广东省江门市广德实验学校高二下学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省江门市广德实验学校高二下学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：吴雨洲 审题人：易里豪
试卷共4页，共19小题，满分150分.考试用时120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列，，，，…的一个通项公式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据选项进行逐一验证，可得答案.
【详解】选项A. ,当时，无意义.所以A不正确.
选项B. ,当时，，故B不正确.
选项C. ，，，
所以满足.故C正确.
选项D. ,当时, ,故D不正确.
故选：C
2. 将3封不同的信投到4个不同的邮箱，则不同的投法的种数为（ ）
A. 7B. 12C. 81D. 64
【答案】D
【解析】
【分析】
第一步，第一封信可以投到4个邮箱中的任意一个，有4种投法；第二步，第二封信可以投到4个邮箱中的任意一个，有4种投法；第三步，第三封信可以投到4个邮箱中的任意一个，有4种投法，根据分步乘法计数原理得出结果.
【详解】解：第一步，第一封信可以投到4个邮箱中的任意一个，有4种投法
第二步，第二封信可以投到4个邮箱中的任意一个，有4种投法
第三步，第三封信可以投到4个邮箱中的任意一个，有4种投法.
根据分步乘法计数原理，得不同的投法的种数为.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了分步计数原理，属于基础题.
3. 已知，则等于（ ）
A. 1B. 4C. 1 或 3D. 3 或4
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合数性质计算可得.
【详解】因为，所以或，
解得或，经检验符合题意
故选：C
4. 若函数，则的值为（ ）
A. 0B. 2C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导函数，再令计算可得.
【详解】因为，所以，
则，解得.
故选：A
5. “仁义礼智信”为儒家“五常”．由孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，且“礼智”不相邻的排法有（ ）种．
A. 48B. 36C. 72D. 96
【答案】C
【解析】
【分析】先将“仁义信”排列后有4个空，然后将“礼智”去插空，可得结果.
【详解】解：先对“仁义信”进行排列，有种方法，此时有4个空，然后用“礼智”去插空，有种方法，由乘法原理可知共有种
故选：C
【点睛】此题考查的是排列组合中的插空法，属于基础题.
6. 若数列满足，，则（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分析归纳出数列的周期，利用周期可得答案.
【详解】∵数列满足，，∴，
∴，，，，
∴是周期为3的周期数列，而，故．
故选：A
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系求出单调区间即可求解.
【详解】由，则，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
故时，，
而，，
所以.
故选：D
【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究函数的单调性，考查了基本计算能力，属于基础题.
8. 中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子.如图，是利用算筹表示数 1~9 的一种方法.若规定137可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的不含数字的三位数的个数为（ ）
A. 10B. 20C. 36D. 38
【答案】D
【解析】
【分析】依题意根算筹可以分为，，三种情况，再分别确定相应的三位数的个数，即可得解.
【详解】依题意，一根算筹只能表示；两根算筹可以表示、，
三根算筹可以表示、，四根算筹可以表示、；
依题意根算筹可以分为，，三种情况：
若为，则有个三位数；
若为，则有个三位数；
若为，则有个三位数；
综上可得一共有个三位数
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每一题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据求导法则及简单复合函数的求导法则计算可得.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确.
故选：BCD
10. 二项式的展开式中的系数是，则其中正确命题的序号是（ ）
A. B. 展开式中含项的系数是
C. 展开式中含项D. 展开式中常数为40
【答案】AB
【解析】
【分析】求出二项展开式的通项公式,令x的指数为2,求出r值,从而可得x2的系数,进而可求得a值,即可判断选项A;
令x的指数为6,求出r值,即可判断选项B;
令x的指数为-1,求出r值,即可判断选项C;
令x的指数为0,求出r值,从而可求得常数项,即可判断选项D
【详解】二项式的展开式的通项公式为
对于A：令8-2r=2,解得r=3,所以展开式中x2的系数，解得，故A正确；
对于B：二项式即，展开式的通项公式为.
令8-2r=6,解得r=1,所以展开式中含x6项的系数是，故B正确；
令8-2r=-1；解得；不为整数；故展开式中不含项；故C错误；
令8-2r=0,解得r=4,所以展开式中常数项为，故D错误.
故选：AB.
11. 已知等差数列的前n项和为Sn（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（ ）
A. a1=22B. d=－2
C. 当n=10或n=11时，Sn取得最大值D. 当Sn>0时，n的最大值为20
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项和，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假．
【详解】等差数列的前项和为，公差，
由，可得，即，①
由是与的等比中项，可得，即，
化为，②
由①②解得，，
则，，
由，可得或11时，取得最大值110；
由，可得，即的最大值为20．
故选：BCD
【点睛】方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. A，B，C，D四人站成一排，其中A不站排头，共有___________种不同站法.
【答案】18
【解析】
【分析】先求总排列数再减去A站排头的排列数即可．
【详解】A，B，C，D四人站成一排总排列数有
其中A站排头的排列数有，所以所求的排列数为
故答案为：
13. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数.
【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得，
所以的展开式项的系数为.
故答案为：10
14. 设等差数列的前n项和为，且，，则______．
【答案】100
【解析】
【分析】由等差数列的性质，也是等差数列计算得出.
【详解】因为数列是等差数列，所以仍然是等差数列，
所以也是等差数列，
因为，，
所以，
，
故答案为：100
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和及的最小值.
【答案】（1）
（2），取最小值为
【解析】
【分析】（1）利用等差数列通项公式列方程求出，.由此能求出通项公式.
（2）由（1）的结果，利用等差数列的求和公式即可求出，进而求出最小值.
【小问1详解】
解：在等差数列中，，
设数列的公差为d，
则，
解得，.
∴的通项公式.
【小问2详解】
解：∵，d=2.
∴的前n项和
∴当n=6时，取最小值为.
16. 已知函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值.
【答案】（Ⅰ）的单调递减区间是，单调递增区间是和；（Ⅱ）在上的最大值为3，最小值为-1.
【解析】
【分析】（1）利用导数求的单调区间即可；（2）结合（1）的单调性即可知，结合的端点值即可确定上的最大值和最小值；
【详解】（Ⅰ）∵，∴.
当，即或时，函数单调递增.
令，即时，函数单调递减.
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是和.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数在区间上单调递减，在上单调递增.
所以函数的极小值也为最小值.
两端点，，即最大值为.
故函数在上的最大值和最小值分别为3和-1.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，根据单调区间以及指定区间的端点值求该区间的最值，属于简单题；
17. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令求得，当时，根据第一种情况的式子和该情况的式子联立即可求解；
（2）利用错位相减法即可求解.
【小问1详解】
因为①，当时可得，即，
当时，②，
由①-②得，
即，即是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
【小问2详解】
因为，所以，
，
两式相减得，，
即，
故.
18. 已知函数在处取得极小值．
（1）求实数的值；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得，可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式；
（2）分析可知，直线与函数的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为，则，
由题意可得，解得，
当，时，，
显然，函数在处可取得极值.
因此，.
【小问2详解】
解：问题等价于有三个不等的实数根，求的范围.
由，得或，
由，得，
所以、上单调递增，在上单调递减，
则函数的极大值为，极小值为，如下图所示：
由图可知，当，直线与函数的图象有个交点，
因此，实数的取值范围是.
19. 已知数列满足，且.
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）在数列中，，，求的通项公式；
（3）记数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据递推公式结合等比数列定义证明，再应用通项公式求解；
（2）累加法求数列通项公式；
（3）先分奇偶项求和再应用错位相减法计算.
【小问1详解】
，
变形得：，
又，故，所以是首项为3，公比为3的等比数列.
从而，即.
【小问2详解】
由题意可得，
所以当时，，，，，
上式累加可得，
，
又，所以，
当时，满足上式，
所以
【小问3详解】
由（1）、（2）知，
则在前项中，
,
,
作差得
.
.
从而.