的综合问题
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知实数满足，，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】对于A，B，设，利用比值代换可判断A，B的正误，对于C，D，同样设，利用比值代换可判断它们的正误.
【详解】对于A，B，若有一个为零，则它们都为零，此时A，B均成立；
若，设，则且即，
故，则，否则，这显然不成立，故，，
当时，因，即，A错误；
当时，因，
故，故B错误；
对于C，D，设，则且，则，
即，则，否则，这显然不成立，
故，则
故，
当时，，因，故，故C不成立，
而，
设，则，
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上为单调递增，
故，
又，则，故D成立.
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于与指数或对数有关的多变量不等式关系的讨论问题，可结合方程的形式选择合适的比值代换，从而把前者转化为一元不等式问题来处理，后者可结合导数来讨论.
2．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、作差法比较代数式的大小
【分析】根据二倍角公式将变形，，作差，结合三角函数的性质即可判断大小；判断和，和的大小，可作差后构造函数，通过求导判断函数的单调性即可判断大小.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
，
构造函数，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，又，
所以，即，
，
构造函数，，
则，
所以函数在上单调递增，所以，
所以，即，
综上，.
故选：.
【点睛】关键点点睛：比较大小可通过作差法，然后结合题意构造函数，通过求导判断函数的单调性求解.
3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】通过比较的大小，可比较的大小，由于，则，构造函数，利用导数求出其最小值，从而可比较的大小，进而可得答案.
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以，
令，则
，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以当时，，
所以，所以，
所以，所以，
综上.
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查比较大小，考查导数的应用，解题的关键是对变形，然后构造函数，利用导数判断其单调性求出最值，然后比较大小，考查计算能力和转化思想，属于较难题.
4．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】基本不等式求和的最小值、利用不等式求值或取值范围
【分析】由题意可得，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果.
【详解】由可得，且
因此，
令，则；
又；
当且仅当时，即时，等号成立；
此时的最小值为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解.
序号
题型
重难点题型1
不等式性质的应用
重难点题型2
比较数（或式）的大小与比较法证明不等式
重难点题型3
已知不等式的关系，求目标式的取值范围
重难点题型4
糖水不等式及其应用
重难点题型5
不等式的综合问题